为保证活动高起点、高质量、高水平开展，常常需要提前进行细致的活动方案准备工作，活动方案是阐明活动时间，地点，目的，预期效果，预算及活动方法等的书面计划。怎样写活动方案才更能起到其作用呢？奇文共欣赏，疑义相如析，这里是细致的小编午夜为大家收集的概率论论文10篇，希望能够帮助到大家。
农家孩子，步入了浩瀚的知识殿堂
杨向群原名杨广通，又名杨超群，1939年9月23日，出生于湖南省蓝山县古城乡古城村一个农民家庭。5岁入基圣小学，后进六里小学读高小，天资聪颖，学习成绩优异。此时丧父，家贫，不得不辍学。后竟以高小肄业考取蓝山县立中学。他刻苦攻读，尤以数学成绩突出。1953年考取郴州市一中，先后获“三好学生”称号、学校全面发展奖章、校作文比赛一等奖、全市数学竞赛一等奖。
1956年参加高考，他以优异成绩考取全国重点大学之一的南开大学数学专业本科，步入浩瀚的知识殿堂。当时南开大学有许多我国著名的数学家，例如吴大任、胡国定、邓汉英、周学光，以及刚从苏联莫斯科大学攻读概率论，学成回国的王梓坤博士。大五时，王博士讲授概率论出神入化，深深地吸引了杨向群，并培养了他后来对整个数学的热爱和执着。1961年，他由本科毕业直升该校数学系的概率论与数理统计的研究生，在导师王梓坤的教授下，从事马尔可夫过程的研究，从此奠定了他终身从事概率论研究的人生道路。
王梓坤教授是与陈景润齐名的数学家，他是第一个将马尔可夫过程引入我国，并进行系统研究，后� 他为青年教师和本科生开设概率论基础及其应用课程，辛勤地培养、造就了概率论的教学和科研队伍。杨向群在这所著名的高等学府和这位名师的指导下，开展研究工作，如鱼得水。他逐步掌握了科学理论研究思维方式，并善于在纷繁复杂的问题体系中抓出主要问题。他思路开阔，表现出非凡的才华。从1964年开始，他的《一类生灭过程》、《关于生灭过程构造论的注记》、《柯氏向后微分方程的边界条件》、《可列马氏过程的积分型泛函和双边生灭过程的边界性质》、《生灭过程的性质》、《双边生灭过程》等6篇论文相继在《数学学报》、《数学进展》和《南开大学学报》上发表，有的论文由美国数学学会译成英文在美国发表。这些论文的发表，在数学领域里引起了同行们的瞩目。当时湖南的一位年轻的大学教师读了这些论文后，很受教育和启发，多次向杨向群求教，索取相关资料，若干年后，他也成了研究马尔可夫过程的学者。
下放农村，仍坚持对概率论的研究
1965年，杨向群在南开大学研究生毕业，分配到江西师范学院任教，旋即被派往农村搞“四清”工作。
1968年11月，由于“”的原因，江西高校受到冲击，江西师范学院也被拆散了，教师被赶下农村，杨向群来到江西贵溪县志光公社横田大队插队落户。当时他还未成家，单身一人，便与同时下放到这里的l0多名十五、六岁的知识青年组成新家。这群孩子名为知识青年，实际上连初中生的水平都没有。他们是“”初期的红卫兵，只善于冲冲闯闯，打打杀杀，既没有劳动技能，更没有劳动习惯。杨向群成了“孩子王”，每天带领他们下地干活，推独轮车送肥。出完集体工后，还要回来种菜、做饭，这群在城市中长大、娇生惯养的孩子怎么也吃不消。杨向群与公社、大队干部研究，将他们转到养猪场种饲料、种菜、喂猪，养猪场有专人做饭、烧茶水，干活单纯，也便于管理。杨向群想，现在这段时间对这群孩子来说，应该是学文化长知识的最好时期，如果耽误，实在可惜。于是他利用农闲，组织他们进行学习。
身体瘦弱的杨向群在插队落户的四年多的时间里，不但自己要带头干农活，还要带领这群知青一道去喂猪、种饲料，有时甚至还要去杀猪卖肉。高等学府培养的出类拔萃的人才干这种强体力的重活，实在是对人才的摧残。横田大队的干部、社员都很同情杨向群，有个老农对他说：“你在这里受的苦太多了，忍受一下吧，不看重知识分子，不要文化，这种世道不会长久，有一天，会有人把你请出去的。”
杨向群坚信：“暴风雨”过后，党和国家-定会把科学研究工作提到日程上来。现在不抓紧时间搞科研，等到日后要成果又拿不出来，那不很糟糕吗？虽然白天劳动强度大，但到了晚上他就抓紧时间从事研究概率论的工作。夜深人静，人们熟睡之中，正是他思维活跃之时，笔尖下汨汨流淌，又一篇论文的雏形已经形成。他利用回省城南昌拿换洗衣被什物的机会，到图书馆去查阅有关资料，密切注视国际上对概率论研究的动向。在这段时间，他对“构造论里的样本轨道的极限过渡法”进行了研究，解决了寿命为无限的生灭过程的构造，用两种不同的办法来处理两种不同的情况。这些研究为他日后撰写论文，做好了思想和资料上的准备工作。这在当时是要冒很大风险的，轻则扣上“崇洋”的帽子，重则会当作对抗“五七”指示加以批斗。好在他意志坚强，晚上挑灯夜战到深夜，白天仍坚持工作没有倦意，谁也没有发现他在默默无闻地做研究工作。
任湘潭大学校长，为教师排忧解难
1972年，杨向群结束了插队落户的生活，被调往湖南邵阳二纺子弟学校任教。他不仅教初中、高中，还教初小、高小，也教看图识字。
1976年粉碎“”后，迎来了科学的春天。他和王梓坤、侯振挺、郭青峰申报的《齐次可列马尔可夫过程的研究与成果简介》论文荣获1978年全国科学大会奖。喜讯传到二纺厂子校，师生们向他热烈祝贺。同年9月，杨向群被调到湘潭大学任教，并由助教破格晋升为副教授。10月，他的《齐次可列马尔可夫过程的理论》获湖南科学大会奖。1979年他又获湖南省高等学校“六五”期间科研成果奖。
1996年，他的又一本专著《两参数马尔可夫过程论》出版，于1999年荣获国家教育部科技进步一等奖。湖南师大聘请他为终身教授。随后，他被推选任湖南师范大学教学委员会主任、湖南省数学学会副理事长、国家自然科学基金委员会数理学科评审组成员。
杨向群教授热爱教师职业，热爱数学教学工作，学风正派，治学严谨，有良好的教学效果。他不仅给本科生上课，而且已培养了40多名研究生，造就了新的数学人才。他们大多数已成为国内、外各条战线上的骨干，有的成为教授、副教授、博士，有的获得其他高级职称和副高级职称等。
他的研究成果，在国际上一直是领先的
在上世纪60年代初，杨向群从事概率论中马尔可夫过程的研究，在《数学学报》等多家杂志上，都被美国数学学会将它收入到美国的《概率论与数理统计论文选集》中。在上世纪80年代至本世纪初，杨向群又发表高水平的论文80余篇，在国内外出版发行专著4部。他终身研究马尔可夫过程，为中国和世界作出了可喜的贡献。
马尔可夫过程的构造问题是国际上概率论研究中一个重要而困难的问题，至今已有60余年的历史。它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A・A・马尔可夫于1907年提出。人们在实践中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。杨向群的导师王梓坤将马尔可夫过程引入我国后，潜心研究，彻底解决了生灭过程的构造问题，也就是说，他找出了全部的生灭过程，更为重要的是，他创立了马尔可夫过程构造论中的一种崭新方法--概率论方法，亦称过程轨道的极限过渡法。这个新方法在用过程轨道研究过程的性质时显示出极大的优越性。他在概率论研究的方向上作出了许多重要的、出色贡献。
杨向群继承了导师的研究成果，撰写了《可列马氏过程的积分型泛函和双边生灭过程的边界性质》，在《数学进展》上发表，后由美国数学学会译成英文在美国发表，备受世界各国概率论专家的关注。随后，发表了《生灭过程与马尔可夫链》，解决了双有限构造问题，打破了1964年以来一直由外国学者领先的结果，至今仍处于领先的地位。为此，美国数学学会聘请他为该会成员并兼任美国《数学评论》杂志评论员。
杨向群1986年出版的专著《可列马尔可夫过程构造论》，被誉为世界科研专业名著，全书除第1章中必须引用前人的结果外，其余基本上都是杨向群本人的研究成果，其中新得到的结果目前国际上仍然是领先的。本书主要采取概率方法和分析方法相结合，这种结合是杨向群所首创和系统使用的。著名概率论专家、英国皇家学会院士、剑桥大学教授D.G.Kendall为该书英文版作序。序中写道：“这部专著首先井井有条地阐述了马尔可夫过程的基本结构，接着在后面的篇章中进一步阐述了主要是杨向群自己的以及其他几位中国学者新近研究的先进的学术成果。”著名的概率论专家P.G.Pollet在Annal of probability杂志上撰专文对该书进行评价：“杨的书的英文版的出版是及时的，它与西方的研究者们在构造论中重新燃起的兴趣相一致。本书报告了近二十年来中华人民共和国的概率论学者作出的激动人心的成就。”英国Wiley&Sons出版公司在新书介绍中也写道：“一本该领域中延伸到研究前沿的新书。构造论是马尔可夫过程理论的核心课题。杨向群是一位卓越的中国学者，他处于该领域的前沿。”杨向群和学生合著的《两参数马尔可夫过程论》出版后也受到高度评价：“本书在多参数马尔可夫过程的研究领域中，达到了国际领先水平，是该领域不可多得的优秀理论专著。”《科学通报》杂志有专文评述：“专著全面总结了这一分支在国内外的研究进展。当然，大部分成果是作者自己获得的。该书是当前国内外研究多参数马尔可夫过程的唯一专著。本书对两参数马尔可夫过程的研究建立了一个基本的理论框架。”
杨向群教授的研究工作长期得到国家自然科学基金委员会的基金资助，得到国家教育部、湖南省人民政府以及所在工作单位和同事们的大力支持。目前，他与他的学生们一道，从事马尔可夫过程爆发后的性质研究，保险和数理金融的理论及其应用研究。
在教学内容的选编中，所选内容应突出“厚基础”“重应用”的应用型特色。综合考虑学生的就业方向，侧重论述概念、方法、原理的历史背景和现实背景在金融等方面的应用，对于冗长难懂的理论证明可以用直观易懂的现实背景来解释。例如讲解全概率公式时，学生虽可以比较容易地应用，但不容易理解公式的本质，所以并不觉得引入这些公式有什么必要性，大大降低了学生的学习兴趣。但如果在课堂引入“敏感事件调查”这个例子，会对经管类的文科学生具有很强的吸引力， 在介绍贝叶斯公式时，可以根据经管类专业，引入贝叶斯公式应用在风险投资中的例子。在介绍期望的概念时，从游戏介绍概念来源的背景，再将期望用到实际生活中去，可以引入其在投资组合及风险管理等方面的应用。这样能使学生真正理解概率论中许多理论是取之于生活而用之于生活，并能自觉将理论运用到生活中去。在介绍极大似然思想时，可以从学生和猎人一起打猎的案例进行引入。
2设计趣味案例，激发学生学习兴趣2015年1月5日
随着互联网的迅猛发展、电脑的普及、各种游戏软件的开发，很多大学生喜欢在网上玩游戏。教师可以抓住大学生爱玩游戏这一特点，况且概率论的起源就来源于游戏，教师可以在讲授知识时，由一个游戏出发，循循诱导学生从兴趣中学到知识，再应用到生活中去。例如，在讲解期望定义时，可以设计这样的一个游戏案例：假设手中有两枚硬币，一枚是正常的硬币，一枚是包装好的双面相同的硬币(即要么都是正面，要么都是反面，在抛之后才可以拆开看属于哪种)。现在让学生拿着这两枚硬币共抛10次，一次只能抛一枚，抛到正面就可以获利1元钱，反面没有获利，问学生选择怎样一种抛掷组合，才能使预期收益最大？教师留给学生思考的时间，然后随机抽一位同学回答，并解释其理由。大部分学生选择先抛后面那枚硬币，如果发现两面都是正面，那么后面9次都抛这枚，如果是反面，那后面9次都抛前面那枚硬币。这种抛掷组合确实是最优的，但总是说不清其中的道理来。这时教师可以向学生解释，其实大家在潜意识中已经用到了期望，然后利用期望的定义为大家验算不同抛掷组合的期望值来说明大家选的组合确实是最优的，这时学生豁然开朗，理解了期望的真正含义。游戏可以继续，如果将若干个包装好的非正常硬币装入一个盒子里，比如将5枚双面都是反面的、1枚双面都是正面的硬币装入盒子里，学生从中摸一个硬币出来，再和原来那枚正常的硬币一起共抛10次，也可以选择不摸硬币，直接用手中正常硬币抛10次。这个时候，原来那种抛掷组合还是最优的吗；如果再改变箱子中两种硬币的比例，比如9枚双面是反的，1枚双面都是正的，结果又是怎样等等，这些问题可以留给学生课后思考，并作为案例分析测试题。按照上述设计教学案例，不仅让学生轻松学到知识，激发学生学习的能动性，还可以提高学生自己动手解决实际问题的能力，培养学生的创新能力。
3精选实用型案例，引导学生学以致用
如在讲解全概率公式时引入摸彩模型，中奖的概率是否与抽奖的先后顺序有关。利用全概率公式可以证明与顺序无关，大家机会是平等的。又如讲解事件独立性可以引入比赛局数制定的案例，如果你是强势的一方，是采取三局两胜制还是五局三胜制，这个例子也可以用大数定理来解释，n越大，越能反映真实的水平。又如设计车门高度问题，公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0．01以下来设计的：设某地区成年男性身高(单位：cm)X～N(170，36)，问车门高度应如何确定？这个用正态分布标准化查表可解决。合理配备维修工人问题：为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人(工人配备多了就浪费，配备少了又要影响生产)，现有同类型设备300台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0．01。在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况)，问至少需配备多少工人，才能保证设备发生故障不能及时维修的概率小于0．01?这样的问题在企业和公司经常会出现，我们用泊松定理或中心极限定理就可以求出。学生参与到实际问题中去，解决了问题又学到了知识，从而有成就感，学习就有了主动性。
4运用多媒体及统计软件进行经典案例分析
在概率统计教学中，实际题目信息及文字很多，需要利用统计软件及现代化媒体技术。其一，采用多媒体教学手段进行辅助教学，可以使教师节省大量的文字板书，避免很多不必要的重复性劳动中，从而教师就可以将更多的精力和时间用于阐释问题解决的思路，提高课堂效率和学生学习的实际效果，有效地进行课堂交流。其二，使用图形动画和模拟实验作为辅助教学手段，可以让学生更直观地理解一些抽象的概念和公式。如采用多媒体教学手段介绍投币试验、高尔顿板钉实验时，可以使用小动画，在不占用过多课堂教学时间的同时，又能增添课堂的趣味性。而在分析与讲解泊松定理时，利用软件演示二项分布逼近泊松分布，既形象又生动。如果在课堂教学中使用Mathematica软件演示大数定律和中心极限定理时，就可将复杂而抽象的定理转化为学生对形象的直观认识，以使教学效果显著提高。在处理概率统计问题过程中，我们经常会面对大量的数据需要处理，可以利用Excel，SPSS，Matlab，SAS等软件简化计算过程，从而降低理论难度。不仅如此，在教师使用与演示软件的过程中，学生了解到应用计算机软件能够将所学概率论与数理统计知识用于解决实际问题，从而强烈激发学生学习概率知识的兴趣。
5结合实验教学，培养学生应用技能
由于概率论与数理统计课程是一门应用科学，因而通过一定的实验来培养学生的实验动手与动脑能力显得尤为重要，在教学中，应该设计一些与所学专业相关的案例进行试验教学。如采用以下几个实验：统计全年级该课程考试成绩，看是否符合正态分布，并标准化而后排出名次；调查某个城市居民每月生活费用的分布情况，给出一定置信水平的置信区间；利用蒙特卡罗模拟计算定积分，利用蒙特卡罗模拟方法求的值，利用蒙特卡罗模拟对资产组合进行模拟，使学生系统掌握蒙特卡罗模拟这种在金融界得到广泛应用的主流方法；对保险精算中的案例进行回归分析。通过开设概率统计实验课，不仅可以使学生体味生活中的数学，更可以让学生深刻理解数学的本质和原貌，培养学生的实际操作与应用能力，从而提高学生的数学素养，并为后续课程夯实数学基础，让概率统计方法真正成为经济、金融和管理科学的有力工具。另外，在考试方式上，可以精选案例分析题，考查学生案例分析能力，完善考核制度。在考试命题方式上，打破传统的客观题一统天下的格局，引入一定比例的案例分析题；总评成绩中，增加课后案例分析思考题或测试成绩的权重，考察学生综合能力。
愉快和谐的课堂环境是上好一门课的基础。课堂教学除了知识交流外，还要有情感交流，教学活动是在知识、情感这两方面互相作用、互相制约下完成的。只注重知识讲解，而忽视与学生的情感交流是不可能取得理想的教学效果的。教师微笑的面容、温柔的目光、落落大方的仪表会给课堂奠定愉快而和谐的基调，为学生的学习创造良好的心理环境。在讲课过程中要用眼神与学生交流，当看到学生听懂后的喜悦表情时，会受到激励，使自己振奋；如果学生抬头率低，或者表示疑惑，就要想办法再讲一讲。教学中不能妄自尊大，要以学生为主体，以人为本，以调动学生的学习主动性、积极性为手段，以提高学生的学习兴趣、学习能力和创新意识为宗旨，在激发学生潜能、启迪学生思维的过程中传授知识与技能，促进学生知识、能力和素质的综合协调发展。
二、针对课程特点运用高效的教学方法与手段
针对课程特点运用高效的教学方法与手段是上好一门课的关键。概率论与数理统计是研究和探索客观世界中随机现象的一门数学学科，在金融、保险、经济与企业管理、工农业生产、军事、气象与自然灾害预报等方面起到非常重要的作用。作为一门应用性很强的学科，它已经成为高等学校工、农、经管等专业的一门重要基础课程。概率论与数理统计的教学内容要求讲授五章概率论，两章数理统计。由于概率论与数理统计的课时一般为48学时，加上这门学科的文字性描述很多，仅仅采用传统黑板加粉笔的教学手段，会促使老师拼命赶进度、加大课堂信息量，以便完成教学任务，这种“满堂灌”的教学模式忽视学生的感受，导致这门趣味性极强的课程达不以应有的教学效果。如果合理采用PPT讲授这门课程，就可以节省许多当堂板书时间，这样教师在有限的教学时间中可以进行更多的教学活动，从而达到意想不到的效果。
教师可以根据教学内容，紧密联系学生的生活环境及专业特色，通过PPT创设学生熟悉与感兴趣的教学情境，通过一幅幅熟悉的画面和精心设计的热点问题激发学生的学习积极性，让学生真正成为课堂学习的主体，拥有学习主动权。要注重具体案例的选择，紧密联系现实生活，激发学生的求知欲。但在使用PPT的过程中，有些推导、演算的东西，可以用粉笔在黑板上一点点地推导能更好地引导学生思考。通过PPT展示一定数量的课堂练习，关注学生的差异，设计不同水平的题目使每个学生都有机会参与教学活动，可以让学生集体讨论，努力改变原有老师一味讲、学生一味听的被动局面，在集体讨论的过程中，教师要在学生中间转圈，指导他们。每堂课都要用PPT做小结，帮助学生梳理课堂的主要内容和重难点，让学生做到心中有数，弥补PPT教学容易遗忘的缺陷。
科学完善的评价体系对打造高效的数学课堂也是尤为重要的，它可以让学生在课堂上始终保持高涨的学习积极性和强烈的主体性。评价的主要目的是全面了解学生的学习历程，激励学生学习和改进教师教学。评价学生学习状况的主要目的是激励优秀学生努力学习，取得更好的成绩，同时鼓励基础相对薄弱的学生树立信心，不断进步。传统考核机制实行一卷定终身的闭卷考试模式，忽视基础条件的差异，只对基础条件较好的学生起到促进作用，对基础相对薄弱的很难起到鼓励作用。教师可以根据授课学生实际情况实行多样化考核方式，适应不同学生的发展要求。如加大平时成绩的权重，重点考察课堂表现和作业情况，帮助基础薄弱的学生树立信心，对于基础好的学生，可以鼓励他们根据自身发展目标，在参加传统闭卷考试和撰写论文之间做出选择，论文主要是结合专业特色做一篇研究报告，或者做一篇课程论文，可以一人独撰，也可以多人合作完成。这种考核机制有助于培养优秀大学生的创新意识和团队协作意识。
关键词：随机现象；概率；应用分析
在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成两大类：一类是确定性的现象，指在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。如，在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。另一类是不确定性的现象。这类现象在一定条件下的结果是不确定的。例如，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各颗种子的发芽情况也不尽相同有强弱和早晚之别等。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素是人们无法事先预料的。这类现象，我们无法用必然性的因果关系，对现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。
概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。
走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率；生产、生活更是离不开概率。在令人心动的摇奖中，概率也同样指导着我们的实践。继股票之后，也成了城乡居民经济生活中的一个热点。据统计，全国100个人中就有3个彩民。通过对北京、上海与广州3城市居民调查的结果显示，有50%的居民买过，其中5%的居民成为“职业”(经济性购买)彩民。“以小博大”的发财梦，是不少购买者的共同心态。那么，购买真的能让我们如愿以偿吗？以从36个号码中选择7个的方式为例，看起来似乎并不很难，其实却是“可望而不可及”的。经计算，投一注的理论中奖概率如下：
由此看出，只有极少数人能中奖，购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成发财之路。
体育比赛中，一局定胜负，虽然比赛双方获胜的机会均为二分之一，但是由于比赛次数太少，商业价值不大，因此比赛组织者普遍采用“三局两胜”或“五局三胜”制决定胜负的方法，既令参赛选手满意，又被观众接受，组织者又有利可图。那么它对于双方选手来说真的公平吗？以下我们用概率的观点和知识加以阐述：日常生活中我们总希望自己的运气能好一些，碰运气的也大有人在，就像考生面临考试一样，这其中固然有真才实学者，但也不乏抱着侥幸心理的滥竽充数者。那么，对于一场正规的考试仅凭运气能通过吗？我们以大学英语四级考试为例来说明这个问题。
大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种考试，具有一定难度，包括听力、语法结构、阅读理解、填空、写作等。除写作15分外，其余85道题是单项选择题，每道题有A、B、C、D四个选项，这种情况使个别学生产生碰运气和侥幸心理，那么靠运气能通过四级英语考试吗？答案是否定的。假设不考虑写作15分，及格按60分算，则85道题必须答对51题以上，可以看成85重贝努利试验。
概率非常小，相当于1000亿个靠运气的考生中仅有0.874人能通过。所以靠运气通过考试是不可能的。
因此，我们在生活和工作中，无论做什么事都要脚踏实地，对生活中的某些偶然事件要理性的分析、对待。一位哲学家曾经说过：“概率是人生的真正指南”。随着生产的发展和科学技术水平的提高，概率已渗透到我们生活的各个领域。众所周知的保险、邮电系统发行有奖明信片的利润计算、招工考试录取分数线的预测甚至利用脚印长度估计犯人身高等无不充分利用概率知识。
如今“降水概率”已经赫然于电视和报端。有人设想，不久的将来，新闻报道中每一条消息旁都会注明“真实概率”，电视节目的预告中，每个节目旁都会写上“可视度概率”。另外，还有西瓜成熟概率、火车正点概率、药方疗效概率、广告可靠概率等等。又由于概率是等可能性的表现，从某种意义上说是民主与平等的体现，因此，社会生活中的很多竞争机制都能用概率来解释其公平合理性。
总之，由于随机现象在现实世界中大量存在，概率必将越来越显示出它巨大的威力。
参考文献：
[1]刘书田。概率统计学习辅导[M].北京：北京大学出版社，2001.193-196.
[2]龙永红。概率论与数理统计中的典型例题分析与习题[M].北京：高等教育出版社，2004.218-221.
杨向群的业绩受到党和政府的尊重、学界的推崇。他先后被推选为第七届全国人大代表、第七、八届国家自然科学基金会数学学科评审组成员、湖南数学学会副理事长等。
步入了浩瀚的知识殿堂
杨向群原名杨广通，又名杨超群，1939年9月23日出生于湖南省蓝山县古城乡古城村一个农民家庭。他5岁入基圣小学，天资聪颖，学习成绩优异。进六里小学读高小时丧父，家贫，不得不辍学。他酷爱学习，想继续读书，竟以高小肄业考取蓝山县立中学。他刻苦攻读，全面发展，尤以数学成绩突出。1953年考取郴州市一中，编入高14班，任班学习委员、团支部宣传委员，先后获“三好学生”称号、学校全面发展奖章、校作文比赛一等奖、全市数学竞赛一等奖等。
1956年参加高考，杨向群以优异成绩考取全国重点大学南开大学，攻读数学专业。这所学校曾是周恩来、邓颖超的母校，具有光荣的革命传统，而且师资力量很强，学习环境好。当时，南开大学有许多我国著名的数学家，如吴大任、胡国定、邓汉英、周学光，以及刚从苏联莫斯科大学攻读概率论，学成回国的王梓坤博士等。王梓坤讲授概率论出神入化，深深地吸引了杨向群，并培养了他后来对整个数学的热爱和执著。1961年，他由本科毕业直升该校数学系的概率论与数理统计的研究生，在导师王梓坤的指导下，从事马尔可夫过程的研究，从此奠定了他终身从事概率论研究的人生道路。
王梓坤是与陈景润齐名的数学家。他是第一个将马尔可夫过程引入我国，并进行系统研究的人，后� 他为青年教师和本科生开设概率论基础及其应用课程，培养、造就了概率论的教学和科研队伍。杨向群在这所著名的高等学府和这位名师的指导下，开展研究工作，如鱼得水。他逐步掌握了科学理论研究思维方式，并善于在纷繁复杂的问题体系中抓出主要问题。
杨向群思路开阔，表现出非凡的才华。从1964年开始，他的《一类生灭过程》《关于生灭过程构造论的注记》《柯氏向后微分方程的边界条件》《可列马氏过程的积分型泛函和双边生灭过程的边界性质》《生灭过程的性质》《双边生灭过程》等6篇论文相继在《数学学报》《数学进展》《南开大学学报》上发表，并被美国数学学会译成英文收录在美国的《概率论与数理统计论文选集》中。这些论文的发表和收录，让他在数学领域里引起了同行们的瞩目。当时湖南一位年轻的大学教师读了这些论文后，很受教育和启发，多次向杨向群求教并索取相关资料，若干年后，他也成了研究马尔可夫过程的著名学者。
下放仍坚持研究概率论
1965年，杨向群在南开大学研究生毕业，分配到江西师范学院任教，旋即被派往农村搞“四清”工作。
1968年11月，由于“文革”的原因，江西师范学院的教师被下放农村，杨向群来到江西省贵溪县志光公社横田大队插队落户。当时他还未成家，单身一人，便与同时下放到这里的10多名十五六岁的知识青年组成新家。这群孩子名为知识青年，实际上连初中生的水平都没有。他们是“文革”初期的红卫兵，只会冲冲闯闯，打打杀杀，既没有劳动技能，更没有劳动习惯。杨向群成了“孩子王”，每天带领他们下地干活，推独轮车送肥，出完集体工后，再带着他们回来种菜、做饭。这群在城市中长大、娇生惯养的孩子吃不消，闹情绪。杨向群一到公社开会或外出办事，他们就闹事闯祸。杨向群考虑到实际情况，与公社、大队干部研究，将他们转到养猪场种菜、喂猪。养猪场有专人做饭、烧茶水，干活单纯，也便于管理。杨向群想，现在这段时间对这群孩子来说，应该是学文化长知识的最好时期，如果耽误，实在可惜。于是他利用农闲，组织他们进行学习。
身体瘦弱的杨向群在插队落户的4年多时间里，自己要带头干农活，还要带领跳皮王干好农活，安排他们的生活。后来转到横田大队猪场后，他不但要和这群知青一道去喂猪、种饲料，还要去杀猪卖肉。高等学府培养的出类拔萃的人才干这种体力重活，实在是对人才的摧残。横田大队的干部、社员都很同情杨向群，有个老农对他说：“你在这里受的苦太多了，忍受一下吧，不看重知识分子，不要文化，这种世道不会长久，有一天，会有人把你请出去的。”
杨向群坚信以后党和国家-定会把科学研究工作重新提到日程上来，他感到时间紧迫。他想，现在不抓紧时间搞科研，等到日后要成果又拿不出来，那不很尴尬吗？因此，尽管白天劳动强度大，但到了晚上他就抓紧时间研究概率论。夜深人静，人们熟睡之际，正是他思维活跃之时。他利用回南昌拿换洗衣被什物的机会，到图书馆查阅有关资料，密切注视国际上对概率论研究的动向。在这段时间，他对“构造论里的样本轨道的极限过渡法”进行了研究，解决了寿命为无限的生灭过程的构造，用两种不同的办法来处理两种不同的情况。这些研究为他日后撰写论文，做好了思想和资料上的准备工作。这在当时是要冒很大风险的，轻则扣上“崇洋媚外”的帽子，重则会当作对抗“五七”指示加以批斗。好在他掩饰得很好，晚上挑灯夜战，白天辛勤劳动，谁也没有发现他在默默无闻地做研究工作。
关键词：概率论；教学；思维方法
在数学的历史发展过程中出现了3次重大的飞跃．第一次飞跃是从算数过渡到代数，第二次飞跃是常量数学到变量数学，第三次飞跃就是从确定数学到随机数学．现实世界的随机本质使得各个领域从确定性理论转向随机理论成为自然；而且随机数学的工具、结论与方法为解决确定性数学中的问题开辟了新的途径．因此可以说，随机数学必将成为未来主流数学中的亮点之一．概率论作为随机数学中最基础的部分，已经成为高校中很多专业的学生所必修的一门基础课．但是教学过程中存在的一个主要问题是：学生们往往已经习惯了确定数学的学习思维方式，认为概率中的基本概念抽象难以理解，思维受限难以展开．这些都使得学生对这门课望而却步，因此如何在概率论的教学过程中培养学生学习随机数学的思维方法就显得十分重要．本文拟介绍我们在该课程教学中的改革尝试，当作引玉之砖．1将数学史融入教学课堂在概率论教学过程当中，介绍相关的数学史可以帮助学生更好地认识到概率论不仅是“阳春白雪”，而且还是一门应用背景很强的学科．比如说概率论中最重要的分布——正态分布，就是在18世纪，为解决天文观测误差而提出的．在17、18世纪，由于不完善的仪器以及观测人员缺乏经验等原因，天文观测误差是一个重要的问题，有许多科学家都进行过研究．1809年，正态分布概念是由德国的数学家和天文学家德莫弗（DeMoivre）于1733年首次提出的，德国数学家高斯（Gauss）率先将正态分布应用于天文学研究，指出正态分布可以很好地“拟合”误差分布，故正态分布又叫高斯分布．如今，正态分布是最重要的一种概率分布，也是应用最广泛的一种连续型分布．在1844年法国征兵时，有许多符合应征年龄的人称自己的身高低于征兵的最低身高要求，因而可以免服兵役，这里面一定有人为了躲避兵役而说谎．果然，比利时数学家凯特勒（A.Quetlet，1796—1874）就是利用身高服从正态分布的法则，把应征人的身高的分布与一般男子的身高分布相比较，找出了法国2000个为躲避征兵而假称低于最低身高要求的人[1]．在大学阶段，我们不仅希望通过数学史在教学课堂中的呈现来引起学生学习概率论这门课程的兴趣，更应侧重让学生通过兴趣去深入挖掘数学史，感受随机数学的思想方法[2]．我们知道概率论中的古典概型要求样本空间有限，而几何概型恰好可以消除这一条件，这两种概型学生理解起来都很容易．但是继而出现的概率公理化定义，学生们� 通过教学手段的多样化以及丰富的教学内容加深学生对客观随机现象的理解与认识．另外，要以人才� 在数学史上，它的产生是以帕斯卡和费马在1654年的七封通信为标志的。由于这些信件中所解决的问题多是与有关的点数问题，因此人们总是把概率论的产生归功于这项机遇游戏。但考古学发现告诉我们，游戏早在文明初期就已经存在了，迄今已有几千年的历史，而概率论从诞生至今不过三百余年，这说明并不是概率论产生的决定性条件。在从出现到概率论产生之间的这段“空白”期，必定还有一些十分关键的因素正在孕育之中。那么这些因素是什么？换句话说，需要具备哪些先决条件，概率论才能得以形成？
一独立随机过程的出现
对概率论而言，两个最主要的概念就是独立性和随机性[1]。概率论是从研究古典概型开始的，它所涉及的研究对象是大量的独立随机过程。通过对这些过程中出现的问题的解决，概率理论体系才逐渐地建立起来。因此要考察概率论的产生条件，我们首先应当对独立随机过程的产生有充分的了解。
事实上，这种过程的雏形早在原始社会就已经存在了，那时的占卜师们使用动物的趾骨作为占卜工具，将一个或多个趾骨投掷出去，趾骨落地后的不同形状指示神对人事的不同意见。由于投掷趾骨这个过程所产生的结果具有不可预测性，而每次投掷的结果也互不影响，这与我们今天投掷骰子的基本原理相当，因此趾骨可以被看作是骰子的雏形。但是由于趾骨形状的规则性较差，各种结果出现的机率不完全相同(即不具备等可能性),所以趾骨产生的随机过程还不是我们今天意义上的独立随机过程。加之趾骨作为一种占卜工具，其本身具有神圣的地位，普通人不可能轻易使用，这也在某种程度上阻碍了人们对随机过程的认识。
随着社会的进步和文明的发展，骰子变得越来越普遍，不仅数量增多，规则性也日益精良，此时它已不再是一件神圣的器具而逐渐成为普通大众的日常用具。从原理上看，只要一枚骰子是质地均匀的，它就可以产生一系列标准的独立随机过程。这些过程具备良好的性质(独立性、随机性、等可能性),是进行概率研究的理想对象。如果经常接触这些随机过程，就很有可能从中发现某些规律性。实际上，通过对骰子的研究我们确实发现了一些有趣的现象。在考古出土的骰子当中，有一些被证明是用于的工具，它们的形状规则而质地却不均匀，也就是说，骰子的重心并不在其几何中心。可以想像，如果骰子的某一面较重，则其对面朝上的机率就会增大，这种骰子明显是为了时用于作弊。而从另一个角度看，如果古代人知道质地不均匀的骰子产生各个结果的可能性不同，那么他们必定清楚一个均匀的骰子产生任何一个结果的机率是相等的。也就是说，经常从事的人必然可以通过大量的游戏过程，意识到掷骰子所得到的结果具有某种规律性，并且这种规律性还可以通过改变骰子的质地而得到相应的改变。虽然古代人的这些意识还只停留在经验总结的水平上，却不得不承认这是一种最原始的概率思想。
游戏存在的时间之长、范围之广、形式之多令人惊讶。但有如此众多的人沉迷于这种游戏活动，也在客观上积累了大量的可供学者进行研究的随机过程。更为重要的是，
在进行的过程中，或许是受到经济利益的驱使，已经开始有人试图解开骰子的奥秘。意大利数学家卡尔达诺就是其中的一位。他本人是个大赌徒，嗜赌如命，但他却具有极高的数学天分。在的过程中，卡尔达诺充分发挥了他的数学才能，研究可以常胜不输的方法。据说他曾参加过这样一种赌法：把两颗骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容。那么，赌注下在多少点上最有利？
两个骰子朝上的面共有36种可能，点数之和分别为2～12共11种，从上图可知，7位于此六阶矩阵的对角线上，它出现的概率为6/36=1/6,大于其他点数出现的概率，因此卡尔达诺预言说押7最好。这种思想今天看来很简单，但在当时却是很杰出的。他还以自己丰富的实践经验为基础，写成了全面探讨的《机遇博奕》(LiberdeLudoAleae英译为TheBookofGameofChance)一书，书中记载了他研究的全部成果，并且明确指出骰子应为“诚实的”(honest),即六个面出现的机会相等，以便在此基础上研究掷多粒骰子的等可能结果数[2]。
这些实例充分说明，曾对概率论的产生起过积极的作用。这可能就是人们在谈到概率论时总是把它与联系在一起的缘故吧。但是我们应该认识到，的价值并不在于其作为一种游戏的娱乐作用，而在于这种机遇游戏的过程实际上就是良好的独立随机过程。只有出现了独立随机过程，概率论才有了最初的研究对象。而概率论也的确是在解决机遇游戏中出现的各种问题的基础上建立起自己的理论体系的。因此在概率论的孕育期，可
二先进计数系统的出现
前面曾经提到，独立随机过程的出现并不是概率论诞生的决定性因素。职称论文仅有概率思想而不能将概率结果表达出来，也不能形成完整的理论。概率论是一门以计算见长的数学分支，计算过程中需要运用大量的加法和乘法原理(组合数学原理)进行纯数字运算。对于现代人来说，概率计算并不是一件难事。但是对于16世纪以前的人来说，计算却是十分困难的，原因就在于古代缺乏简便的计数系统。当时的计数符号既繁琐又落后，书写和使用都很不方便，只能用来做简单的记录，一旦数目增大，运算复杂，这些原始的符号就尽显弊端了。而没有简便的计数符号，进行概率计算将是十分困难的事，因此计数符号是否先进也在一定程度上决定着概率论的形成。
对于这一点，现代人可能不容易体会得到，究竟古代的计数符号复杂到什么程度呢？我们可以以古罗马的计数系统为例来说明。
古罗马的计数系统是一种现在最为人们熟悉的简单分群数系，大约形成于纪元前后。罗马人创造了一种由7个基本符号组成的5进与10进的混合进制记数法，即
IVXLCDM
1510501005001000
在表示其他数字时采取符号重复的办法，如Ⅲ表示3,XX表示20,CC表示200等。但如果数字较大表示起来就相当复杂了，比如：1999=MDCCCCLXXXXVIIII
后来为了简化这种复杂的表示法，罗马人又引进了减法原则，即在一个较大的单位前放一个较小单位表示两者之差，如Ⅳ表示4,CM表示900,则1999=MCMXCIX
如果要计算235×4=940,现代的竖式是
而公元8世纪时英国学者阿尔琴演算同一道题的过程则要复杂得多：古罗马数字对于这样一个既不含分数和小数，数字又很简单(只有三位数)的乘法运算处理起来尚且如此复杂，可以想象，即使数学家有足够的时间和耐心，要解决概率计算里涉及的大量纯数字运算也是一件太耗费精力的事。在这种情况下想要作出成果，数学家们的时间不是用来研究理论而只能是忙于应付这些繁重的计算工作了。显然古罗马的计数系统并不适合于进行计算，而事实上，欧洲的代数学相比几何学而言迟迟没能发展起来，很大程度上也是由于受到这种落后的计数系统的限制。不仅仅是古罗马数字，在人类文明史上出现过的其他几种计数系统(如古埃及、古巴比伦等的计数系统)也由于符号过于复杂，同样不能承担进行大量计算的任务。
相反，以位值制为基本原理的阿拉伯数字则比古罗马数字以及古代其他的计数系统要先进得多，它不但书写简便，而且非常有利于加法、乘法的运算及小数和分数的表示。从上面的例子可以看出，它的使用可以大大节省运算时间，提高运算效率。正是由于使用了这种先进的计数符号，阿拉伯数字的发明者———古印度人的组合数学(组合数学原理是概率计算运用较多的一种数学工具)才得以领先欧洲人许多。据记载，印度人，特别是公元前三百年左右的耆那数学家就由于宗教原因开展了对排列与组合的研究。公元四百年，印度人就已经掌握了抽样与骰子之间的关系(比欧洲人早一千二百年)。而直到公元8世纪时，商业活动和战争才将这种先进的数字符号带到了西班牙，这些符号又经过了八百年的演化，终于在16世纪定型为今天的样子。
数字符号的简单与否对概率论究竟有什么样的影响，我们不妨举例说明：
问：有n个人，当n为多少时，至少有两人生日相同的概率大于二分之一？
假设所有人生日均不相同的概率为P,则
P=(365/365)×(364/365)×⋯×[(365-n+1)/365]
而题中所求之概率P(n)=1-P=1-(365/365)×(364/365)×⋯×[(365-n+1)/365]
通过计算得出结论，当n=23时，P(n)=0.51>0.5,因此答案为23。
这是概率论中著名的“生日问题”,也是一种很典型的概率计算问题。从它的计算过程中我们不难看出，数字运算在概率论中占有重要的地位。如果使用古罗马的计数法，这样一个概率问题从表达到计算都会相当繁琐，以至于它的求解几乎是不可能的。
对于阿拉伯数字的伟大功绩，大数学家拉普拉斯(Laplace)有如下评价：“用不多的记号表示全部的数的思想，赋予它的除了形式上的意义外，还有位置上的意义。它是如此绝妙非常，正是由于这种简易难以估量⋯⋯我们显然看出其引进之多么不易。”[3]阿拉伯数字的出现为概率的表达和计算扫清了阻碍，如果没有这些简便的符号，概率论可能还只停留在概率思想的阶段。正是由于使用了可以简洁地表示分数和小数的阿拉伯数字，才使概率思想得以通过形式化的符号清晰地表现出来并逐渐形成理论体系。在概率论的孕育阶段，这种形式化的过程是十分必要的，它使得对概率的理解和计算成为可能，因此先进的计数系统对概率论的形成和发展都起着重要的作用。
三概率论产生的方法论基础———归纳法
除了需要具备上述因素以外，概率论的形成还需要具备归纳思维。概率论是一门具有明显二重性的理论体系：“一方面它反映了从大量机遇现象中抽象出来的稳定的规律性；另一方面它关系着人们对证明命题的证据或方法的相信程度”。[4]这两方面特性都以归纳法作为最基本的研究方法，因此可以说，归纳法是概率论的方法论基础，概率论的产生必须在归纳法被广泛运用的前提下才成为可能。归纳法虽然是与演绎法同时存在的逻辑方法，但在文艺复兴以前，占主导地位的推理方式是演绎思维(不具有扩展性),归纳思维是不受重视的。直到文艺复兴运动以后，这种状况才被打破。归纳法因其具有扩展性而逐渐成为进行科学发现的主导方法。
从演绎到归纳，这个过程实际上是一种思维方式的转变过程，虽然转变是在潜移默化中完成的，但转变本身对概率论的出现却起着决定性的作用。我们可以通过考察“概率论”(probability)一词的词根“可能的”(probable)来说明这种转变。在古希腊“,probable”并不是今天的这个含义，它曾意味着“可靠的”或“可取的”,比如说一位医生是“probable”就是指这位医生是可以信赖的。但到了中世纪，这个词的含义发生了变化，它已经和权威联系在一起了。当时的人们在判断事情的时候不是依靠思考或证据而是盲目地相信权威，相信更早的先人所说的话。在这种情况下，如果说某个命题或某个事件是“probable”,就是说它可以被权威的学者或《圣经》之类的权威著作所证明。而经过了文艺复兴之后，人们终于意识到对自然界进行探索(而不是崇拜权威)才是最有价值的事，正如伽利略所说的那样：“当我们得到自然界的意志时，权威是没有意义的。”[5]因此，“probable”才逐渐与权威脱离了关系。15、16世纪时它已经具有了今天的含义“可能的”,不过这种可能性不再是权威而是基于人们对自然界的认识基础之上的。
“probable”一词的演化体现了人们认识事物方式的转变过程。当然这并不是说，文艺复兴以前没有归纳思维。留学生论文当一个人看到天黑的时候他会自然想到太阳落山了，因为每天太阳落山后天都会黑。这种归纳的能力是与生俱来的，即使中世纪的人们思想受到了禁锢，这种能力却还不至消失。而抛弃了权威的人们比先辈们的进步之处在于，他们是用归纳法(而不是演绎法)来研究自然界和社会现象的。他们将各种现象当作是自然或社会的“特征”,进而把特征看作是某种更深层的内存原因的外在表现。通过使用归纳推理进行研究，他们就可以发现这些内在原因，从而达到揭开自然界奥秘和了解社会运行规律的目的。于是在好奇心的驱使之下，归纳思维被充分地激发出来。而这一点恰恰是概率论得已实现的必要条件。从概率论的第一重特性中可以看出，概率论所研究的对象是大量的随机现象，如游戏中掷骰子的点数，城市人口的出生和死亡人数等等。这些多数来自于人们社会活动的记录都为概率论进行统计研究提供了必须的数据资料。虽然这些记录的收集与整理其目的并不在于发现什么规律，但善于运用归纳思维的人却能从中挖掘出有价值的研究素材。例如，早在16世纪，意大利数学家卡尔达诺就在频繁的过程中发现了骰子的某些规律性并在《机遇博奕》一书中加以阐述；17世纪，英国商人J·格龙特通过对定期公布的伦敦居民死亡公告的分析研究，发现了死亡率呈现出的某种规律性[6];莱布尼兹在对法律案件进行研究时也注意到某个地区的犯罪率在一定时期内趋向于一致性。如果没有很好的归纳分析的能力，想要从大量繁杂的数据中抽象出规律是不可能的。而事实上，在17世纪60年代左右，归纳法作为一种研究方法已经深入人心，多数科学家和社会学家都在不自觉地使用归纳的推理方法分析统计数据。除了上述两人(格龙特和莱布尼兹)外，统计工作还吸引了如惠更斯、伯努利、哈雷等一大批优秀学者。正是由于许多人都具备了运用归纳法进行推理的能力，才能够把各自领域中看似毫无秩序的资料有目的地进行整理和提炼，并得到极为相似的结论：随机现象并不是完全无规律的，大量的随机现象的集合往往表现出某种稳定的规律性。概率论的统计规律正是在这种情况下被发现的。
概率论的第二重特性同样离不开归纳法的使用。既然概率论反映的是人们对证明命题的证据的相信程度(即置信度),那么首先应该知道证据是什么，证据从何而来。事实上，证据的获得就是依靠归纳法来实现的。在对自然界特征的认识达到一定程度的情况下，人们会根据现有的资料作出一些推理，这个推理的过程本身就是归纳的过程。当假设被提出之后，所有可以对其合理性提供支持的材料就成了证据，即证据首先是相对于假设而言的。如果没有归纳法的使用，证据也就不存在了。由于归纳推理在前提为真的情况下不能确保结论必然为真，因此证据对假设的支持度总是有限的。在这种情况下，使用归纳推理得到的命题的合理性便不能得到充分的保障。而概率论的第二重特性就是针对这个问题的，证据究竟在多大程度上能够为假设提供支持？这些证据本身的可信度有多少？为解决归纳问题而形成的概率理论对后来的自然科学和逻辑学的发展都起到了重要的作用。
归纳法的使用为概率论的形成提供了方法论基础。它一方面使得概率的统计规律得以被发现，另一方面，也使概率论本身具有了方法论意义。从时间上看，概率论正是在归纳法被普遍运用的年代开始萌芽的。因此，作为一种具有扩展性的研究方法，归纳法为概率论的诞生提供了坚实的思维保障和方法论保障，在概率论的形成过程中，这种保障具有不容忽视的地位。四社会需求对概率论形成的促进作用
与前面述及的几点因素相比，社会因素显然不能作为概率论产生的内在因素，而只能被当作是一种外在因素。但从概率论发展的过程来看，作为一种与实际生活紧密相关的学科，其理论体系在相当大的程度上是基于对社会和经济问题的研究而形成的，因此对实际问题的解决始终是概率理论形成的一种外在动力。在这一点上，社会因素与概率理论形成了一种互动的关系，它们需要彼此相结合才能得到各自的良好发展。从17、18世纪概率论的初期阶段来看，社会经济的需求对概率论的促进作用是相当巨大的[7]。
在社会需求中，最主要的是来自保险业的需求。保险业早在奴隶社会便已有雏型，古埃及、古巴比伦、古代中国都曾出现过集体交纳税金以应付突发事件的情形。到了14世纪，随着海上贸易的迅速发展，在各主要海上贸易国先后形成了海上保险这种最早的保险形式。其后，火灾保险、人寿保险也相继诞生。各种保险虽形式各异，但原理相同，都是靠收取保金来分担风险的。以海上保险为例，经营海上贸易的船主向保险机构(保险公司)交纳一笔投保金，若货船安全抵达目的地，则投保金归保险机构所有；若途中货船遭遇意外而使船主蒙受损失，则由保险机构根据损失情况予以船主相应的赔偿。这样做的目的是为了将海上贸易的巨大风险转由两方(即船主与保险公司)共同承担[8]。从这个过程中可以看出，对保险公司而言，只要船只不出事，那么盈利将是肯定的；对船主而言，即使船只出事，也可以不必由自己承担全部损失。
从性质上看，从事这种事业实际上就是一种行为，两方都面临巨大风险。而这种涉及不确定因素的随机事件恰恰属于概率论的研究范围。工作总结由于保险业是一项于双方都有利的事业，因此在16、17世纪得到了快速的发展，欧洲各主要的海上贸易国如英国、法国、意大利等都纷纷成立保险公司，以支持海上贸易的发展。此外还出现了专门为他人解决商业中利率问题的“精算师”。不过在保险业刚起步的时候，并没有合理的概率理论为保金的制定提供指导，最初确定投保金和赔偿金的数额全凭经验，因此曾经出现过很长时间的混乱局面。而这样做的直接后果就是不可避免地导致经济损失。例如在17世纪，养老金的计算就是一个焦点问题。荷兰是当时欧洲最著名的养老胜地和避难场所，但其养老金的计算却极为糟糕，以致政府连年亏损。这种状况一直持续到18世纪，概率理论有了相当的发展，而统计工作也日渐完善之后，情况才有所改观[9]。在结合大量统计数据的前提下，运用概率理论进行分析和计算，由此得到的结果才更有可能保证投资者的经济利益。
我们可以举一个人寿保险的例子来说明概率理论是如何应用到保险事业中来的：2500个同年龄段的人参加人寿保险，每人每年1月交投保费12元。如果投保人当年死亡，则其家属可获赔2000元。假设参加投保的人死亡率为0.002,那么保险公司赔本的概率是多少？
从直观上看，如果当年的死亡人数不超过15人，则保险公司肯定获利，反之，则赔本。不过单凭经验是绝对不行的，必需有一套合理的理论来帮助处理此类问题。根据所给条件，每年的投保费总收入为2500×12=30000(元),当死亡人数n≥15时不能盈利。令所求之概率为P,由二项分布的计算公式可以得出P(n≥15)=0.000069。也就是说，如果按以上条件进行投保并且不出现特别重大的意外，则保险公司有几乎百分之百的可能性会盈利。
这个问题就是通过将概率理论运用到关于人口死亡的统计结果之上从而得到解决的。这个简单的例子告诉我们，概率理论对保险业的发展有着相当重要的指导作用。根据统计结果来确定在什么样的条件下保险公司才能盈利是概率理论对保险业最主要的贡献，它可以计算出一项保险业务在具备哪些条件的情况下会使保险公司获得收益，并进而保证保险公司的经营活动进入良性循环的轨道。从另一方面看，最初保险业的快速发展与其不具有基本的理论依据是极不协调的，这很容易导致保险公司由于决策失误而蒙受经济损失。因此保险事业迫切需要有合理的数学理论作为指导。在当时的社会环境下，由科学家参与解决实际问题是非常有效的，而由保险所产生的实际问题确实曾吸引了当时众多优秀数学家的目光。在1700-1800年间，包括欧拉、伯努利兄弟、棣莫弗(deMoivre)、高斯等在内的许多著名学者都曾对保险问题进行过研究，这些研究的成果极大地充实了概率理论本身。
可以说，经济因素和概率理论在彼此结合的过程中形成了良好的互动关系，一方面数学家们可以运用已有的理论解决现实问题。另一方面，新问题的出现也大大刺激了新理论的诞生。概率论的应用为保险业的合理化、规范化提供了保证，正是由于有了概率论作理论指导，保险业的发展才能够步入正轨。反过来，保险业所出现的新的实际问题，也在客观上促进了概率理论的进一步完善。这样，对于概率论的发展来说，保险业的需求便顺理成�
五总结
概率论的产生就像它的理论那样是一种大量偶然因素结合作用下的必然结果。首先，这种机遇游戏提供了一种良好的独立随机过程，在进行的过程中，最原始的概率思想被激发出来；其次，先进的计数系统为概率思想的表达扫清了阻碍，也使得这些思想得以形式化并形成系统的理论。当然在获得概率思想的过程中，思维方式的转变和研究方法的进步才是最根本的关键性条件。如果没有归纳法的使用，即使存在着良好的独立随机过程也不可能使人们认识到大量统计数据中所隐藏着的规律性。此外，社会经济的发展，需要借助数学工具解决许多类似保险金的计算这样的实际问题，而这些吸引了众多优秀数学家们兴趣的问题对于概率论的形成是功不可没的，它大大刺激了概率理论的发展，使概率论的理论体系得到了极大的完善。上述四个因素都是概率论产生的重要条件，但是它们彼此之间并没有明显的时间上的先后顺序，最初它们的发展是各自独立的，但是随后这些条件逐渐结合在一起，使得原本零散的概率思想开始系统化、条理化。从概率论的历史来看，这几种因素的结合点就是17世纪末至18世纪初，因此概率论在这个时间诞生是很自然的事。
了解概率论的产生条件对于我们理解概率论在当今社会的重大意义有很好的帮助。今天，随着概率理论的广泛应用，它已不仅仅是一种用于解决实际问题的工具，而上升为具有重大认识论意义的学科。概率论不仅改变了人们研究问题的方法，更改变了人们看待世界的角度。这个世界不是绝对必然的，它充斥着大量的偶然性，所谓规律也只是在相当的程度上被我们所接受和信任的命题而已。运用概率，我们就可以避免由归纳法和决定论带来的许多问题和争论。科学发现的确需要偶然性，现代科学向我们证明，概率理念和概率方法已�
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关键词：点子问题 概率论 惠更斯 递推法 数学期望
在纪元之初，民间就流行用抽签来解决人们彼此间的争端，这可能是最早的概率应用。随着社会的发展，随机现象愈来愈左右着人类的生活。因而在不确定性因素的情境中，寻找行为的理性规则，使理性服从机遇的愿望成为数学家研究的课题之一。直到文艺复兴时期，随机世界依然扑朔迷离、不能辨析。作为研究随机现象的概率论出现在17 世纪中叶，象征着概率论诞生的标志，就是克里斯蒂安·惠更斯(christian huy-gens ,1629 - 1695) 在1657 年发表的《论中的计算》(on reckoning at games of chance ) 一文。
一、论文的来源
惠更斯1629 年诞生于海牙的一个富豪之家。其父知识渊博，擅长数学研究，同时又是一杰出的诗人和外交家。惠更斯从小受到了父亲的熏陶，喜欢学习和钻研科学问题。16 岁进入莱顿大学学习，后转到布雷达大学学习法律和数学。26 岁获得法学博士学位。数学老师范·舒藤(frans van sehooten) 指导他学习当时的著名数学家、哲学家卡卡维(carcavi) 的数学著作及其哲学著作。惠更斯从中感悟到数学的奥妙而对数学很感兴趣。1650 —1666 年期间，他大多时间在家中潜心研究光学、天文学、物理学和数学等领域，成果显著，一
除去在光学、天文学等领域的贡献外，惠更斯也有出众的数学才能，可谓是一个解题大师，早在22 岁时就写出关于计算圆周长、椭圆弧及双曲线的论文。他发现了许多数学技巧，解决了大量数学问题。如他改进了计算π值的经典方法；继续笛卡尔、费马和帕斯卡的工作，对多种平面曲线，如悬链线、曳物线、对数螺线、旋轮线等都进行过研究；对许多特殊函数求得其面积、体积、重心及曲率半径等，某些方法与积分方程的积分法相似。伯努利兄弟对惠更斯的研究极为佩服，尤其是约翰(john bernoulli ,1667 —1748) 发现旋轮线也是最速降线时甚是激动。他说：“这惠更斯等时曲线(旋轮线) 就是我们正在寻求的最速降线！ 我感到十分惊奇！”惠更斯在数学方面的最大贡献，就是以《论中的计算》一文奠基了概率论的基础。
1654 年，赌徒梅勒向当时的“数学神童”帕斯卡(b1pascal ,1623 - 1662) 提出了其在上遇到的几个不解问题。后帕斯卡与费马(pierre de fermat ,1601 - 1665) 以通信的方式对这些问题进行了较为详尽的讨论，并将其推广到一般情形，这就使概率计算由单纯计数而转向更为精确的阶段，但二人都不愿意发表研究成果，故有关概率知识没有得到及时传播。
1655 年秋，惠更斯第一次访问巴黎。他遇到罗贝瓦尔(g1p1de roberval) 及梅勒恩(mylon) ,但没有见到帕斯卡和费马。他获知去年有一场关于概率问题的讨论，但不知其具体解决方法及结果。由于罗贝瓦尔对此问题毫无兴趣，因而惠更斯对费马和帕斯卡的讨论结果几乎一无所知。
1656 年4 月，回国后的惠更斯自己解决了这些概率问题，并将其手稿送给范·舒藤审阅，同时写信给罗贝瓦尔，寻求几个概率问题的解答。此时范·舒藤正在筹印其《数学习题集》,因而他建议惠更斯将此文印刷发表，并亲自替学生将该文译成拉丁文。由于惠更斯没有收到罗贝瓦尔的信，便又写信给梅勒恩，并通过卡卡维将信转给费马。在1656 年6 月22 日费马的回信中，给出与惠更斯相一致的解决方案，但无证明过程。此外，费马又向惠更斯提出了5 个概率问题。阅信后，惠更斯很快解出这些问题，并把其中2 个问题收录在著作中。他于7 月6日将结果送给卡卡维让其转给梅勒恩、帕斯卡和费马确定解答正确与否。卡卡维在9月28 日的回信中肯定了惠更斯的解答，并给出帕斯卡与费马对点子问题的解决方案，但无证明。惠更斯在10 月12日给卡卡维的回信中也提出了一个无证明的解决方法。
1657 年3 月在最后一次校订时，惠更斯将其论文增加为9 个命题和5 个问题，形成了《论中的计算》的基本构架。惠更斯还将给范·舒藤的一封信作为该文的前言，这篇前言形成了全文的思想基础。他在其中明确地提出：“尽管在一个纯粹运气的游戏中结果是不确定的，但一个游戏者或赢或输的可能性却可以确定。”〔1〕可能性用的是“probability”,其意义与今天的概率几无差别。惠更斯的这种思想使得“可能性”成为可以度量、可以计算、具有客观实际意义的概念。信中惠更斯强调了这一新理论的重要性：“我相信，只要仔细研究这个课题，就会发现它不仅与游戏有关，而且蕴含着有趣而深刻的推理原则。”并惋惜地说“, 法国的杰出数学家已经解决了这些问题，无人会把这个发明权授予给我。”其内容被编排在范·舒藤之书的519 - 534 页。该书出版于1657 年9 月，而荷兰文版出版于1660 年，英文版出版于1692 年，德文版出版于1899 年，法文版出版于1920 年，意大利文版出版于1984 年。
二、创立数学期望
《论中的计算》的写作方式很像一篇现代的概率论论文。先从关于公平值的一条公理出发，推导出有关数学期望的三个基本定理，利用这些定理和递推公式，解决了点子问题及其他一些博弈问题。最后提出5 个问题留给读者解答，并仅给出其中的3 个答案。通常所谓惠更斯的14 个命题，指的就是书中3 条定理加上11 个问题。
公理：每个公平博弈的参与者愿意拿出经过计算的公平赌注冒险而不愿拿出更多的数量。即赌徒愿意押的赌注不大于其获得赌金的数学期望数〔2〕。
对这一公理至今仍有争议。所谓公平赌注的数额并不清楚，它受许多因素的影响。但惠更斯由此所得关于数学期望的3 个命题具有重要意义。这是数学期望第一次被提出，由于当时概率的概念还不明确，后被拉普拉斯(p1s1m1de laplace ,1749 —1827) 用数学期望来定义古典概率。在概率论的现代表述中，概率是基本概念，数学期望则是二级概念，但在历史发展过程中却顺序相反。
关于数学期望的三个命题为：
命题1 若在中获得赌金a 和b 的概率相等，则其数学期望值为( a + b)p21
命题2 若在中获得赌金a 、b 和c 的概率相等，则其数学期望值为( a + b + c)p31
命题3 若在中分别以概率p 和q ( p ≥0 , q ≥0 , p + q = 1) 获得赌金a 和b ,则获得赌金的数学期望值为pa + qb1
这些今天看来都可作为数学期望定义。但对惠更斯来说，必须给出演绎证明，因当时对数学的一种公认处理方法是从尽可能少的公理推导其他内容。惠更斯所给的命题1 证明为：
假设在一公平的中，胜者愿意拿出部分赌金分给输者。若二人的赌注均为x ,胜者给输者的为a ,因而所剩赌金为2 x - a = b ,故x = ( a + b)p2。
帕斯卡与费马在通信中所说的“值”等于赌注乘以获胜的概率，因而已于概率无本质区别。而惠更斯在这里将“值”改称为“数学期望”是一个进步(在该书荷兰版中，惠更斯仍沿用“值”的概念) 。
将命题3 推广便得到今日数学期望的定义。因此惠更斯当之无愧是数学期望概念的奠基人。
三、求解点子问题
所谓点子问题是：甲乙二人，其技巧相当，约定谁先胜s 局则获全部赌金。若进行到甲胜s1 局而乙胜s2 局时( s1 < s , s2 < s) ,因故停止，赌金应如何分配才公平？
惠更斯深刻认识到点子问题的重要性，因而在其著作中有6 个命题讨论了该问题。命题4 - 7 都是有关二人的点子问题，而命题8 和命题9 将问题推广到三人及若干个人。
惠更斯的解决思路为：赌徒分得赌注的比例等于其获胜的概率。他假设赌徒在每局获胜的概率不变，且各局间相互独立。这样就可以归结为一般问题：
设随机试验中某随机事件每次成功的概率为p ,重复独立进行该试验若干次，求在b 次失败前取得a 次成功的概率。
惠更斯认识到点子问题的关键与已胜局数无关，而与离全胜所差局数相关。设甲离全胜所差局数为a= s - s1 ,而乙为b = s - s2 ,则至多再进行的局数为a + b - 1。由全概率公式得一有限差分方程而解之。
命题4 - 7 分别为( a , b) = (1 ,2) , (1 ,3) , (2 ,3) , (2 ,4) 。
点子问题推广后可应用于当今一些体育比赛问题。如甲、乙两队进行某种比赛，已知每局甲胜的概率为016 ,乙胜的概率为014。可采用3 局2 胜制或5 局3 胜制进行比赛，问哪种比赛制度对甲有利？ 点子问题可转化为古典概型中的三大概型之一的摸球问题。即从装有m 个白球n 个黑球的袋子中有放回摸球，求在摸到a 次黑球前摸到b 次白球的概率。由此又可以转化为大量的应用问题。二项分布、几何分布、负二项分布等常见离散型分布均可由点子问题引申出来，所以点子问题的圆满解决是概率论诞生的标志之一。
当时梅勒问帕斯卡的另一个问题是：据经验知，一颗骰子连掷4 次“至少出现一个6 点”的概率大于1p2 ;两颗骰子掷一次的结果6 倍于一颗骰子掷一次的结果，那么，两颗骰子掷24 次“至少出现一对6 点”的概率也应大于1p2 ,但的经验并非如此，应如何解释？! 梅勒愤怒地谴责数学，粗暴地断言，算术是自相矛盾的。惠更斯对此也进行了深刻讨论，并将其分解成如下三个命题。
命题10 一颗骰子连掷多少次有利于“至少出现一个6 点”?
命题11 两颗骰子连掷多少次有利于“至少出现一对6 点”?
命题12 一次掷多少颗骰子有利于“至少出现一对6 点”?
惠更斯利用命题3 及递推法圆满解决了上述问题。
四、独创分析法
在《论中的计算》的最后两个命题中，惠更斯创立了著名的“惠更斯分析法”来解决概率问题。
命题13 甲、乙二人，将两颗骰子掷一次，若其点子和为7 则甲赢，为10 则乙胜，为其它点则平分赌注。试求二人分配赌注的比例。
命题14 a ,b 二人轮流掷两颗均匀的骰子，若a 先掷出7 点，则a 胜；若b 先掷出6 点，则b 胜。b 先掷，求a 获胜的概率。
对命题14 ,惠更斯的解法为：设全部赌注为t ,a 的期望为x ,则b 的期望为t - x ,则当b 掷时，a 的期望为x ;当a 掷时，a 的期望为y 。因每次投掷时，a 的获胜概率为6p36 ,b 的获胜概率为5/36 ,由命题3 得5/36 ×0 +31/36 y = x 6/36 t +30/36 x = y 。
解得x = 31 t/36 即a 获胜的概率为31/36 。
这个问题的求解与前面的方法不同，通过列代数方程来求解，这是惠更斯的独创，该方法后被雅可布(jacob bernoulli ,1654 —1705) 称之为“惠更斯分析法”〔4〕。惠更斯没有给出进一步的讨论，但按其思想可得更一般解法。可见，惠更斯从数学期望入手，明确给出了概率的客观意义，但他的概率计算全是通过期望来进行的。从期望出发解释概率，与以概率定义期望的现代概率论恰恰相反。因此，惠更斯的概率思想值得探究。
五、惠更斯的5 个问题
惠更斯的最后5 个问题，虽也都是在形形的机制中，计算一方取胜的概率，但在概率论诞生初期，这无疑是向同时代数学家的挑战〔5〕。他说：“给我的读者(如果有的话) 留下一些思考题应该是有益的，这将供他们练习或者打发时间。”
问题1 两人玩掷双骰子游戏。若a 掷出6 点则赢，而b 掷出7 点胜。a 先掷一次后， b 掷二次，a 再掷二次，如此下去直至一方获胜。a 与b 的胜负比是多少？ (答案：10355 比12276)
该问题是费马在1656 年6 月向惠更斯提出的，显然它是命题14 的推广。在1656 年7 月6 日惠更斯写给卡卡维的信中提到问题解决方案。
问题2 一袋中装有4 个白球8 个黑球，3 人蒙住眼睛轮流摸球。先得白球者获胜，求三人获胜的机会比。
惠更斯在其1665 年的笔记中给出问题答案为9∶6∶4 。
问题3 有40 张牌，每种花色10 张。甲同乙打赌他能抽出花色不同的4 张牌，每人投的赌注应是多少？(答案：1000∶8139)
这个问题由费马在1656 年6 月向惠更斯提出，在1656 年7 月6 日惠更斯写给卡卡维的信中提出问题解决方案。
问题4 一袋中装有4 个白球8 个黑球，甲同乙打赌他能在摸出的7 个球中含有3 个白球。求二人获胜的机会比。
惠更斯在其1665 年的笔记中记录着这个问题的答案为35∶99 。
问题5 二人玩掷三颗骰子游戏，甲乙各有12 个筹码，若掷出11 点，甲给乙一个筹码，而掷出14 点，则乙给甲一个筹码，直至两人中有一人输光。求甲乙获胜的机会比。(答案：244140625∶282429536481)
这个问题就是著名的赌徒输光问题，也叫具有两个吸收壁的随机游动问题。它由帕斯卡向费马提出，后卡卡维于1656 年9 月28 日的信中告知惠更斯，其中含有帕斯卡和费马的解答。惠更斯在1656 年10 月12日给卡卡维的回信中提出自己的解法，其证明过程可在其1676 年的读书笔记中发现。
六、历史评价
到17 世纪时，不少学者已对中的某些问题进行了讨论，并挖掘了其中的数学原理。但对当时的大多数学家来说，概率论是庸俗的游戏，难登大雅之堂。正是社会的发展及其需要，才推动了概率论的发展。如果没有社会的需要，概率论至今恐怕仍然只能在牌桌上显示神通。“概率论产生于”,这个观点是错误的或者说是不完全对的。“问题”和“理性思考”是概率论产生的两个必要条件，而后者更重要。犹如苹果落地千千万，而只有牛顿从中发现了万有引力定律。
不少学者错误地认为，帕斯卡、费马和惠更斯三人一起讨论了概率问题，而后者仅是将前二者的结果著书立说。从该书的撰写过程来看，惠更斯几乎全是自己独立解决的这些概率问题，虽帕斯卡、费马间接给他提供了一些问题，但均无解答过程。概率史界认为，帕斯卡与费马的通信标志着概率论的诞生。然而他们的通信直至1679 年才完全公布于世，故惠更斯的《论中的计算》标志着概率论的诞生。因此，不少学者宣称惠更斯为概率论的正式创始人。惠更斯的《论中的计算》不仅是第一部概率论著作，而且是第一个把该学科建立在公理、命题和问题上而构成一个较完整的理论体系，第一次对以前概率论知识系统化、公式化和一般化。�
1657 年9 月《论中的计算》出版后立即得到学术界的认可和重视。该书在欧洲多次再版，作为概率论的标准教材长达50 年之久。直至1713 年雅可布的《猜度术》出版才遏制住该书的再版，然而该书的影响还在继续。因《猜度术》的第一卷就是《论的计算》的注释，并籍此建立了第一个大数定理。法国数学家棣莫弗(a1de moiver ,1667 —1754) 的《机会学说》也是在该书的基础上，由二项分布的逼近得到了正态分布的密度函数表达式。拉普拉斯在此基础上给出古典概率的定义。因此，惠更斯的概率思想对古典概率的影响是重要而持久的，其方法可以看作那一时期的特点。但是，至于什么是“理想理论”,需要考虑它的历史发展阶段，不能苛求古人，也不能执于一偏。
尽管惠更斯的《论中的计算》已出版300 余年了，但其科学的思想方法已跨越时空在数学教育尤其是概率论的学习中散发着无穷的力量。了解其内容有助于我们学习和应用概率论这一重要的数学分支。正如拉普拉斯所说“一门开始于研究机会的科学，居然成了人类知识中最重要的学科，这无疑是令人惊讶的事情。” 〔参考文献〕
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〔5〕todhunter.i.a history of the mathematical of theory of probability from the times of pascal to that of laplace〔m〕.new york :chelsea ,1965.
一是课时设置较少，而老师为了完成教学任务，不得不加快速度，知识点没办法讲细，势必会造成学生“贪多嚼不烂”;且课程内容较多，如果老师本身的知识结构沉淀不够，只是“照本宣科”，简单介绍概念、定义、理论和方法，缺少对实际的概率统计背景知识及发展现状的介绍，忽视对学生实践和应用能力的培养，导致所教知识、方法不能被学生接受、及时掌握。二是在应试教育的影响下，学生思维固定，缺乏学习的主动性。许多学生学习的目的是为了考试过关，对于考试涉及不到的课程知识，就只是简单了解或干脆不学，所以在整个学习过程中，不注重课程思想方法的领悟，只是忙于做题，把学习的目标仅仅定位于能看懂例题，会做课后习题，只关心具体解题的步骤，从而去模仿解题，而不是领会课程知识所呈现的方法。三是教师忽略与相关学科间的关系，只进行单一教材的课堂教学，没有适当穿插一些相关学科的知识，教学资源不能得到优化配置；教材比较陈旧，理论联系实际的应用实例较少，即使有一些联系实际的实例，也不涉及到当今科技信息，导致了学习与实践的脱节；教师在教学中解决实际问题的能力不够，理论与实际联系少之又少，即使有，表现的应用背景也被形式化的演绎一带而过，学生“雾里看花”，难以琢磨、难以理会，畏惧心理滋生。同时，教材中都是一些联系很紧凑的理论，以及简化了过程的证明和计算，学生感觉不到学习乐趣，意义就更谈不上了，这也是造成很多学生放弃对这门课程的学习，只背重点、记忆模仿解题应付考试的重要原因。
2问题的解决方案
2．1从整体内容上把握教材
根据《概率论与数理统计》教材，该课程整体上是讲述三个大的问题：一是概率论部分，介绍必要的理论基础；二是数理统计部分，主要讲述参数估计和假设检验，并介绍了方差分析和回归分析的方法；三是随机过程部分，在讲清基本知识的基础上主要讨论了平稳随机过程，是随机变量的集合，能完全揭示概率的本质。课本上的很多问题都是围绕这三个问题来讲述的，因此，要打破“重理论，轻应用”“重概率，轻统计”的教学思想，且从整体上完整地对这三个问题进行讲授。由于概率论与数理统计的知识点多而零散，初学者对知识点不容易全面系统地把握，所以老师在教学中要经常引导学生进行简单复习回顾，从而使学生能够高效而快速地理解所学知识，系统掌握这有机结合的三部分内容。
2．2在讲授中要有其客观背景
很多学生虽然在中学接触过概率知识，但那只是皮毛，大学更注重的是思想的培养，而且本课程从内容到方法与其它数学课程都有本质的区别。因此，老师在讲解基本概念时，一定要把来龙去脉讲清楚。比如在评价棉花的质量时，“既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大，偏离较小，质量较好”，这些常识性知识容易理解，学生也有兴趣听，然后就此引入概念———这是由随机变量的分布所确定的，能刻画随机变量某一方面的特征的常数� 由此就很自然地引出了数字特征、数学期望、方差、相关系数和矩，这样学生就很好地理解了概念的实际背景。也就是说，在概念定理的教学中，首先应该在概念、定理产生的背景上下功夫，找出每个概念的实例，用大量事实来说明提出这些概念定理的客观依据是什么，它在实际应用中有什么意义。比如，一个随机变量由大量的相互独立的随机因素综合影响而形成，而且其中每一个个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的，这种随机变量往往近似服从正态分布，那么这种现象正是中心极限定理的客观背景；再如，在介绍随机过程时，不妨从随机过程实例出发，如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化等等。如果忽视了概念与定理产生的实际背景，离开实际去讲概念和定理，学生会觉得学习内容枯燥，而且也很难理解，更不会应用于解决实际问题，这样就降低了学习的积极性，也没有发挥该课程的功能。
2．3在教学过程中使用案例教学
案例教学的主角是学生，通过学生之间对概念、定义、定理、标注、例题积极主动的讨论，以达到更深入理解和掌握的目的。在教学中引入的案例，要能够激发学生的学习兴趣、学习积极性和参与讨论的主动性。如何选取案例，就要求教师在备课当中多花时间找资料、思考，在教学案例中尽可能选取社会热点、先进的科技信息为案例素材，尤其财经类院校应尽可能编写一些涉及财经信息方面的案例。比如，讲到随机变量内容部分，定要在金融经济学中编写涉及到的随机变量的案例；讲到中心极限定理部分，投资学中期权定价理论就是一个很好的案例；讲到参数估计和评价时，保险精算中对平均寿命函数的估计和评价则是很好的案例；随机过程部分，分数布朗运动投资组合的风险度量都是很好的案例等等。如此教学，才能激发学生的学习兴趣，在讨论中逐步体会基本概念、定义、定理的来龙去脉，实现了有效学习，培养了学生解决实际问题的能力和抽象概括、推理论证的能力。
2．4重视引导学生主动思考问题
培养创新思维“在教学过程中提出一些思考性和启发性都很强的问题，让学生分析、研究和讨论，引导学生去发现问题，分析问题，然后解决问题。”学生的学习要自觉要靠自己，不是由教师牵着走，而是由教师引导走，“授人与鱼，只供一日之炊；授人与渔，使人受益终身”，所以教师应多引导、鼓励学生主动思考问题。比如，教师在每次课结束前5分钟进行下堂课新知识的介绍时，对本堂课学的知识点和前面学过的知识做个串联，最好能随手画出知识点“网络状”图，引导学生积极思考，引出下次课要讲的内容，勾起学生的预习兴趣。再如，在讲课时，教师可以针对本节课的内容设计一系列“问题链”，用“问题链”带动和完成课堂教学，可很好地引导学生主动思考、创造性思维，引导学生思考、发现问题，讨论、做出结论，从而逐步地使教学由“灌输式教育”向“创新型教育”转变，教学互动，教学相长。同时，教师一定要想方设法改变“学生被动接受知识”为自主、有兴趣地去学习知识，引导和组织学生展开讨论，鼓励学生提出大胆的猜想，及时解决学生提出的问题，激发学生的求知欲，注重教学方法的灵活运用，鼓励学生动手探究和创新，这样教学效果才会明显。
3结语
对于概率论与数理统计这门课程，要从整体上把握课程思想，了解课程的客观背景，在教学过程中充分使用案例教学，引导学生主动思考问题，培养学生的兴趣和创新性思维，这样不仅能使学生对概率论与数理统计的学习产生浓厚兴趣，而且可以培养学生主动思考问题、解决问题的能力，从而实现财经类院校设置该课程的目标。教学不仅仅是传授知识，它更是一门艺术，是需要反复思考、反复提高的艺术。教师需精心备课，充分准备，始终以教学目的为中心，争取上好每一节课，高效率地完成教学任务。教学方法的改革始终是各高校非常重视的一个焦点，也是需要每个教师反复思考、改进的重点，我们教师要不断地提高和完善自己的知识结构，紧跟新的科技信息的步伐，努力寻求一种新的突破。
1.教学课堂中注重实例的讲解
概率论以及数学统计这门课程具有较强的实践性，因此，在教学课程上，教师需要在教学的基本内容中加入更多的实例教学，帮助学生理解这门学科的基本知识点，加深学生对基本理论的记忆。例如：在讲概率学中最基本的加法公式时，加入数学建模的基本思想，利用俗语“三个臭皮匠”的相关内� 俗语中有三个臭皮匠的想法能够比的上一个诸葛亮，意思就是说多个人共同合作的效果比较大，可以将这种实际中的问题引入到数学概率论的教学中，从科学的概率论中证明这种想法是否正确。首先需要根据具体的问题建立相应的数学模型，想要证明三个臭皮匠能否胜过诸葛亮，这个问题主要是讨论多个人与一个人在解决问题的能力上是否存在较大的差别，在概率论中计算解决问题的概率。用c表示问题中诸葛亮解决问题的能力，ai表示其中（ii=1，2，3）个臭皮匠解决问题的能力，每一个臭皮匠单独解决问题存在的概率是P（a1）=0.45，P（a2）=0.6，P（a3）=0.45，诸葛亮解决问题存在的概率是P（c）=0.9，事件b表示顺利解决问题，那么诸葛亮顺利解决问题的概率P（b）=P（c）=0.9，三个臭皮匠能够顺利解决问题的概率是P（b）=P（a1）+P（a2）+P（a3）。按照概率论中的基本加法公式得P（b）=P（a1+a2+a3）=P（a1）+P（a2）+P（a3）-P（a1a2）-P（a2a3）-P（a1a3）+P（a1a2a3）解得P（b）=0.901。因此，得出结论三个臭皮匠顺利解决问题存在的准确概率大于90%，这种概率大于诸葛亮独自顺利解决问题的概率，提出的问题被证实。在解决这一问题过程中，大部分学生都能够在数学建模找到学习的乐趣，在轻松的课堂氛围中学到了基本的概率学知识。这种教学方式更贴近学生的生活，有效的提高了学生学习概率论以及数学统计这一课程的兴趣，培养学生积极主动的学习。
2.课设数学教学的实验课
一般情况下，数学的实验课程都需要结合数学建模的基本思想，将各种数学软件作为教学的平台，模拟相应的实验环境。随着科学技术的不断发展，计算机软件应用到教学中已经越来越普遍，一般概率论以及数学统计中的计算都可以利用先进的计算机软件进行计算。教学中经常使用的教学软件有SPSS以及MABTE等，对于一些数据量非常大的教学案例，比如数据模拟技术等问题，都能够利用各种软件进行准确的处理。在数学实验的教学课程中，学生能够真实的体会到数学建模的整个过程，提高学生的实际应用能力，促进学生自发的主动探索概率论以及数学统计的相关知识内容。通过专业软件的学习和应用，增强学生实际动手以及解决问题的能力。
3.利用新的教学方法
传统数学说教式的教学方法并不能取得较高的教学效果，这种传统的教学也已经无法满足现代教学的基本要求。在概率论以及数学统计的教学中融入数学建模的基本思想并采用新的教学方法，能够有效的提高课堂教学效果。将讲述教学与课堂讨论相互结合，在讲述基本概念时穿插各种讨论的环节，能够激发学生主动思考。启发式教学法，通过已经掌握的知识对新的知识内容进行启发，引导学生发现问题解决问题，自觉探索新的知识。案例教学法，实践教学证明，这也是在概率论中融入数学建模基本思想最有效的教学方法。在学习新的知识概念时，首先引入适当的教学案例，并且，案例的选择要新颖具有针对性，从浅到深，教学的内容从具体到抽象，对学生起到良好的启发作用。学生在学习的过程中改变了以往被动学习的状态，开始主动探索，案例的教学贴近学生的生活学生更容易接受。这种教学方法加深了学生对概率论相关知识的理解，发散思维，并利用概率论以及数学统计的基本内容解决现实中的实际问题，激发了学生的学习兴趣，同时提高了学生解决实际问题的综合能力。在运用各种新的教学方法时，应该更加注重学生的参与性，只有参与到教学活动中，才能够真正理解知识的内涵。
4.有效的学习方式
对于概率论以及数学统计的相关内容在教学的过程中不能只是照本宣科，而数学建模的基本思想并没有固定不变的模式，需要多种技能的相互结合，综合利用。在实际的教学中，教师不应该一味的参照课本的内容进行教学，而是引导学生学会走出课本自主解决现实中的各种问题，鼓励学生查阅相关的资料背景，提高学生自主学习的能力。在教学前，教师首先补充一些启发式的数学知识，传授教学中新的观念以及新的学习方法，拓展学生的知识面。在进行课后的习题练习时，教师需要适当的引入一部分条件并不充分的问题，改变以往课后训练的模式，注重培养学生自己动手，自己思考，在得到基本数据后，建立数学模型的能力。还可以在教学中加入专题讨论的内容，鼓励学生能够勇敢的表达自己的想法和见解，促进学生之间的讨论和交流。改变以往教师传授知识，学生被动接受的学习方式，学会自主学习，自主探究，勇于提出自己的看法并通过理论知识的学习验证自己的想法。有效的学习方式能够调动学生学习的积极性，加深对知识的理解。
5.将数学建模的基本思想融入课后习题中
课后作业的练习是巩固课堂所学知识的重要环节，也是教学内容中不可忽视的过程。概率论统计课程内容具有较强的实用性，针对这一特点，在教学中组织学生更多的参与各种社会实践活动，重在实际应用所学的知识。对于课后习题的布置，可以将数学建模的思想融入其中，并让这种思想真正的解决现实中的各种问题，在实践中学会应用，不仅能够巩固课堂学到的理论知识，还能够提高学生的实践能力。例如：课后的习题可以布置为测量男女同学的身高，并用概率统计学的相关知识分析身高存在的各种差异，或者是分析中午不同时间段食堂的拥挤程度，根据实际情况提出解决方案，或者是分析某种水果具体的销售情况与季节变化存在的内在关系等。在解决课后习题时，学生可以进行分组，利用团队的合作共同完成作业的任务，通过实践活动完成训练。在学生完成作业的过程中，不仅领会到了数学建模的基本思想，还能够将概率统计的相关知识应用到实际的问题中，并通过科学的统计和分析解决实际问题，培养了学生自主探究以及实际操作的综合能力。
二、总结
综上所述，将数学建模的基本思想融入到概率统计教学中，有效的提高了学生学习数学的兴趣，有利于培养学生利用所学的课本知识解决现实问题的能力。随着信息时代的不断发展，随机想象的相关理论知识逐渐被广泛应用，概率论以及数学统计课程的学习也变得越来越实用，在概率统计中加入数学建模的基本思想，让学生充分体会到概率统计具有的实用性，并加深对基本概念的理解和记忆。随着教学内容的不断改革，这种教学方式也在实践中不断的完善，将概率统计的教学内容与实际生活相互联系，培养学生解决问题的能力。