以下是细致的小编为大家整理的12篇北师大版六年级下册数学教案，希望能够帮助到大家。
第一课时
教学目标：使学生认识圆柱的特征，认识圆柱侧面的展开图。
教学准备：教师与学生每人带一个圆柱，教师给学生每4人小组发一个纸制的圆柱。每位学生准备好制作圆柱的材料。
教学重点：使学生认识圆柱的特征。
教学难点：理解圆柱侧面展开是长方形，并理解长与宽与圆柱之间的关系。
教学过程：
一、复习
我们已经认识了长方体和正方体。
谁能说一说长方体的特征？（长方体是由6个长方形围成的，相对的两个长方形完全相同，长方体的高有无数条。）正方体呢？
谁能说一说我们学习了长方体和正方体的哪些知识？
二、 新授
教师：今天老师和大家一起学习一种新的立体图形：圆柱体，简称圆柱。
1、 初步印象
教师：同学们，请你们用眼睛看，用手摸，说一说圆柱与长方体的有什么不同？
（圆柱是由2个圆，1个曲面围成的。）
2、 小组研究：圆柱的这些面有什么特征呢？面与面之间又有什么联系呢？
3、 交流和汇报
（1）关于两个圆形得出：上下2个圆是完全相等的圆，它们都是圆柱的底面。
（2）关于曲面得出：它是圆柱的侧面，如果沿着高展开，可以得到一个长方形或正方形，如果沿着斜线展开可以得到一个平行四边形。展开后的长方形的长相当于圆柱的底面周长，长方形的宽相当于圆柱的高。
（3）关于圆柱的高：两个底面之间的距离叫圆柱的高。高有无数条。高有时也可用长、厚、深代替。
4、 举例说明进一步明确特征
单元教学内容：
面的旋转圆柱的表面积圆柱的体积圆锥的体积
单元教学目标：
1、结合具体情境和操作活动，引导学生整体把握“点、线、面、体”之间的联系。
2、从多种角度探索圆柱和圆锥的特征。
3、探索圆柱表面积的计算方法，发展空间观念。
4、经历圆柱和圆锥体积计算方法的探索过程，体会“类比”的思想。
5、在解决实际问题中用活所学知识，感受数学与生活的联系。
单元教材分析：
学生已经直观认识了长方体、正方体、圆柱和球，并初步了解了长方形、正方形、圆等平面图形的性质，学习了这些图形的面积计算，学生还认识了长方体（正方体），掌握了长方体（正方体）表面积与体积的含义及其计算方法。在此基础上，本单元进一步学习圆柱和圆锥的知识。本单元主要通过五个活动，引导学生学习面的旋转（圆柱和圆锥的认识）、圆柱的表面积、圆柱的体积、圆锥的体积等内容，并参与实践活动。本单元教材编写力图体现以下主要特点：
1.结合具体情境和操作活动，引导学生经历“点动成线”“线动成面”“面动成体”的过程，体会“点、线、面、体”之间的联系教材的第一个活动体现的内容是“由平面图形经过旋转形成几何体”，这不仅是对几何体形成过程的学习，同时体会面和体的关系也是发展空间观念的重要途径，这也是教材将此课题目定为“面的旋转”的原因。教材呈现了几个生活中的具体情境，鼓励学生进行观察，激活学生的生活经验，使学生经历“点动成线”“线动成面”“面动成体”的过程。在结合具体情境感受的基础上，教材又设计了一个操作活动，通过快速旋转小旗，引导学生结合空间想象体会立体图形的形成过程，发展空间观念。教材还提供了若干由面旋转成体的练习。
2.重视操作与思考、想象相结合，发展学生的空间观念操作与思考、想象相结合是学生认识图形、探索图形特征、发展空间观念的重要途径。在本单元中，教材重视学生操作活动的安排，在每个主题活动中都安排了操作活动，促进学生理解数学知识、发展空间观念。如“圆柱的表面积”的教学中，教材引导学生通过操作来说明圆柱的侧面展开后是一个怎样的图形，并呈现了两种操作的方法：一种是把圆柱形纸盒剪开，侧面展开后是一个长方形；另一种是用一张长方形纸卷成圆柱形。再如本单元的最后专门安排了一个“用长方形纸卷圆柱形”的实践活动，先让学生用两张完全一样的长方形纸，一张横着卷成一个圆柱形，另一张竖着卷成一个圆柱形，研究两个圆柱体积的大小；然后组织学生将两张完全一样的长方形纸裁开，把变化形状后的纸再卷成圆柱形，研究圆柱体积的变化，引导学生发现规律，深化对圆柱表面积、体积的认识，并体会变量之间的关系。
3.引导学生经历圆柱和圆锥体积计算方法的探索过程，体会类比等数学思想方法类比是一种重要的数学思想方法，是合情推理时常用的方法。教材重视类比、转化等数学思想方法的渗透。在“圆柱的体积”教学时，教材引导学生经历“类比猜想
“京版”教科书采用的是五线谱，在乐谱的识读方面有较大变化，运用移动唱名法作为五线谱识读方式，并且在教科书中呈现了具体的运用策略。
一、首调唱名法的选择
“强调音乐知识、技能的学习和所应达到的标准，是发展学生审美体验、艺术表达和文化认知的基础，其本身就是学生音乐素养的组成部分。” 作为音乐知识与技能一部分的乐谱识读，是学生学习音乐的基础，也是学生音乐素养的组成部分之一。
国内主要采用的乐谱识读方式有两种，即五线谱和简谱。其中，五线谱是世界使用最广泛的记谱法，较为严密、准确和科学。五线谱的识读有两种方法：首调唱名法（首调唱名法即移动唱名法）和固定唱名法。
（一）国外首调唱名法的运用
在国外，小学音乐教育主要运用的是五线谱教学，识读五线谱主要运用首调和固定这两种唱名法。
首调唱名法产生于11世纪音乐理论家、修道士圭多・达雷佐的拉丁文赞美诗，由英国女教师S.A.格洛弗（Sarah Anna Glover，1786 ―1867）首创，约翰 ・ 柯温使之完善。1937年匈牙利作曲家、音乐教育家佐尔坦・柯达伊（Zoltan Kodaly，1882―1976）在他的教育生涯中首次正式提出首调唱名法。柯达伊认为，首调唱名法最大的优点之一，在于没有调性的限制，与固定唱名法相比更加适合学龄前和小学阶段学生识读五线谱。
匈牙利的经验证明，使用首调唱名法可以帮助儿童很快学会读谱，对提高儿童歌唱能力、发展听觉、发展音乐思维有实际的效果，为建立和声听觉和学习和声学、钢琴即兴伴奏和移调演奏都带来便利，易于打下良好的基础。
（二）国内首调唱名法的选择依据
在国内，“课改”前的《音乐教学大纲》（修订版）中关于五线谱的教学建议是：“五线谱教学用首调唱名法”。
《全日制义务教育音乐课程标准（实验稿）》中关于五线谱的教学建议是：“五线谱教学建议采用首调唱名法”。
《义务教育音乐课程标准（2011年版）》中关于五线谱的教学建议也是：“五线谱教学建议采用首调唱名法” 。
通过以上文件可以看出，我国义务教育阶段，五线谱的学习方式一直以来的建议都是首调唱名法，区别在于，从“大纲”时期到“课改”初期，学生在乐谱学习中，首先了解和认识这是什么调，然后在乐谱上进行识读，经过六年的学习，学生能够掌握C、G、F三个调上乐谱的识读；而“京版”教科书采用“移动的”进行乐谱的识读，学生先熟悉五线谱上各个音的位置与音高关系，只要确定“”所移动到的位置就可以进行乐谱识读，经过六年的学习，学生在各个不同的调上，都能够进行乐谱的识读。
二、首调唱名法―“移动的do”在“京版”教科书中的呈现与识读策略
“京版”教科书在五线谱的谱面及活动的呈现方面跟以往相比有很大变化，而这样的呈现方式恰恰有系统地体现了本套教科书首调唱名法―“移动的”的乐谱识读策略。
（一）“移动的”活动呈现及识读策略
1.教科书中“移动的”的音乐活动呈现
（1）第三、四册教科书的活动：C音唱作“”的五线谱识读。
例1 第三课《小雨沙沙沙》
（2）第五册教科书的活动 ：“”移动至第二线，一个升号调的五线谱识读。
（3） 第六册：“”移动至第一间，一个降号调的五线谱识读。
例3 第一课《摇船曲》
（4）第七册教科书的活动：“”移动至第一线，三个降号调的五线谱识读。
例4 第四课《月亮月光光》
（5）第八册教科书的活动：“”移动至下加一间，两个升号调的五线谱识读。
例5 第三课《春天举行音乐会》
（6）第九册教科书的活动：“”移动至下加二间，两个降号调的五线谱识读。
例6 第七课《平安夜》
2. “移动的”活动呈现所体现的乐谱识读策略
总结以上“移动的”乐谱识读的活动呈现内容：二年级C调的五线谱识读；三年级开始“”的移动，即“”移动至第二线、第一间的五线谱识读；四年级“”移动至第一线、下加一间的五线谱识读；五年级上“”移动至下加二间的五线谱识读；五年级下至六年级巩固练习“移动的”的五线谱识读。
本套教科书五线谱的识读，从二年级开始，一年的时间巩固记忆最基本的C音唱作“”的五线谱识读：第三册开始，从、、 到、再到、的五线谱识读，即七个音在五线谱上音位关系的识记、七个唱名与对应音高的准确视唱；第四册巩固练习“”在下加一线的五线谱识读。从三年级至五年级上，五个学期，每个学期巩固记忆“”移动后的一个调，包含一升、一降、两升、两降至三个降号的五个调上的五线谱识读。学生通过小学六年的学习，基本能够掌握“”在六个调上的移动，学生只要知道“”的位置，就可以进行五线谱的识读。因为学生已经熟练掌握五线谱上七个音之间的音位与音高关系，所以任意移动“”的位置，学生基本上都能够进行乐谱的识读。
（二）“移动的”谱面呈现及识读策略
1.教科书中“移动的”的谱面呈现
（1）第一、二册的谱面呈现：乐谱上没有任何标注。
例7 《动物说话》
（2） 第三册的谱面呈现：乐谱前面标注“”的位置。
例8 《乃哟乃》
（3） 第四册的谱面呈现：乐谱前面标注“”的位置，前四小节乐谱上标注唱名首字母。
例9 《音乐小屋》
（3）第五册至第八册：乐谱前面标注“”的位置，前两小节乐谱上标注唱名首字母。
例10 《我是少年阿凡提》
（4）第九册至第十二册：乐谱前面标注“”的位置，乐谱第一个音上标注唱名首字母。
例11 《莉花》
2.“移动的”谱面呈现所体现的乐谱识读策略
综观“京版”教科书，谱面呈现与以往的五线谱版音乐教科书不同，首先一至六年级所有乐谱均为原调呈现，第二乐谱上会标注“”的位置。
总结以上的“移动的”谱面呈现方式：一年级演唱曲目的乐谱是原谱呈现，没有任何特殊标注；二年级演唱曲目第三册开始乐谱前面呈现“”的位置，第四册乐谱上呈现“”的位置，并且标注唱名首字母，标注的长度为四小节；三、四年级演唱曲目乐谱前面呈现“”的位置，乐谱前两小节标注唱名首字母；五、六年级演唱曲目乐谱前面呈现“”的位置，乐谱第一个音标注唱名首字母。
以上乐谱呈现的变化与学生识读乐谱的程度密切相关。一年级没涉及识谱，所以谱面上没有呈现任何标记；二年级之后开始进入“移动的”的五线谱识读，第三册开始标注“”的位置，第四册开始在乐谱的前四小节标注唱名首字母；然后到三年级乐谱的前两个小节标注首字母；直至五、六年级乐谱的第一个音的首字母标注。这样的呈现方式充分考虑到了学生识读乐谱规律的，即从不识谱（不呈现唱名首字母）到初识乐谱加辅助（标注四小节唱名首字母）再到识读乐谱逐渐减少辅助（两小节乃至一个音标注唱名首字母）。
学习目标：
1、进一步认识图形的旋转，明确含义，感悟特征及性质。能够运用数学语言清楚描述旋转运动的过程。会在方格纸上画出线段旋转90度后的图形。
2、经历观察实例、操作想象、语言描述、绘制图形等活动，积累几何活动经验，发展空间观念。
学习重点：通过多种学习活动沟通联系，理解旋转含义，感悟特征及性质。
学习难点：在方格纸上画出线段旋转90度后的图形
课前准备：钟表，课件，教具
学习过程
环节学案
回顾旧知
1、物体的运动有( )和( )。
2、平移和旋转都只改变图形的( ),不改变图形的( )和( )。
自主探索
1、钟面上指针旋转的方向就是( )方向；相反的方向就是( )方向。
2、钟表上旋转一周是( )度，12个时刻将它12等份，所以每份是( )度。
3、从8时到10时，时针绕旋转点( )方向旋转( )度，从11时到15时，时针绕旋转点( )方向旋转( )度。
4、旋转三要素指( )( )( )。
合作探究
当横杆升起时，横杆绕旋转点( )时针旋转( )度；当横杆落下时，横杆绕旋转点( )时针旋转( )度。
达标检测
基础性作业：
课本29页练一练1、2题(看课件)。
一棵小树被扶起种好，这棵小树绕点O( )方向旋转了( )度。
提高性作业：
1、画出线段AB绕点B顺时针旋转90度后的图形；画出线段AB绕点A逆时针旋转90度后的图形。
拓展性作业：
如图，点P是线段MN上一点，将线段MN绕点P顺时针旋转90度。M P N
教学目标知识目标：
理解比例的意义，认识比例各部分的名称。
能力目标：
能运用比例的意义判断两个比能否组成比例，并会组比例。
情感目标：
感受数学的奥秘，培养数学兴趣。
教学重、难点教学
重点：理解比例的意义。
教学难点：能根据比例的意义写比例。
突破重点、难点设想根据上学期“比的认识”，怎样的两张图片像的问题、让学生明确两种相关联的量成相除关系，且它们的比值相等时，这两个比组成比例关系。
教学媒体多媒体课件、小黑板
教学活动及主要语言预设学生活动预设
一、创境激疑
上学期学习“比的认识”时，我们讨论“图片像不像”的问题。请同学们联系比的知识，再想一想，怎样的两张图片像？(比值相等)这节课我们就一起来深入探究。
回顾
产生疑问
二、互动解疑
1、比例的意义
在情境中感受两种相关联的量之间的变化规律。要求小组合作的形式完成，提出要求。
(1)写出每个图片的长与宽的比
(2)求出各比的比值
(3)观察特点，写出规律
板书：
图片A：6：4=3：2=1.5
图片B：3：2=1.5
图片C：8：3=2.66……
图片D：12：8=3：2=1.5
图片E：12：2=6
比值相等的两个比用“=”连接起来，这种等式叫做比例，今天我们一起来探讨比例的相关知识，板书课题。
结论：像12：6=8:4, 6：4=3：2这样表示两个比值相等的式子叫做比例。
巩固练习：
(1)要求每个学生写出一个比例，教师巡视指导且批阅。
(2)要求每个学生写出一个比例，同桌交流。
(3)做一做教材表格的题，完成后由教师批改。
2、认识比例各部分名称
组成比例的四个数叫做比例的项。在12：6=8:4中，12,6，8和4都是该比例的项。
在比例中，两端的。两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
例如：12：6=8:4中12和4是比例6和8是比例
观察
先独立思考
指名汇报
共同发现、小结
理解
自主思考
小组内交流探究
汇报交流
独立填写
同桌交流
指名汇报
三、启思导疑
1、同学们发现了一种新的判断两个比是否成比例的方法？(比值相等)
2、这节课我们一直类比着比学习比例，比与比例仅一字只差，它们会有什么区别呢？ (比是两个数相除，是一个算式；比例是两个比相等，是一个等式)
指名谈发现
理解
识记
四、实践运用
(一)填一填。
1、在4：7=48：84中，4，7，48，84，叫比例的( )，其中4和84是比例的。7和48是比例的。
2、用6，3，9，8组成一个比例是( )。
(二)下列那几组的两个比可以组成比例？为什么？
(1)4:5和8:20
(2)15:30和18:36
(3)0.7:4.9和140:20
(4)1/3:1/9和1/6:1/8
(三)按要求写一写。
1、先写出比值是3的两个比，再组成比例。
2、根据1.2×25=0.6×25写出两个比例式。
独立思考
指名汇报
评价订正
五、总结评价
这节课我们学习了什么，你有什么收获？什么样的两个量成正比例关系？
自由小结
板书设计：比例的认识
12：6 = 8：4
6：4 = 3：2
利润问题
学习目标：
1、理解利润问题中成本，售价，利润之间的数量关系，掌握相关的数学公式；
2、能够熟练运用利润中的数量关系正确的解题；
3、通过解决实际问题培养学生分析问题的能力。
教学重点：
1、熟练掌握利润问题中各部分的数量关系，并用来正确地解题；
2、学会用百分数应用题的方法来分析和解决利润问题。
教学难点：
将利润问题与百分数应用题联系起来，巧用单位“1”解决问题。
教学过程：
一、情景体验
师：莱特叔叔新开了一家超市，为了把超市经营好，他每天都要仔细计算成本、利润等数据，还要计算如何进行打折优惠活动。你也想了解其中的知识吗？接下来我们一起看看吧。
今天我们来一起学习利润问题（板书课题：利润问题）
(也可按ppt上方式导入)
二、准备题
展示准备题：
莱特叔叔从批发商处用15元购进了一批钢笔，结果以24元卖给顾客，莱特叔叔可以盈利多少元？
学生抢答，点学生发言。
生：24－15=9（元），用卖出的钱―购进的钱=盈利的钱。
师：购进时的钱叫做成本，出售时的钱叫做售价，利润是售价比成本多的钱，即利润=售价―成本。
教师板书：利润=售价―成本
师：大家会用这个公式变形，求出售价和成本？
学生回答，教师板书。
教师板书：售价=利润＋成本，成本=售价―利润
二、基础巩固
展示例1:
某商品的批发价是50元一袋，规定零售价是70元一袋，求这一袋商品的利润是多少元？利润率又是多少？
学生读题。
师：利润怎么求？
生：利润=售价―成本，用售价70元减成本50元。
教师讲解：利润率是以成本为单位“1”，指利润占成本的百分数。利润率=利润÷成本。
师：题中的利润和成本都知道吗？
生：成本是50元，利润是20元。
师：你会求利润率吗？
生：20÷50=40%。
师：同学们，算的不错，看来对老师讲的知识理解的不错。
教师板书：利润率=利润÷成本
展示例2：
商店从某供货商以每台1200元，购进了50台空调。该商店以20％的利润率来定价，空调的定价是多少？如果按这个价全部卖出，商店共获利多少元？
学生读题。
教师讲解：利润率是以成本为单位“1”，指利润占成本的百分数。利润率=利润÷成本。
师：题目中利润率20％，是指利润占成本的20％，售价比成本高出20％来定价。谁是单位“1”？单位“1”知道吗？
生：成本是“1”，成本是1200元，是已知的。
师：你会求定价吗？
生A:定价是1200＋1200×20％==1440元。
生B：定价是1200×（1＋20％）==1440元。
师：同学们，算的不错，看来对老师讲的知识理解的不错。例题中的第2问如何求？
生C：求利润，利润=售价－成本。
（1440－1200）×50=12000元。
生D：1200×20％×50=12000元。
教师小结：在有利润率的数学问题中，利润=成本×利润率，定价=成本×（1＋利润率）。
教师板书：利润=成本×利润率，定价=成本×（1＋利润率）
展示例3：
商店以400元的成本购进一件商品，准备以50%的利润率来定价，但因为价高，没有人购买，只好打7.5折优惠，问现在这件商品卖多少钱？
学生读题，弄清题意。
师：
成本400元是已知的，“准备以50%的利润率来定价”，同学们能求出定价吗？
生：定价=成本×（1＋利润率），列式为400×（1＋50%）=600元。
师：“只好打7.5折优惠”是按定价的百分之几出售？定价已知，怎样求打折后的价钱？
生：7.5折是指定价的75%出售，单位“1”是定价，求折后价用乘法。
学生列式，教师指导。
教师小结：求定价可直接用公式定价=成本×（1＋利润率）来计算；商品打折问题中，用定价乘以折扣等于打折后的售价，打折后的售价除以折扣等于定价。
展示例4：
一件衣服进货价80元，按标记打六折出售仍获52元利润，则这件衣服标价为多少元？
学生读题。
师：同学们，衣服的实际售价是多少元？
生：
80＋52=132元。
师：132元是按标价的六折出售，即是标价的百分之几？哪个量是单位“1”？知道吗？怎样求出标价？
生：“六折”是标价的60％，求标价用除法计算：132÷60％=220元。
学生完成解题步骤。
教师小结：商品打折问题中，打折后的售价除以折扣等于定价。
四、综合拓展
展示例5：
某商场进行促销活动，顾客购物有两种优惠方式：
①八折优惠；
②购满200元送购物券100元（不满200元不送购物券，购物券购物不足100元不退现金）。
两种方式只能选一种，妈妈看中价格250元的一件衣服，还准备买一双96元的鞋子，请你帮妈妈选用哪种优惠方式更划算，列式计算说明理由。
师：根据题意，你知道哪些信息？
师：优惠方式①按八折优惠，怎样列式？
生：（250＋96）×80％=276.8元。
师追问：优惠方式②满200送100，最后花了多少钱？
生1：
250＋96－100=244元。
生2：不对，买250元的衣服送100元购物券，用购物券买鞋只花了250元
师：通过比较你发现哪种优惠方式更划算？并完成解题过程。
学生答题。
教师板书：优惠①：（250＋96）×80％=276.8（元）
优惠②：250元
276.8＞250，优惠方式②更划算。
教师总结：购物方案问题，按优惠方法计算各自的钱数，通过比较钱数少的方案更优惠。
例6：一种智能笔如果按9折出售则可以赚28元，如果按8折出售不仅不能赚钱还要亏损2元，那么这种智能笔的定价是多少元？
即学即练
一件商品随季节变化降价出售，如果按现价降价10%，仍可获利180元，如果降价20%就要亏损240元，这种商品的进价是多少元？
随着教育教学的不断革新，教材的研究显得至关重要，不同版本教材的比较可以推进教材的改编。教材由正文、例题和习题三部分有机组成的。此次研究比较分析人教版、苏教版、北师大版最新版教材的“比例”部分内容。
1三版教材“比例”内容分布比较
人教版教材中“比例”是六年级下册第四单元，每一节的编排包括“例题”、“做一做”、“练习”。北师大版教材中“比例”是六年级下册第二单元，每一节的编排包括“例题”、“试一试”、“练一练”。苏教版中“比例”是六年级下册第单元，该版本在编排上只有单元标题，知识点以例题的形式呈现。
从上表1，可以看出三版教材在编排上都是以单元为基本结构，但在小结的编排上有所不同，所讲知识点一样，都包括比例的性质和意义，正比例和反比例、比例尺。人教版内容最后增加了“整理和复习”部分，苏教版增加了面积变化部分。
2三版教材习题比较
例题和练习题是教材的重要组成部分，在教学过程的组织中起着重要作用；习题在数学学习中具有非常重要的作用。一套完整的教材都会配有相应的例题与习题，而它们的难易程度是否适当，内容层次是否具有梯度，组织是否合理，都会直接影响着整套教材的质量。
2.1习题比较分析
教材的习题是小学教学中不可缺少的一部分，有助于学生巩固加强所学知识，加深对所学知识的理解，同时有主与学生的课后复习。不同版本教材习题的比较对教材的改编具有重要意义。
2.1.1题量比较
此次研究中的题量是教材中的所有练习题，包括“做一做”、“练一练”和“练习题”中的所有题。
从以上表2，可以发现三版教材中习题的题量最多的是人教版北师大版相对较少。
2.1.2题型比较
将习题根据解答的方式划分为写比例、解比例、问题解决和画图题。
表3：三版教科书《比例》习题类型比较
从上表3，可以看出，不同版本教材中，题型的分布存在一定差异，人教版和苏教版中问题解决题型所占比例较大，分别为68.83%和37.83%，北师大版的解比例题型所占比例较大为34.38%。从三版教材横向比较来看，人教版的问题解决题型比其他版本明显偏多。
3三版教材例题比较
教材中的例题是学生学习知识的桥梁，例题是解题方法的示范，能贯穿知识，归纳方法，是学生学习迁移的载体。例题设计的合理性直接关系到学生学习的效果、知识的掌握和运用能力。例题的设计的合理性显得尤为重要，下面是以“比例的认识“例题为例进行三版教材的例题特点进行比较。
人教版是比较操场上和教室里大小不同的两面国旗，操场上国旗的长宽分别是2.4米、1.6米，比是2.4：1.6=；教室里国旗的长宽分别是60厘米、40厘米，比是60：40=，2.4：1.6=60：40，也可以写成，=，像这种表示两个比相等的式子叫做比例。
北师大版通过比较同一张照片的不同长宽缩小和放大，只有在长宽相同比例放大时照片才像来认识比例。三张相同照片长比长、宽比宽相等，12：6=8：4，6：4=3：2。像12：6=8：4，6：4=3：2这样的表示两个比相等的式子叫作比例。在认识内项和外项。
关键词： 提高 学习 有效性
数学课堂教学的最终目标是给学生提供学习数学知识培养能力的机会，笔者在此提出了自己在教学过程中提高学生学习数学的有效性做法，仅供同行参考。
一、培养学生自主学习的能力
自主学习是学生获得终身学习和发展能力的基础，教学中有目的地培养学生主动学习、主动探究、主动运用的能力，才能提高学生学习数学的有效性。所以教师在课堂上应给学生提供自主学习的资源。
案例：课题《多边形的内角和公式》
教学过程设计：
师：三角形数内角和等为多少？
生：180°。
师：四边形的内角和为多少？
（学生通过讨论、思考，都可以说出四边形的内角和等于360°。）
师：同学们是怎样知道四边形的内角和为360°的呢？
生：把四边形分割成2个三角形得知。
师：五边形的内角和等于多少？
此时，学生通过思考、讨论、交流，教师激发了学生不自觉地去探索怎样像把四边形转化为三角形一样来求五边形的内角和。
案例剖析：通过课堂实践，本课时我采用了类比、转化的数学思想方法进行教学设计，给学生提供思考和探索的机会，培养了学生主动去探索问题的习惯，对学生有效地学习提供了较大的帮助。
二、关注数学思想方法的渗透
只有掌握了数学思想方法，才能真正掌握数学的真缔。在教学中，学生领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力。教师在引导学生探究问题的过程中应充分体现数学思想方法的应用。
案例：课题：新课标北师大版 数学 八年级下册 《分式的基本性质》
教学目标：类比分数的基本性质获得分式的基本性质，掌握分式的基本性质、化简分式。
教学过程设计：
1.情境导入
引例1：请六名学生做一个找好朋友的游戏，每人手里拿一张写有分数的卡片（下图示），具有相等结果的两人即成为好朋友，然后请他们说说成好朋友的依据是什么。
引例2：再换六名学生，卡片更换成六张写有分式的卡片（下图示），继续做上面的游戏。
互动：师：第一组六名同学为什么能找到他们的朋友，你知道是什么原因吗？
生：是利用分数的基本性质找到的。
师：哪位同学能说一说分数的基本性质吗？
生：分数的分子和分母同乘以或除以一个不为零的数，分数的值不变。
师：同学们知道第二组六张卡片上的代数式是什么式子吗？
生：是分式，因为它们的分母含有字母。
师：第二组六名同学找到了他们的好朋友了吗？他的是怎样找到的？
生：把分子、分母同除以一个不等于零的数，如，因为m≠0，所以 = = 。
师：根据“数式相通”，我们能描述分式的这一性质吗？请大家分组合作讨论。
案例剖析：以上教学过程运用类比的数学思想，引导学生由分数的基本性质探究出分式的基本性质，从而培养了学生注意应用数学思想方法去思考探索问题的能力，同时也有效地提高了学生学习数学的效率。
三、教学中应注意探究教学法与讲解法的结合
新课程理念强调对问题通过观察、思考、交流、讨论、合作、归纳等过程来解决对知识的理解与掌握，但本人在实际教学中发现，教师要注意根据学生和问题灵活选择教学的方法，有些问题学生根本无法探索出结果，教师就必须通过讲解，让学生沿着教师的思路去理解和掌握解决问题的方法。
案例：新课标北师大版 七年级《数学》 下册P31习题1.9问题解决：
下图是用棋子摆成的，按照这种摆法，第n个图形中共有多少枚棋子？
(第1题)
这是一道作业题，我在一个班上课时，让学生思考、讨论，结果没有几个学生能顺利把这一问题解出来，但在另一个班上课时，先让学生思考片刻后，我通过启发、讲解本题的解题过程，然后让学生模仿我的解法来理解，结果我再变换了一道类似的规律题，学生很快就能把问题解决出来。这说明，有些题，教师直接用讲解的方法让学生学习，能提高学生学习数学的有效性和提高学生的学习兴趣。
四、教学中关注学生经历数学过程
《数学课程标准》指出：“数学教学不仅要教给学生数学知识，而且要揭示获取知识的过程。”这揭示了获取知识的过程是学生由“学会”向“会学”转变的高效有力的方法。在教学实践中，教师关注学生经历数学过程，学生更能深刻地理解和掌握数学知识，更能提高学习的有效性。
案例：新课标 北师大版《数学》七年级上册 关于“确定事件与不确定事件”概念的教学
课前准备了三个箱子，第一个箱子内放了5个红球和5个白球，第二个箱子内放了10个白球，第三个箱子内放了10个红球，课堂上把学生分成三组，让每组学生分别在第一、二、三号箱子里做摸球游戏，摸到红球的学生获得奖品。学生经历了摸球游戏后，发现从一号箱子摸出的红球与白球机会差不多一样，从二号箱子从未出现过红球，三号箱子总是摸到红球。当教师把箱子里所放球的颜色告诉学生时，学生们自然就明白了什么是“确定事件”和“不确定事件”。
参考文献：
［1］郑强编著。初中数学教学――课堂教学55个细节。四川教育集团、四川教育出版社出版。
［2］北京全品教育研究所组编。素质教育新教案――新课标批北师大版 数学 八年级下册。西苑出版社。
我校现有学生1260多名，其中“流动学生”就有942名，占总人数的74.8%，每学年转入、转出学生极为频繁。从转入和转出的情况看，通常一学年中，转入比转出多，春季转入比秋季转入多，秋季转出比春季转出多。“流动学生”有很强的季节性，这与特殊的高原气候和父母打工的特点息息相关。数据显示，50%的“流动学生”家长主要是从事建筑业的，25%的“流动学生”家长是经商的，其余25%的“流动学生”家长以从事餐饮业和种植蔬菜为主。从转入学生的来源看，四川、重庆转入的汉族学生约占总转入人数的45%，其次是来自甘肃、青海的约占28%（以回族居多），来自四川阿坝、云南迪庆以及的昌都、江孜、林芝和其他地区的藏族学生约占20%；从转入学生的稳定性看，能够从小学一年级读到六年级毕业的学生只占68.5%。近两年来，由于我地区将更多工程项目向农牧区倾斜，“流动学生”父母工作地点也随之向农牧区转移，因从事的行业、居住环境的影响，相当一部分家长只能将子女托付给亲戚朋友或者几十个小孩专门请一个保姆照顾生活，又导致了“二次留守”现象的出现。学校打工子女多，学生流动性大是我校教育管理的一个突出问题，势必造成学生学科内容不能衔接，为我们的教学及评价工作以及学生学习成绩的提高带来了诸多困难。
一、学科内容不衔接的表现
1．教材版本呈现多样性
根据对我校内地“流动学生”的抽样调查，使用版本最多的是人教版，占60%；其次是冀教版，约占30%；少数是北师大版，约占10%。对“流动学生”的调查，农牧区学生在当地一般使用的语文是自治区编教材，数学是藏文版的，各版本教材知识体系与难易程度存在很大的差异，从而导致相当一部分“流动学生”学科知识不能够有机衔接，严重影响了教学的质量。
2．教材内容呈现差异性
各版本教材编排的特点不一致，知识体系前后缺乏一致性，学生学习起来具有一定的困难。
表1是小学数学第十一册各版本内容对比。
从表1可以看出，几个版本教材虽然大多数内容一致，但也有差异，比如“ 比和比例 ”在人教版和北师大版都被编排到六年级下册，而在冀教版却被编排到六年级上册；人教版“分数乘法”在冀教版被编排到五年级上册，在北师大版却被编排到五年级下册。各版教材各有其编排的特点，不尽相同，使学科知识结构和知识体系存在着一定的差异性，这成为提高“流动学生”学习成绩的无形障碍。
3．课程设置侧重点不同
“流动学生”在内地学习，主要以语文、数学为主，个别兼顾到英语，这三门学科是要重点学习和掌握的，品德与社会（生活）、科学（自然）、计算机注重的是实践能力，一般不参加统考。而内地班升学考试，将品德与社会（生活）、科学（自然）、计算机纳入了升学统考中，教师为了提高综合学科成绩，往往在原有教材的基础上进行知识拓展，这种举措，增加了学生的学习负担。据笔者了解，有些品德与社会（生活）、科学（自然）、计算机资料达到60多页，内容相当繁杂，囊括了很多初中的知识，学生要花费大量的时间和精力去学习记忆，给学生特别是“流动学生”造成很大的精神负担和学习压力。
二、不利于“流动学生”接受良好教育的外部因素
首先，农民工外出务工的主要目的是为了多挣钱，解决温饱问题，往往忽视了孩子接受教育的大事。其次，农民工工作时间长、劳动强度大，很晚才能回到住处，且已十分疲惫，自然与子女相处的时间少，何谈关心、辅导子女的学习。再次，流动频繁也导致接收“流动学生”的学校难以了解他们的生活环境、家庭情况，难以及时与家长联系与沟通开展有针对性的教育。最后，“流动学生”看到父母外出能打工，认为不上学也能一样挣钱，特别是一些老板的子女表现得更为突出。由于受父母的影响，导致他们学习态度不端正，学习目的不明确，学习方法不科学，对学习中遇到的问题特别是学科不能衔接感到很茫然，造成学习兴趣不高，成绩下降。这样一来，不完成作业、逃学、旷课便是他们的“家常便饭”，久而久之就出现了辍学现象。
由于上述原因，部分“流动学生”自卑、忧郁、意志薄弱，稍微遇到一点困难或挫折，就会动摇或丧失信心，一批评就泄气，惰性逐渐消磨了上进心，甚至自暴自弃，情绪上的不稳定，有时会以伤害他人的言语和破坏性的行为来发泄心中的不快。
三、解决“流动学生”学科衔接问题的实践
如何让“流动学生”的学科能够尽可能较好地衔接起来，不至于造成学习兴趣降低、成绩下降的后果，几年来，我们做了以下几个方面的实践。
1．对教师的教学评价和学生的学习评价采用以差异系数为标准的评价制度
我们摒弃了以往人均成绩、及格率“谁高谁教得好，谁低谁教得差”的做法，建立了以差异系数为依据的教学成绩评价标准（就是对整个年级来说，各班人均成绩与年级人均成绩之间的一种离散趋势的系数差）。例如一个学习有困难的学生考试成绩从35分提高到了38分（排除试题难易因素），即使只提高了3分，也是不小的进步。这样的评价机制有效地调动了教师工作的积极性，体现了对“流动学生”的关爱，既照顾了个体发展的差异，又遵循了素质教育的基本要求。
2．以“心理咨询室”为载体，关注“流动学生”的生活和心理、生理的变化
由于“流动学生”的具体情况，老师的批评、家长的指责、同学的鄙视，会进一步伤害他们的自尊心。他们在人生成长的道路上，更需要学校领导、教师的关爱。我们用心灵的温暖去医治他们心灵的创伤，让他们和正常的孩子一样能够接受正常的教育，为他们的成长做好我们每个教育者该做的事情。
3．为教师提供各版本教材
学校为教师提供各种版本的教材，教师根据各版本内容的异同，及时对“流动学生”因材施教，要求教师在设计教案时，能够将没有学到的知识及时补充，帮助“流动学生”建立起完善的知识体系。
4．建立“流动学生”档案
为了向教师及时准确地提供“流动学生”的信息，学校专门建立了“流动学生”的档案。
5．与“流动学生”家长密切配合做好学科衔接工作
比如学校对教师家访进行硬性规定，安排固定时间集中进行补习等。
小学六年级下册数学同步练习（北师大版）
一、自学
1、P2，观察并思考彩带随车轮转动后形成的图形是
2、观察风筝图，你发现风筝上的许多点形成了。
轿车上的雨刷转动扫过的图形是，
转动门的其中一扇是长方形的面，它转动形成了。
总结归纳：点运动形成，线运动形成，面运动形成。
二、自己解决p2
1、第3题：在课本上连一连
2、找一找把你找出的立体图形写在课本上。
三、认真思考
p3说一说：
圆柱和圆锥分别有什么特点？
四、p3认一认：
找出圆柱的底面、侧面、高。圆锥的侧面、底面、高。在右图中标出来
五、完成p3---p4课本中1——5题。
要求：用铅笔做在课本上。
第二课：圆柱的表面积
P5
一、课本引入：做一个圆柱形的纸盒，至少用多大面积的纸板？
预习完本节后把这个问题的解题过程写在下面：
二、做一做
圆柱的侧面展开图是一个什么图形呢？请你动手做一做。
结论：圆柱的而侧面展开图是一个。
三、说一说：
圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的
，长方形的宽是圆柱的。(在图中标出)
圆柱的侧面积=
，
如果用S侧表示圆柱的侧面积，C表示底面周长，h
表示高，那么，用公式表示为。
四、例题解决
p6试一试：做一个无盖的圆柱形水桶，底面直径为4分米，高为5分米，至少需要多大面积的铁皮？
第三课：圆柱的体积
P8怎样计算圆柱的体积？今天我们来预习圆柱的体积。
一、p8先复习长方体、正方体的体积是如何计算的？
V=
V=
你猜想：圆柱的体积怎么计算？圆柱的体积=
二、操作验证：
做一个圆柱形的白萝卜，然后沿着底面直径把白萝卜切成八等分，然后再拼成一个近似的长方体。参照课本操作。
观察你拼成的长方体，长方体的底面是圆柱的，长方体的高是圆柱的。因此，圆柱的体积=。
如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高。那么，圆柱的体积计算公式是V=
三、应用
1、已知一根柱子的底面半径为0.4米，高为5米，你能算出它的体积吗？
2、一个圆柱形水桶，从桶内量得底面直径是3分米，高是4分米，这个水桶的容积是多少升？
3、一根圆柱形铁棒，底面周长是12.56厘米长是100厘米，它的体积是多少？
四、练一练：p9----p10课本1----6题，
第四课：圆锥的体积
P11上一节预习课我们已经学习了圆柱的体积，知道了圆柱的体积等于底面积乘以高。那么，圆锥的体积能不能也这样计算呢？
一、探索圆柱和圆锥的的体积的关系：
1、仪器准备：请同学们准备等底等高的圆柱容器和
圆锥形容器各一个。
2、将圆锥形容器装满沙，再倒入圆柱形容器，看几次能倒满。
3、通过上面的小实验，你发现：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的。
4、如果用V表示圆锥的体积，S表示底面积，h表示高。你能写出圆锥的体积计算公式吗？V=
二、自学应用
1、一堆小麦，底面直径是4米，高是1.2米，你能计算出小麦堆的体积吗？
2、一个圆锥形零件，它的底面直径是10厘米，高是3厘米，这个零件的体积是多少立方厘米？
第五课：圆锥的练习题
一、计算下面个圆锥的体积
二单位换算、
3.5平方米=(
)平方分米
3400平方厘米=(
)平方分米
2300立方分米=(
)立方米
6.5升=(
)毫升
4000毫升=(
)立方厘米=(
)立方分米
0.083msup3;=(
)立方分米
三计算
1、如图，求圆锥的体积
2、一个圆锥形零件，它的底面半径是5厘米，高是底面半径的3倍，这个零件的体积是多少立方厘米？
3、测量中经常使用金属制作的铅锤，这种金属每立方厘米的质量约为7.8克。这个铅锤月多少克？
4、有一座圆锥形帐篷，底面直径约5米，高约3.6米。
(1)它的占地面积约是多少平方米？
(2)它的体积约是多少立方米？
5、张大伯家有一堆小麦，堆成了圆锥形，张大伯量得其底面周长是9.42米，高是2米，这堆小麦的体积是多少立方米？如果每立方米小麦的质量为700千克，这堆小麦有多少千克？
第六课：圆柱练习题
1、计算下面各圆柱的体积。
2、一个圆柱形纸杯高是20厘米，底面直径是14厘米，这个杯子能否装下3000毫升的牛奶？
3、一个装满稻谷的圆柱形粮囤，底面面积为2平方米，高为80厘米。每立方米稻谷约重600千克，这个粮囤存放的稻谷约重多少千克？
4、下面的正方体和圆柱哪个体积大？(单位：分米)
5、一个圆柱形容器的底面直径是10厘米，把一块铁皮放入这个容器后，水面上升2厘米。这块铁块的体积是多
少？
6、一根圆柱形木料的底面周长是12.56分米，高是4米。
(1)它的表面积是多少平方米？
(2)它的体积是多少平方分米？
(3)如果把它截成三段小圆柱，表面积增加多少平方分米？
本文就是我们为广大同学准备的六年级下册数学同步练习，希望可以为大家的学习起到一定作用！
关键词：《关于正确处理人民内部矛盾的问题》；“的”字；少
人民教育出版社2007年第3版的普通高中课程标准实验教科书・历史3（必修）第六单元第17课“思想”一课中，在84页“思想的发展”这一标题下的第三自然段这样写道：“在《论十大关系》和《关于正确处理人民内部矛盾问题》等报告中，……这就在社会主义建设理论方面发展了马克思主义学说。”读了这段文字，我对这里提到的1957年2月27日的报告的题目产生了疑问，我认为这里的报告（或讲话，以下统一用讲话）题目《关于正确处理人民内部矛盾问题》应为《关于正确处理人民内部矛盾的问题》的刊误，本着孤证不立的原则，我查阅了相关资料，更加确信现行教材关于这一讲话题目中少一“的”字是不正确的，现结合查阅的内容说明如下。
一、工具书的表述
《辞海》中对“”这一词条的叙述：“……1957年2月，作了《关于正确处理人民内部矛盾的问题》的讲话”。这里的讲话题目中有“的”字。
二、著作的表述
1.《选集》（第五卷）中的文章标题为：“关于正确处理人民内部矛盾的问题”。
2.《建国以来文稿》（第六册）中的文章标题为：“关于正确处理人民内部矛盾的问题”。
以上所列举的两处1957年2月27日的讲话题目中均有“的”字。
三、学者著作的表述
1.普通高等教育“十一五”部级规划教材：《中国现代史（第三版）1949―2002》（下）中的表述：“在最高国务会议第11次（扩大）会议上发表了《关于正确处理人民内部矛盾的问题》的重要讲话。”
2.《中国共产党历史简明读本》中的叙述：“在最高国务会议第十一次（扩大）会议上发表《关于正确处理人民内部矛盾的问题》的讲话。”
3.《中共党史青少年读本》中这样叙述：“发表《关于正确处理人民内部矛盾的问题》的讲话。……3个多月之后，《人民日报》公开发表的讲话，引起国际上的广泛关注。”
以上列举的学者著作中对1957年2月27日的这一重要讲话题目中也都有“的”字。
四、中学教科书及教学用书的表述
1.人民教育出版社的必修3教师教学用书中的“课文注释”中的词条题目为“《关于正确处理人民内部矛盾的问题》”，在这一条目下再次提及时也表述为“《关于正确处理人民内部矛盾的问题》”。这里两次提及这一讲话，其题目中都有“的”字。
2.人民教育出版社的选修4课本中写道：“在政治上，于1957年发表《关于正确处理人民内部矛盾的问题》重要讲话……并具体阐释了关于正确处理人民内部矛盾的各项方针。
3.人民教育出版社的选修4教师用书中的“教材分析”部分和后面的“案例五”在提及这一重要讲话时，均为《关于正确处理人民内部矛盾的问题》。
4.人民出版社的历史必修第三册课本中“思想的发展”这一标题下的第二自然段这样写道：“关于中国社会主义革命和建设的思想，集中地体现在《论人民民主》《论十大关系》《关于正确处理人民内部矛盾的问题》等著作中。”
以上所列举的人民教育出版社自己的选修4课本和教师教学用书以及必修3的教师教学用书，还有江苏使用的另一新课程版本――人民出版社的历史必修和选修课本在叙述到 1957年2月27日这一讲话时，题目中也都有“的”字。
综合以上四个方面的情况，我认为人民教育出版社的必修3课本中对1957年2月27日的这一讲话的题目应改为“《关于正确处理人民内部矛盾的问题》”。
参考文献：
[1]辞海编辑委员会。辞海[M].上海：上海辞书出版社，1994.
[2]中共中央主席著作编辑出版委员会。选集：第5卷[M].北京：人民出版社，1977.
[3]中央文献研究室。建国以来文稿：第六册[M].北京：中央文献出版社，1992.
[4]王桧林。中国现代史：下册[M].北京：高等教育出版社，2010.
前不久，我校共有五位教师在校级教学比赛中上了苏教版二年级下册的“认识方向”。同课异构的教学形式让我们很容易发现不同教师的教学风格和教学亮点，当然也发现了一些共性的教学问题，引发了我们对“认识方向”教学实施的整体性思考。我觉得，对一、二年级学生来说，要学好前三部分知识，实现深度建构，还有很多问题需要我们去深入研究和解决。
思考一：学生为什么分不清实际方向与图上方向
在第五节课结束后，参与听课的区教研室教师任意喊了几位听课学生，问：老师在你的哪个方向，他们都一致回答：在西南面。学生都是根据黑板上标的图上方向回答的，而教师问的是实际方向，此时的实际方向应是东南面。我们不禁追问：为什么学生分不清实际方向与图上方向？
细细分析，有以下几点原因：第一，教师对实际方向的教学不够重视。比较上课的五位教师，只有一位教师在教室相应的墙上贴了东、西、南、北，而且只在课的开始用了一下，之后就没好好地利用这一资源。而学生对上课的新环境不熟悉，分不清新教室的东、西、南、北，对实际方向印象不深。第二，五位教师都只是在课的开始让学生认识实际生活的四面八方，当由生活方向引出图上方向后，都没有再设计由图上方向回到实际方向的学习活动，课堂学习的大部分时间都是学习如何认识平面图上的四面八方，学生的思维也就被定在了符号世界里而不能回到现实生活中来了。第三，学生没有弄清实际方向与图上方向的区别与联系，辨别意识和切换能力不强。
对策：借助方向操和方向板打通实际方向与图上方向的内在联系
二年级上册的“认识方向”安排了两个课时，第一课时就是让学生认识实际生活中的东、西、南、北，第二课时才是认识平面图上的东、西、南、北。在教学实际方向时，为了帮助学生建立良好的方向感，我曾利用一切可能的机会让学生在操场上、教室外、教室内、家里等地方练习方向操。如，让学生面朝太阳落山的方向，用右手臂边指边说：前（西）后（东）左（南）右（北），面朝太阳升起的方向，用右手臂边指边说：前（东）后（西）左（北）右（南），面朝指南针红针所指的方向，用右手臂边指边说：前（北）后（南）左（西）右（东），面朝树干年轮较疏的方向，用右手臂边指边说：前（南）后（北）左（东）右（西）。同时启发学生：只要牢记实际方向中的两个方向，如面朝北时的前北、右东，那与北相对的就是南，与东相对的就是西了。二年级下学期学了东南、东北、西南、西北后，方向操就变为左右臂依次侧举或前举，再“击掌”指出之间方向。如，面朝西，边做边说：西、南、西南，西、北、西北。这种方向操综合性、娱乐性较强，方向口令琅琅上口，学生全身心投入，玩得不亦乐乎，学得轻松高效。
在二年级下册教材安排了方向板的设计。但我觉得，要想让学生沟通实际方向与图上方向的联系，减轻记忆负担，促进意义建构，二年级上学期就要让学生学做方向板，在制作中自然引出图上方向，感受图上方向规定的合理性与实用性。教学时我是这样实现由实际方向向图上方向的切换的：请大家面朝教室的北面，此时的四个实际方向分别是——前北，后南，左西，右东；拿一张白纸先左右对折再上下对折，展开后将此时的四个方向分别记录在折痕中心点的前、后、左、右，将这个方向板水平放好在桌上不动，使它的北与实际的北方保持一致，它就能帮你快速识别实际方向，做对方向操。现在将这张纸竖起来看，这四个方向就成了——上北、下南、左西、右东，这就是地图或平面图上规定的方向。所以图上方向与我们面朝哪里的实际方向是一致的。
在面朝北的方向操中制作方向板，在方向板由平放到竖放的旋转变化中，实际方向与图上方向的内在联系被打通，学生生活世界的经验提升为符号世界的抽象知识。
思考二：学生为什么只知〈ＷＷＷ．BAIHUAWEN.com〉其一不知其二
在练习青山乡水果园的题目时，一位教师出示了这样的填空题：（ ）在苹果园的（ ）面。
当时我眼前一亮，觉得这样的练习很开放，一下子打开了学生的思路，拓宽了学生的视野。因为观察的中心点已由水库变为苹果园了，而且答案不是唯一的。学生都能说西瓜园和山楂园在苹果园的北面，橘子园和樱桃园在苹果园的东面。可在回答苹果园的东北面有什么时，学生只说出水库和梨园，未提及桃园与葡萄园。更遗憾的是，上课教师对这样的回答未作及时的引导。其实，在苹果园东北面的还有桃园和葡萄园。可见，学生对东北面在东面和北面之间的认识是有偏差的，他们潜意识里只认为在东面与北面45度角的方向上才是东北面。从数形结合的角度看，如果说图上东、西、南、北对应的是十字坐标中从中心点出发的四条射线的话，那东北则是对应两条射线之间的区域，所以东北、西北、东南、西南对应的图形是面而不是线。苏教版教材六年级下册“确定位置”单元第54页明确写着——东北方向也叫做北偏东，西北方向也叫做北偏西。学生出现这样的认知偏差，一方面是由于教师认知引导的缺失造成的；另一方面，教材在呈现图片时，可能考虑到对称美的因素，常常将处于东北、西北、东南、西南面的图片放在两个相邻主方向的45度夹角的射线上，机械不变的呈现方式导致了学生的错误。
对策：借助变式学习形成东北方向等指某个对应区域的正确理解