在日复一日的学习中，大家对知识点应该都不陌生吧？知识点就是一些常考的内容，或者考试经常出题的地方。哪些知识点能够真正帮助到我们呢？下面是的小编为您带来的不等式的性质【优秀8篇】，您的肯定与分享是对小编最大的鼓励。
9.1.2 不等式的性质（2）
教学目标 1、会根据“不等式性质1 "解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集；
2、学会运用类比思想来解不等式，培养学生观察、分析和归纳的能力；
3、在积极参与数学活动的过程中，培养学生大胆猜想、勇于发言与合作交流的意识和实事求是的态度以及独立思考的习惯。
教学难点 根据“不等式性质1”正确地解一元一次不等式。
知识重点 根据“不等式性质1”正确地解一元一次不等式。
教学过程（师生活动） 设计理念
提出问题 小希就读的学校上午第一节课上课时间是8点开始。小希家距学校有2千米，而他的步行速度为每小时10千米。那么，小希上午几点从家里出发才能保证不迟到？
1、 若设小希2、 上午x点从家里出发才能不3、 迟到，4、 则x应满足怎样的关系式？
5、 你会解这个不6、 等式吗？请说说解的过程。
7、 你能把这个不8、 等式的解集在数轴上表示出来吗？ 设里一个学生很熟悉的问题情境，能增强亲和力。经历由具体的实例建立不等式模型的过程，既可让学生感受不等式在实际生活中的应用，又非常自然地引入新课。
探究新知 1、 分组探讨：对上述三个问题，2、 你是如何考虑的？先独立思考然后组内交流，3、 作出记录，4、 最后各组派代表发主。
5、 在学生充分讨论的基础上，6、 师生共同7、 归纳得出：
（1） x应满足的关系是： ≤8
（2） 根据“不（3） 等式性质1”,在不（4） 等式的两边减去 ，（5） 得：x＋ －（6） ≤8－（7） ，（8） 即x≤
（9） 这个不（10） 等式的解集在数轴上表示如下：
我们在表示 的点上画实心圆点，意思是取值范围包括这个数。
8、 例题
解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）3x < 2x＋1 （2）3－5x ≥ 4－6x
师生共同探讨后得出：上述求解过程相当于由3x<
2x+1，得3x-2x < 1；由3－5x≥4－6x，得－5x+6x≥4-3.这类似于解方程中的“移项”。可见，解不等式也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向。
最后由教师完整地板书解题过程。 培养学生主动参与、合作交流的意识，提主同学生的观察、分析、概括和抽象能力
强调“≤”与“<”在意义上和数轴表示上的区别。
类比解方程的方法，让学生初步感觉不等式与方程的关系。
巩固新知 1、解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）x＋5＞－1（2）4x < 3x-5（3）8x-2 < 7x＋3
2、用不等式表示下列语句并写出解集：
（1）x与3的和不小于6；
（2）y与1的差不大于0. 进一步巩固所学知识。
解决问题
1、某容器呈长方体形状，长5 cm，宽3 cm，高10 cm.容器内原有水的高度为3 cm。现准备继续向它注水。用v cm,示新注入水的体积，写出v的取值范围。
2、三角形任意两边之差与第三边有着怎样的大小关系？ 提出这类实际问题，容易引起学生关注，激发他们参与学习
的热情。同时能体会到生活中蕴含着数学知识，反过来数学知识又帮助解决了生活中的许多实际问题，从而感受到新知识的用途。
总结归纳 师生共同归纳本节课所学内容：通过学习，我们学会了简单的一元一次不等式的解法。还明白了生活中的许多实际问题都是可以用不等式的知识去解决的。
小结与作业
布置作业 1、必做题：教科书第134页习题9.1第6题（1）（2）
2、选做题：教科书第134页习题9、12题。
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
本课从发生在学生身边的事情入手，创设问题情境，激发学生的学习兴趣和求知欲望。以问题为中心，使每一位学生都能积极思考，发散思维。让学生在“做数学”的过程中，亲身体验问题的发生、发现、发展与解决的全过程，采取自主探索、合作交流、深人研讨、步步为营的措施，为学生营造一个自主学习、主动发展的广阔空间，开辟探究、研讨、解决问题的广阔天地，使学生快快乐乐地成为学习的主人。
教学要以实际生活为背景。学生亲身经历过现实问题数学化的过程，就会获得富有生命力的数学知识，进一步认识数学，体验数学的价值。只有让学生真切地体会到生活中处处有数学，才有生活中处处用数学的可能，以此培养学生的应用意识。
教师在教学中要敢于打破教材格局。本课对教材作出全新的调整，注重以问题为线索来探究不等式的解法，再用所学知识去解决问题。放开手脚让每个学生从不同的角度、用不同的方法充分展现“自我”，真正构建起学生的课堂主人的地位，使他们的思维能力、情感态度和价值观念等各个方面都能迈上一个新的台阶。
9.1.2 不等式的性质（3）
教学目标 1、使学生熟练掌握一元一次不等式的解法，初步认识一元一次不等式的应用价值；
2、对比一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法，让学生感知不等式和方程的不同作用与内在联系，体会其中渗透的类比思想；
3、让学生在分组活动和班级交流的过程中，积累数学活动的经验并感受成功的喜悦，从而增强学习数学的自信心。
教学难点 熟练并准确地解一元一次不等式。
知识重点 熟练并准确地解一元一次不等式。
教学过程（师生活动） 设计理念
提出问题 某地庆典活动需燃放某种***。为确保人身安全，要求燃放者在点燃***后于燃放前转移到10米以外的地方。已知***的燃烧速度为0.02 m/s,人离开的速度是4 m/s，***的长x(m)应满足怎样的关系式？
你会运用已学知识解这个不等式吗？请你说说解这个不等式的过程。 以学生身边的事例为背景，突出不等式与现实的联系，这个问题为契机引入新课，可以激发学生的学习兴趣。
探究新知 1、在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳出这个不等式的解法。教师规范地板书解的过程。
2、例题。
解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1） x ≤ 50 (2)-4x < 3
(3) 7－3x≤10 （4）2x-3 < 3x＋1
分组活动。先独立思考，然后请4名学生上来板演，其余同学组内相互交流，作出记录，最后各组选派代表发言，点评板演情况。教师作总结讲评并示范解题格式。
3、教师提问：从以上的求解过程中，你比较出它与解方程有什么异同？
让学生展开充分讨论，体会不等式和方程的内在联系与不同之处。 不同层次的学生经过尝试会有不同的收获。一些学生能独
立解决；还有一些学生虽不能解答，但在老师的引导下也能受到启发，这比单纯的教师讲解更能调动学习的积极性。另外，由学生自己来纠错，可培养他们的批
判性思维和语言表达能力。
比较不等式与解方程的异同中渗透着类比思想。
巩固新知 1、解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1） （2）－8x < 10
2、用不等式表示下列语句并写出解集：
（1）x的3倍大于或等于1； （2）y的 的差不大于－2.
解决问题 测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算它的树龄一般规定以树干离地面1.5 m的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5 cm,以后树围每年增加约3 cm.这棵树至少生一长多少年，其树围才能超过2.4 m? 让学生在解决问题的过程中深刻感悟数学来源于实践，又服务于实践，以培养他们的数学应用意识。
总结归纳 围绕以下几个问题：
1、这节课的主要内容是什么？
2、通过学习，我取得了哪些收获？
3、还有哪些问题需要注意？
让学生自己归纳，教师仅做必要的补充和点拨。 让学生自己归纳小结，给学生创造自我评价和自我表现的机会，以达到激发兴趣、巩固知识的目的。
小结与作业
布置作业 1、必做题：教科书第134~135页习题9.1第6题（3）（4）第10题。
2、选做题：教科书第135页习题9、12题。
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
通过创设与学生实际生活密切联系的向题情境，并由学生根据自己掌握的知识与经验列出不等式，探究它的解法，可以激发学生的学习动力，唤起他们的求知欲望，促使学生动脑、动手、动口，积极参与教学的整个过程，在教师的指导下，主动地、生动活泼地、富有个性地学习。
新课程理念要求教师向学生提供充分的从事数学活动的机会。本课教学过程中贯穿了“尝试—引导—示范—归纳—练习—点评”等一系列环节，旨在改变学生的学习方式，将被动的、接受式的学习方式转变为动手实践、自主探索和合作交流等方式。教师的组织者、引导者与合作者的角色在这节课中得到了充分的演绎。 教师要尊重学生的个体差异，满足多样化学习的需求。对学习确实有困难的学生，要及时给予关心和帮助，鼓励他们主动参与数学学习活动，尝试着用自己的方式去解决问题，勇于发表自己的观点。除了演好组织者、引导者的角色外，教师还应争当“伯乐”和“雷锋”，多给学生以赞许、鼓励、关爱和帮助，让他们在积极愉悦的氛围中努力学习。
探究活动
能得到什么结论
题目 已知 且 ，你能够推出什么结论？
分析与解：由条件推出结论，我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大，对已知变量作运算，运用不等式的性质，或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。
思路一：改变 的范围，可得：
1. 且 ；
2. 且 ；
思路二：由已知变量作运算，可得：
3. 且 ；
4. 且 ；
5. 且 ；
6. 且 ；
7. 且 ；
思路三：考虑含有 的数学表达式具有的性质，可得：
8. （其中 为实常数）是三次方程；
9. （其中 为常数）的图象不可能表示直线。
说明 从已知信息能够推出什么结论？这是我们经常需要思考的问题，这里给出的都是必要非充分条件，读者可以考虑是否能够写出充要条件；另外，运用推出关系的传递性，在推出结论的基础上进一步进行推理，还可得出很多结果，请读者考虑。
探究关系式是否成立的问题
题目 当 成立时，关系式 是否成立？若成立，加以证明；若不成立，说明理由。
解：因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 或
所以 或
所以 或
所以 不可能成立。
说明：像本例这样的探索题，题目的结论是“两可”（即两种可能性）情形，而我们知道，说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。不过像本例的执果索因的分析，不仅说明结论不成立，而且得出 ， 必须同时大于1或同时小于1的结论。
探讨增加什么条件使命题成立
例 适当增加条件，使下列命题各命题成立：
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 ；
（3）若 ， ，则 ；
（4）若 ，则
思路分析：本例为条件型开放题，需要依据不等式的性质，寻找使结论成立时所缺少的一个条件。
解：（1）
（2） 。当 时，
当 时，
（3）
（4）
引申发散 对命题（3），能否增加条件 ，或 ， ，使其成立？请阐述你的理由。
教学目标
1.理解不等式的性质，掌握不等式各个性质的条件和结论之间的逻辑关系，并掌握它们的证明方法以及功能、运用；
2.掌握两个实数比较大小的一般方法；
3.通过不等式性质证明的学习，提高学生逻辑推论的能力；
4.提高本节内容的学习，；培养学生条理思维的习惯和认真严谨的学习态度；
教学建议
1.教材分析
（1）知识结构
本节首先通过数形结合，给出了比较实数大小的方法，在这个基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了严格的证明。
知识结构图
（2）重点、难点分析
在“不等式的性质”一节中，联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大小的方法，复习了初中学过的不等式的基本性质。
不等式的性质是穿越本章内容的一条主线，无论是算术平均数与几何平均数的定理的证明及其应用，不等式的证明和解一些简单的不等式，无不以不等式的性质作为基础。
本节的重点是比较两个实数的大小，不等式的五个定理和三个推论；难点是不等式的性质成立的条件及其它的应用。
①比较实数的大小
教材运用数形结合的观点，从实数与数轴上的点一一对应出发， 与初中学过的知识“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”利用数轴可以比较数的大小。
指出比较两实数大小的方法是求差比较法：
比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号，而这又必然归结到实数运算的符号法则。
比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号。
②理清不等式的几个性质的关系
教材中的不等式共5个定理3个推论，是从证明过程安排顺序的。从这几个性质的分类来说，可以分为三类：
（Ⅰ）不等式的理论性质： （对称性）
（传递性）
（Ⅱ）一个不等式的性质：
(n∈N，n＞1)
(n∈N，n＞1)
（Ⅲ）两个不等式的性质：
2.教法建议
本节课的核心是培养学生的变形技能，训练学生的推理能力。为今后证明不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础。
授课方法可以采取讲授与问答相结合的方式。通过问答形式不断地给学生设置疑问（即：设疑）；对教学难点 ，再由讲授形式解决疑问。（即：解疑）.主要思路是：教师设疑→学生讨论→教师启发→解疑。
教学过程 可分为：发现定理、定理证明、定理应用，采用由形象思维到抽象思维的过渡，发现定理、证明定理。采用类比联想，变形转化，应用定理或应用定理的证明思路；解决一些较简单的证明题。
第一课时
教学目标
1.掌握实数的运算性质与大小顺序间关系；
2.掌握求差法比较两实数或代数式大小；
3.强调数形结合思想。
教学重点
比较两实数大小
教学难点
理解实数运算的符号法则
启发式
教学过程
一、复习回顾
我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。例如，在右图中，点A表示实数 ，点B表示实数 ,点A在点B右边，那么 .
我们再看右图， 表示 减去 所得的差是一个大于0的数即正数。一般地：
若 ，则 是正数；逆命题也正确。
类似地，若，则 是负数；若 ，则 .它们的逆命题都正确。
这就是说：（打出幻灯片1）
由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们这节课将要学习的主要内容。
二、讲授新课
1. 比较两实数大小的方法——求差比较法
比较两个实数 与 的大小，归结为判断它们的差 的符号，而这又必然归结到实数运算的符号法则。
比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号。
接下来，我们通过具体的例题来熟悉求差比较法。
2. 例题讲解
例1 比较 与 的大小。
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。
解：
∴
例2 已知，比较（ 与 的大小。
分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略。
由 得 ，从而
请同学们想一想，在例2中，如果没有 这个条件，那么比较的结果如何？
（学生回答：若没有 这一条件，则 ，从而 大于或等于 ）
为了使大家进一步掌握求差比较法，我们来进行下面的练习。
三、课堂练习
1.比较 的大小。
2.如果 ，比较 的大小。
3.已知，比较 与 的大小。
要求：学生板演练习，老师讲评，并强调学生注意加限制条件的题目。
课堂小结
通过本节学习，大家要明确实数运算的符号法则， 掌握求差比较法来比较两实数或代数式的大小。
课后作业
习题6.1 1，2，3.
板书设计
§6.1.1 不等式的性质
1.求差比较法 例1 学生
……
例2 板演
……
第二课时
教学目标
1.理解同向不等式，异向不等式概念；
2.掌握并会证明定理1，2，3；
3.理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据，定理3是移项法则的依据；
4.初步理解证明不等式的逻辑推理方法。
教学重点：定理1，2，3的证明的证明思路和推导过程
教学难点 ：理解证明不等式的逻辑推理方法
教学方法：引导式
教学过程
一、复习回顾
上一节课，我们一起学习了比较两实数大小的方法，主要根据的是实数运算的符号法则，而这也是推证不等式性质的主要依据，因此，我们来作一下回顾：
这一节课，我们将利用比较实数的方法， 来推证不等式的性质。
二、讲授新课
在证明不等式的性质之前，我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念。
1.同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如： 是同向不等式。
异向不等式：两个不等号方向相反的不等式。例如： 是异向不等式。
2.不等式的性质：
定理1：若 ，则
定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向。在证明时，既要证明充分性，也要证明必要性。
证明：∵ ，
∴
由正数的相反数是负数，得
说明：定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证，注意向学生强调实数运算的符号法则的应用。
定理2：若 ，且 ，则 .
证明：∵
∴
根据两个正数的和仍是正数，得
∴ 说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数。
定理3：若 ，则
定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向。
证明：∵
∴
说明：（1）定理3的证明相当于比较 与 的大小，采用的是求差比较法；
（2）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边，理由是：根据定理3可得出：若 ，则 即 .
定理3推论：若 .
证明：∵ ,
∴ ①
∵
∴ ②
由①、②得
说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；
（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；
（3）两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论；
（4）定理3的逆命题也成立。（可让学生自证）
三、课堂练习
1.证明定理1后半部分；
2.证明定理3的逆定理。
说明：本节主要目的是掌握定理1，2，3的证明思路与推证过程，练习穿插在定理的证明过程中进行。
课堂小结
通过本节学习，要求大家熟悉定理1，2，3的证明思路，并掌握其推导过程，初步理解证明不等式的逻辑推理方法。
课后作业
1.求证：若
2.证明：若
板书设计
§6.1.2 不等式的性质
1.同向不等式 3.定理2 4.定理3 5.定理3
异向不等式 证明 证明 推论
2.定理1 证明 说明 说明 证明
第三课时
教学目标
1.熟练掌握定理1，2，3的应用；
2.掌握并会证明定理4及其推论1，2；
3.掌握反证法证明定理5.
教学重点：定理4，5的证明。
教学难点 ：定理4的应用。
教学方法：引导式
教学过程 ：
一、复习回顾
上一节课，我们一起学习了不等式的三个性质，即定理1，2，3，并初步认识了证明不等式的逻辑推理方法，首先，让我们来回顾一下三个定理的基本内容。
（学生回答）
好，我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论，并进一步熟悉不等式性质的应用。
二、讲授新课
定理4：若
若
证明：
根据同号相乘得正，异号相乘得负，得
当
说明：（1）证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完成的；
（2）定理4证明在一个不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变。
推论1：若
证明：
①
又
∴ ②
由①、②可得 .
说明：（1）上述证明是两次运用定理4，再用定理2证出的；
（2）所有的字母都表示正数，如果仅有 ，就推不出 的结论。
（3）这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。
推论2：若
说明：（1）推论2是推论1的特殊情形；
（2）应强调学生注意n∈N 的条件。
定理5：若
我们用反证法来证明定理5，因为反面有两种情形，即 ，所以不能仅仅否定了 ，就“归谬”了事，而必须进行“穷举”。
说明：假定 不大于 ，这有两种情况：或者 ，或者 .
由推论2和定理1，当 时，有 ；
当 时，显然有
这些都同已知条件 矛盾
所以 .
接下来，我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用。
例2 已知
证明：由
例3 已知
证明：∵
两边同乘以正数
说明：通过例3，例4的学习，使学生初步接触不等式的证明，为以后学习不等式的证明打下基础。在应用定理4时，应注意题目条件，即在一个等式两端乘以同一个数时，其正负将影响结论。接下来，我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用。
三、课堂练习
课本P7练习1，2，3.
课堂小结
通过本节学习，大家要掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的基础。
课后作业
课本习题6.1 4，5.
板书设计
§6.1.3 不等式的性质
定理4 推论1 定理5 例3 学生
内容 内容
证明 推论2 证明 例4 练习
课 题：不等式的性质（1）
教学目的：
1 了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；
2 掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小。
教学重点：比较两实数大小。
教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、引入：
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的 研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式 实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据 因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系
生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢？
转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么？
分析：起初的糖水浓度为 ，加入m克糖 后的糖水浓度为 ，只要证 > 即可 怎么证呢？引人课题
二、讲解新课：
1.不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式。
说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠.
（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）
（3）不等式研究的范围是实数集r.
2.判断两个实数大小的充要条件
对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立。判断两个实数大小的充要条件是：
由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了。
三、讲解范例：
例1比较(a＋3)（a－5）与（a＋2）（a－4）的大小
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要) 并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小 把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题
本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项
解：由题意可知：
（a＋3）（a－5）－（a＋2）（a－4）
＝（a2－2a－15）－（a2－2a－8）
＝－7＜0
∴（a＋3）（a－5）＜（a＋2）（a－4）
例2已知x≠0，比较（x2＋1）2与x4＋x2＋1的大小
分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略
本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项
解：由题意可知：
（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）
＝（x4＋2x2＋1）－（x4＋x2＋1）
＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1
＝x2
∵x≠0 ∴x2＞0
∴（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＞0
∴（x2＋1）2＞x4＋x2＋1
例2引伸：在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么两式的大小关系如何？
在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么意味着x可以全取实数，在解决问题时，应分x＝0和x≠0两种情况进行讨论，即：
当x＝0时，（x2＋1）2＝x4＋x2＋1
当x≠0时，（x2＋1）2＞x4＋x2＋1
此题意在培养学生分类讨论的数学思想，提醒学生在解决含字母代数式问题时，不要忘记代数式中字母的取值范围，一般情况下，取值范围是实数集的可以省略不写
得出结论：例1，例2是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差--变形--判断符号 这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要
例3已知a>b>0，m>0，试比较 与 的大小
解：
∵a>b>0，m>0，∴a-b>0，a+m>0
∴ ∴ >
从而揭示"糖水加糖甜更甜"的数学内涵
例4 比较a4-b4与4a3(a-b)的大小。
解： a4-b4 - 4a3(a-b)
=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)
= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3)
＝(a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]
= - (a-b)2(3a3+2ab+b2)
=- (a-b)2 (当且仅当d＝b时取等号)
∴a4-b4 4a3(a-b)
说明："变形"是解题的关键，是最重一步 因式分解、配方、凑成若干个平方和等是"变形"的常用方法
例5 已知x>y，且y≠0，比较 与1的大小
解：
∵x>y，∴x-y>0
当y<0时， <0，即 <1
当y>0时， >0，即 >1
说明：变形的目的是为了判定符号，此题定号时，要根据字母取值范围，进行分类讨论
四、课堂练习：
1 在以下各题的横线处适当的不等号：
(1)（ ＋ ）2 6＋2 ；
（2）（ － ）2 （ －1）2；
（3） ；
(4)当a＞b＞0时，log a log b
答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜
2 选择题
若a＜0，－1＜b＜0，则有( )
a a＞ab＞ab2 b ab2＞ab＞a c ab＞a＞ab2 d ab＞ab2＞a
分析：利用作差比较法判断a，ab，ab2的大小即可
∵a＜0，－1＜b＜0
∴ab＞0，b－1＜0，1－b＞0，0＜b2＜1，1－b2＞0
∴ab－a＝a（b－1）＞0 ab＞a
ab－ab2＝ab（1－b）＞0 ab＞ab2
a－ab2＝a（1－b2）＜0 a＜ab2
故ab＞ab2＞a
答案：d
3 比较大小：
(1)（x＋5）（x＋7）与（x＋6）2；
(2)log 与log
解：(1)（x＋5）（x＋7）－（x＋6)2
＝（x2＋12x＋35）－（x2＋12x＋36）
＝－1＜0
∴（x＋5）（x＋7）＜（x＋6）2
(2)解法一：(作差法)
log －log ＝
＝ ＞0
∴log ＞log
解法二：(中介法，常以"－1，0，1"作中介)
∵函数y＝log x和y＝log x在（0，＋∞）上是减函数且 ＞
∴log ＞log ＝1，log ＜log ＝1
∴log ＞log
4 如果x＞0，比较（ －1）2与（ ＋1）2的大小
解：（ －1）2－（ ＋1）2
＝［（ －1）＋（ ＋1）］［（ －1）－（ ＋1）
或［（x－2 ＋1）－（x＋2 ＋1）］＝－4
∵x＞0 ∴ ＞0 ∴－4 ＜0
∴（ －1）2＜（ ＋1）2
5 已知a≠0，比较（a2＋ a＋1）（a2－2 a＋1）与（a2＋a＋1）·（a2－a＋1）的大小
解：（a2＋ a＋1）（a2－ a＋1）－（a2＋a＋1）（a2－a＋1）
＝［（a2＋1）2－（ a）2］－［（a2＋1）2－a2］＝－a2
∵a≠0，∴a2＞0 ∴－a2＜0
故（a2＋ a＋1）（a2－ a＋1）＜（a2＋a＋1）（a2－a＋1）
五、小结 ：本节学习了实数的运算性质与大小顺序之间的关系，并以此关系为依据，研究了如何比较两个实数的大小，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论
第三步：得出结论
在某些特殊情况下(如两数均为正，且作商后易于化简)还可考虑运用作商法比较大小 它与作差法的区别在于第二步，作商法是判断商值与1的大小关系
六、课后作业：
1.已知 ，比较 与 的大小
解： =……= ∴ ≥
2.比较2sin 与sin2 的大小(0< <2 )
解： 2sin sin2 =2sin (1 cos )
当 (0, )时2sin (1 cos )≥0 2sin ≥sin2
当 ( ,2 )时2sin (1 cos )<0 2sin <sin2
3.设 且 ， ，比较 与 的大小
解： ∴
当 时 ≤ ；当 时 ≥
4.设 且 ，比较 与 的大小
解：
当 时 ∴ >
当 时 ∴ >
∴总有 >
七、板书设计（略）
八、课后记：
第二课时
教学目标
1.理解同向不等式，异向不等式概念；
2.把握并会证实定理1,2,3;
3.理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据，定理3是移项法则的依据；
4.初步理解证实不等式的逻辑推理方法。
教学重点：定理1,2,3的证实的证实思路和推导过程
教学难点：理解证实不等式的逻辑推理方法
教学方法：引导式
教学过程
一、复习回顾
上一节课，我们一起学习了比较两实数大小的方法，主要根据的是实数运算的符号法则，而这也是推证不等式性质的主要依据，因此，我们来作一下回顾：
这一节课，我们将利用比较实数的方法， 来推证不等式的性质。
二、讲授新课
在证实不等式的性质之前，我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念。
1.同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如： 是同向不等式。
异向不等式：两个不等号方向相反的不等式。例如： 是异向不等式。
2.不等式的性质：
定理1:若 ,则
定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向。在证实时，既要证实充分性，也要证实必要性。
证实：∵ ,
∴
由正数的相反数是负数，得
说明：定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证，注重向学生强调实数运算的符号法则的应用。
定理2:若 ,且 ,则 .
证实：∵
∴
根据两个正数的和仍是正数，得
∴ 说明：此定理证实的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数。
定理3:若 ,则
定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向。
证实：∵
∴
说明：(1)定理3的证实相当于比较 与 的大小，采用的是求差比较法；
(2)不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边，理由是：根据定理3可得出：若 ,则 即 .
定理3推论：若 .
证实：∵ ,
∴ ①
∵
∴ ②
由①、②得
说明：(1)推论的证实连续两次运用定理3然后由定理2证出；
(2)这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；
(3)两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论；
(4)定理3的逆命题也成立。(可让学生自证)
三、课堂练习
1.证实定理1后半部分；
2.证实定理3的逆定理。
说明：本节主要目的是把握定理1,2,3的证实思路与推证过程，练习穿插在定理的证实过程中进行。
课堂小结
通过本节学习，要求大家熟悉定理1,2,3的证实思路，并把握其推导过程，初步理解证实不等式的逻辑推理方法。
课后作业
1.求证：若
2.证实：若
板书设计
§6.1.2 不等式的性质
1.同向不等式 3.定理2 4.定理3 5.定理3
异向不等式 证实 证实 推论
2.定理1 证实 说明 说明 证实
第三课时
教学目标
1.熟练把握定理1,2,3的应用；
2.把握并会证实定理4及其推论1,2;
3.把握反证法证实定理 5.
教学重点：定理4,5的证实。
教学难点：定理4的应用。
教学方法：引导式
教学过程：
一、复习回顾
上一节课，我们一起学习了不等式的三个性质，即定理1,2,3,并初步熟悉了证实不等式的逻辑推理方法，首先，让我们往返顾一下三个定理的基本内容。
(学生回答)
好，我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论，并进一步熟悉不等式性质的应用。
二、讲授新课
定理4:若
若
证实：
根据同号相乘得正，异号相乘得负，得
当
说明：(1)证实过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完成的；
(2)定理4证实在一个不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变。
推论1:若
证实：
①
又
∴ ②
由①、②可得 .
说明：(1)上述证实是两次运用定理4,再用定理2证出的；
(2)所有的字母都表示正数，假如仅有 ,就推不出 的结论。
(3)这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。
推论2:若
说明：(1)推论2是推论1的非凡情形；
(2)应强调学生注重n∈n 的条件。
定理5:若
我们用反证法来证实定理5,因为反面有两种情形，即 ,所以不能仅仅否定了 ,就“归谬”了事，而必须进行“穷举”。
说明：假定 不大于 ,这有两种情况：或者 ,或者 .
由推论2和定理1,当 时，有 ;
当 时，显然有
这些都同已知条件 矛盾
所以 .
接下来，我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用。
例2 已知
证实：由
例3 已知
证实：∵
两边同乘以正数
说明：通过例3,例4的学习，使学生初步接触不等式的证实，为以后学习不等式的证实打下基础。在应用定理4时，应注重题目条件，即在一个等式两端乘以同一个数时，其正负将影响结论。接下来，我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用。
三、课堂练习
课本p7练习1,2,3.
课堂小结
通过本节学习，大家要把握不等式性质的应用及反证法证实思路，为以后不等式的证实打下一定的基础。
课后作业
课本习题6.1 4,5.
板书设计
§6.1.3 不等式的性质
定理4 推论1 定理5 例3 学生
内容 内容
证实 推论2 证实 例4 练习
探究活动
能得到什么结论
题目 已知 且 ,你能够推出什么结论？
分析与解：由条件推出结论，我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大，对已知变量作运算，运用不等式的性质，或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。
思路一：改变 的范围，可得：
1. 且 ;
2. 且 ;
思路二：由已知变量作运算，可得：
3. 且 ;
4. 且 ;
5. 且 ;
6. 且 ;
7. 且 ;
思路三：考虑含有 的数学表达式具有的性质，可得：
8. (其中 为实常数)是三次方程；
9. (其中 为常数)的图象不可能表示直线。
说明 从已知信息能够推出什么结论？这是我们经常需要思考的问题，这里给出的都是必要非充分条件，读者可以考虑是否能够写出充要条件；另外，运用推出关系的传递性，在推出结论的基础上进一步进行推理，还可得出很多结果，请读者考虑。
探究关系式是否成立的问题
题目 当 成立时，关系式 是否成立？若成立，加以证实；若不成立，说明理由。
解：因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,
所以 或
所以 或
所以 或
所以 不可能成立。
说明：像本例这样的探索题，题目的结论是“两可”(即两种可能性)情形，而我们知道，说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。不过像本例的执果索因的分析，不仅说明结论不成立，而且得出 , 必须同时大于1或同时小于1的结论。
探讨增加什么条件使命题成立
例 适当增加条件，使下列命题各命题成立：
(1)若 ,则 ;
(2)若 ,则 ;
(3)若 , ,则 ;
(4)若 ,则
思路分析：本例为条件型开放题，需要依据不等式的性质，寻找使结论成立时所缺少的一个条件。
解：(1)
(2) 。当 时，
当 时，
(3)
(4)
引申发散对命题(3),能否增加条件 ,或 , ,使其成立？请阐述你的理由。
探究活动
能得到什么结论
题目 已知 且 ,你能够推出什么结论？
分析与解：由条件推出结论，我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大，对已知变量作运算，运用不等式的性质，或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。
思路一：改变 的范围，可得：
1. 且 ;
2. 且 ;
思路二：由已知变量作运算，可得：
3. 且 ;
4. 且 ;
5. 且 ;
6. 且 ;
7. 且 ;
思路三：考虑含有 的数学表达式具有的性质，可得：
8. (其中 为实常数)是三次方程；
9. (其中 为常数)的图象不可能表示直线。
说明 从已知信息能够推出什么结论？这是我们经常需要思考的问题，这里给出的都是必要非充分条件，读者可以考虑是否能够写出充要条件；另外，运用推出关系的传递性，在推出结论的基础上进一步进行推理，还可得出很多结果，请读者考虑。
探究关系式是否成立的问题
题目 当 成立时，关系式 是否成立？若成立，加以证实；若不成立，说明理由。
解：因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,
所以 或
所以 或
所以 或
所以 不可能成立。
说明：像本例这样的探索题，题目的结论是“两可”(即两种可能性)情形，而我们知道，说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。不过像本例的执果索因的分析，不仅说明结论不成立，而且得出 , 必须同时大于1或同时小于1的结论。
探讨增加什么条件使命题成立
例 适当增加条件，使下列命题各命题成立：
(1)若 ,则 ;
(2)若 ,则 ;
(3)若 , ,则 ;
(4)若 ,则
思路分析：本例为条件型开放题，需要依据不等式的性质，寻找使结论成立时所缺少的一个条件。
解：(1)
(2) 。当 时，
当 时，
(3)
(4)
引申发散对命题(3),能否增加条件 ,或 , ,使其成立？请阐述你的理由。