书痴者文必工，艺痴者技必良，如下是编辑给大伙儿收集整理的求值域的方法精选7篇，仅供参考，希望能够帮助到大家。
一、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1 ：求函数y=3-■的值域。
解：因为■≥0，
所以-■≤0，3-■≤3，
故函数的值域是： （-∞,3]。
二、图象法
利用函数的图象，直观地得出函数的值域。此方法广泛应用于一些分段函数的值域和求二次函数在闭区间上的值域。其关键在于能否准确作出函数的图象。
例2：求函数y＝x■-x-6（如图所示）,x∈-2,4的值域。
解：由函数图象得所求函数的值域为-6.25,6.
三、配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可以利用配方法求函数值域。其关键在于能否正确地将二次函数式配成完全平方式。
例3：求函数y=■的值域。
解：由-x■+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2].此时-x■+x+2=-(x-■)■+■∈0,■，所以0≤■≤■，函数的值域是0,■。
四、判别式法
若函数式为分式结构，分子分母均为二次式，且函数的定义域为R，则可用此法。通常先将分式转化为一元二次方程，再由？驻≥0，确定y的范围，即得原函数的值域。
例4：求函数y=■的值域。
解：函数的定义域为R（?驻=(-1)■-4×1×1）=-3＜0，x■-x+1＞0恒成立).原函数化为关于x的一元二次方程为(y-1)x■+(1-y)x+y=0，由x∈R知上述方程一定有解，所以
（1）当y≠1时，?驻=(1-y)■-4y(y-1)≥0，
解得-■≤y≤1。
（2）当y=1时，1≠0，故y≠1。
综上，原函数的值域为[-■,1)。
评注：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=■的函数。
五、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，常用代数代换或三角代换法，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如y=ax+b±■（a,b,c,d均为常数，且ac≠0）等。
例5 ：求函数y=x+■的值域。
解：令■=t(t≥0)，则x=t■+1，
所以y=t■+t+1=(t+■)■+■.又t≥0，
由二次函数的性质可知原函数的值域为[1,+∞)。
六、函数单调性法
首先确定函数的定义域，然后再根据函数在给定的区间上的单调性求值域。常用到函数y=x+■(p＞0)的单调性：增区间为(-∞,-■]和[■,∞)，减区间为[-■,0]和[0,■]。
例6：求函数y=2■+log■■(2≤x≤10)的值域。
解：令y■=2■，y■=log■■,
则y■,y■在[2，10]上都是增函数，
所以y=y■+y■在[2，10]上是增函数。
当x=2时，y■=2■+log■■=■；
当x=10时，y■=2■+log■■=33，
故所求函数的值域为：■,33。
例7：求函数y=x+■,x∈(0,5]的值域。
解：原函数的导数为y＇=1-■，其单调递增区间为[■,+∞)，单调递减区间为(0,■]，故原函数在x=■处取得最小值2■，在x=5处取得最大值■，所以原函数的值域为[2■,■]。
七、分离常数法
此方法适用于分式型函数，且分子、分母是同次，如y=■（a,b,c,d是常数，且ac≠0），这时通过拼凑，将分子进行常数分离。
例8：求函数y=■的值域。
解：由y=■=1-■≠1，可得值域y｜y≠1。
评注：此题也可利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域，即反函数法。
八、函数有界性法
利用函数的有界性：形如sinα=f（x）,x■=g（y），因为sinα≤1,x■≥0，可解出y的范围，从而求出其值域或最值。
例9：求函数y=■的值域。
解：由原函数式可得e■=■，
e■＞0，
■＞0，
解得-1＜y＜1。
故所求函数的值域为(-1,1)。
题目 求函数y=1[]x2+x+1的值域。
问题转化成：求函数y=x2+x+1的值域。
1.图像法
分析 这是一个一元二次函数，要求它的值域，可以先画出它的图像，根据图像写出它的值域，这也是求值域的一种方法，称图像法。
2.配方法
同时，要画一元二次函数的图像，一般要找对称轴，当然也就要对函数表达式进行配方，这里表达式y=x2+x+1可以配成x+1[]22+3[]4，从而直接可以看出y≥3[]4，直接得到原函数的值域。这种通过配方求得函数值域的方法，我们称为配方法。
所以，函数y=x2+x+1的值域为yy≥3[]4.
注 在用配方法求函数值域的时候一定要注意等号成立的条件。例如：对于y=x2+1[]x2的配方，它既可以配成x-1[]x2+2，也可以配成x+1[]x2-2，但答案只有一个。
得到了函数y=x2+x+1的值域，并没有解决我们例1的问题，还要进一步的去计算，去求倒数。
3.不等式法
.
利用不等式去求y的范围，从而得到函数的值域，这样的方法也就称为不等式法。
以上是通过先求我们熟悉的一元二次函数的值域，再求原函数的值域，那么，我们能不能直接去求该函数的值域呢？
4.判别式法
从函数本身出发，这是一个分式表达式，并且该函数的定义域是一切实数，也就是说，对于任意的x，此表达式都有意义。如果我们把x看成是自变量，y看成参数，并把分式等式化成我们熟悉的整式方程，则会得到一个关于x的方程yx2+yx+（y-1）=0，并且方程有根。
解 由y=1[]x2+x+1可化成yx2+yx+（y-1）=0，
由于函数的定义域为R，所以
注 此方法使用的前提条件比较苛刻，有一定的局限性，原函数的定义域必须是一切实数，否则该方法就不可用。所以一般情况下，我们不提倡用此方法。
求函数y=x-1[]x+2的值域。
分析 这函数仍然是一个分式的形式，但和例1又有所区别，它的分子分母都含有x，都是变化的，那么能不能化成和例1形式接近的表达式呢？
5.分离常数法，又名中间变量求值域法
解 将分式的分子变成常数：
所以所求函数的值域为{y|y≠1}.
如果没有例1的提示，仅仅看这个分式，从表达式上看，可以把y看成是x的函数，表达式有意义的x的集合就是函数的定义域；我们也可以把x看成是y的函数，则使表达式有意义的y的集合就是函数x=g（y）的定义域，也就是函数y=f（x）的值域。从而有求y范围的另一种方法：
6.反表示法
1、配方法。将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。（画一个简易的图能更便捷直观的求出值域。）
2、常数分离。这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。
3、逆求法。对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。
4、换元法。对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解。
（来源：文章屋网
关键词：值域；数形结合；反函数；单调性；换元法
中图分类号：G633.6 文献标识码：B文章编号：1672-1578（2014）09-0159-01
函数是高中数学的核心内容，也是学习高等数学的基础。函数的值域就是函数值的集合，也是函数的三要素之一。如何求函数的值域对整章函数的学习有举足轻重的意义，给定函数，要注意观察其运算与结构特征，根据函数的不同特征，采用相应的方法，本文现将求函数的值域的几种方法简析如下：
1.反函数法
对于y=cx+dax+b(ac≠0)型函数，利用函数和它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域。
例1：求函数y=x+32x-1的值域。
解：原函数可变形为x=y+32y-1
若要使此函数有意义，则2y-1≠0,即y≠12
所以函数的值域为（-∞,12）∪(12,+∞)
2.判别式法
对于y=ax2+bx+ccx2+dx+e(a1,c不同时为0）型的分式函数，多采用判别式法，此方法操作简单，比较易于学生接受，把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0，通过方程有实根，判别式≥0，从而求得原函数的值域。
例2：求函数y=x2-x+3x2-x+1的值域。
解：原函数可变形为（y-1)x2-(y-1)x+y-3=0
当y=1时，此方程无解。
当y≠1时，因为x∈R,
所以=(y-1)2-4(y-1)(y-3)≥0
解得 1≤y≤113
又因为y≠1
所以1＜y≤113
故此函数的值域为（1,113]
3.数形结合法
有些函数的图像比较易于作出，这样就可以利用所表示的几何意义，借助于几何方法或图像来求函数的值域。该方法赋予了代数式几何意义，使抽象的问题具体化，形象化，更具有直观性。
例3：求函数f(x)=x2+4x+3在[-5,0]的值域。
解：由二次函数的性质知，该函数的图像为一条开口向上的抛物线。
该抛物线的对称轴为x=-2
因为-2∈[-5,0]
所以该函数的最小值为f(-2)=-1
f(-5)=8
即该函数的定义域为[-1,8].
4.单调性法
确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性来求函数的值域的方法为单调性法。如果函数在某个区间上具有单调性，那么在该区间两端点求出函数的最值，进而求出函数的值域。
例4：求函数y=-2x+3在[2,4]上的值域。
解：函数y=-2x+3在[2,4]上单调递减。
当x=2时，函数取得最大值y=-1
当x=4时，函数取得最小值y=-5
该函数的值域为[-5,-1]
5.换元法
对于有些函数，可以运用代数或三角进行代换，将所给函数转化成相应的容易确定值域，的另一函数，从而求得原函数的值域，利用三角代换时要注意代换的条件及角的取值范围。
例5：求函数y=sinx2+cosx的值域。
解：设tanx2=t,则y=sinx2+cosx=2t3+t2
整理得：yt2-2t+3y=0
当t∈R时，y≠0时，
=（-2）2-4*y*3y≥0
解得-33≤y≤33
即函数的值域为[-33,0）∪（0，33]
6.特殊意义法
对于有特殊意义的函数，比如指数函数和对数函数，可根据它们的几何性质确定所给函数的值域。
例6：求函数y=ex-1ex+1(x≥0)的值域。
解：原函数可等价变形为ex=1+y1-y,
当x≥0时，ex≥1,即1+y1-y≥1,
解得0≤y＜1
案例一：对所授课班学生答卷情况的统计分析（两班共120人）
A.{y|2≤y≤6} B.{y|3≤y≤6}
C.{y|2≤y≤3} D.{y|0≤y≤2}
该题不难，可得分不高。答卷情况是：选A（正确）的30人，选B、C、D的分别是80、4、6人。
选B项的学生数占总人数的三分之二，说明学生的思维定势是相同的。原因何在？我从三个方面进行分析。
1.查学情。①95%的学生上课听讲认真，讨论问题积极、发言踊跃，作业没有应付现象且能按时交上；②退一步说，如果没认真学习，就不会集中地选B项，应当是B、C、D机会均等；③调查监考老师，没有发现抄袭现象。
2.析教材。课本是人教版《第一册（上）》第2.1节，对函数的概念、定义域和值域给出了一般性定义，讨论了二次函数在x∈R上的值域。对求某个区间上值域的方法，课本没做具体要求，没给出例题和练习题。
该套教材体系，对值域的求法，高一是淡化的，高三时才以导数为工具，以极值为载体，做了系统的介绍。然而高一和高二的学习应用中，涉及包括二次函数在内的几个初等函数在给定区间上求值域的问题，要求学生要会做。可是，恰恰课本在这方面忽视了。因为课本中没做具体要求和示范性例题，所以学生对这方面知识的学习和探究没做到足够重视，这就是失分多的主要原因之一。
3.忆教学。根据教材体系的安排和要求，对值域概念的授课过程分四个阶段完成。定义：在讨论的基础上给出了函数值域的一般性定义，结合图像讨论和总结了一次、二次、反比例函数在定义域上值域的解法。练习：选用教材P51练习中的第2题，习题2.1中的第3题和第5题进行了练习。应用：用互为反函数的定义域与值域之间的关系，完成了求函数值域的第一次应用；通过研究指数函数和对数函数的性质，完成了求函数值域的第二次应用。通法通则：①掌握一次、二次、反比例、指数、对数函数在各自定义域上值域的一般解法；②用求反函数定义域的方法求原函数的值域；③求单调函数的值域。
综上，大多数学生选中B项的原因，主要是“解题方法迁移”错误，即把“求某个单调区间上值域的方法用在了求非单调区间上值域上”。根源在课堂教学时，对教材中的缺陷没做到及时补正。
4.启示。①初学函数的高一学生，值域概念是相当抽象的，教师要有计划地让学生循序渐进地感悟和掌握。②虽然教材淡化了传统的求值域的方法，但由于应用的需要，对初等函数在给定区间上求值域的方法，教材应当在例习题中有所显示。③教学引导上，要剔除误导学生思维的方法及例习题。
案例二：对自己命题、阅卷班级答卷的统计分析（考试班数6个，每班60人）
答对人数：3、4班96人；其余四个班共11人。得分悬殊，分析如下。
1.查学情。我校实行平行分班制，学习基础相同。经调查，上课的积极性，主动性无明显差异；课外作业量和效果无大的差异。
2.析教材。教材对二次函数单调性的处理做到了循序渐进和将其以重点知识呈现给学生的要求：用二次函数引出函数单调性概念；以学生不断练习为突破口，做到重、难点知识螺旋式上升。
3.究教学。考试后，摘录到3、4班课堂教学情况的一段听课记录片段：
A.a≥1 B.a＜1 C.a＞-1 D.a≤-1
学生思考、发言对答案。结果选A、B、C、D的分别为14、21、16、9人。
教师（没有肯定对错），要求学生用答题板陈述理由：
生1：函数的对称轴是x=1-a，当1-a＞0，即a＜1时，函数在（-∞，3］上是减函数，故选B.
生2：分别取a=-2，0，2，只有当a=-2时，函数在（-∞，2］上是减函数，故选D.
老师期望的解法是：“对称轴为x=1-a，只有当1-a≥2，即a≤-1时，函数在（-∞，2］上是减函数。”仅有4人用了老师期望的解法。
听课老师评语：虽然答对率低，但是都进行了积极的思考，尽管结果错→←误，可也显现出思维的灵活性和多样性，以及创新意识，这正是新课标的基本要求。教师对每种解法都做了鼓励，然后结合图像做了深刻细致的剖析。对生1解法的剖析，多数学生立刻明白了老师期望的那种解法，其他学生在坚持己见的同时，经过再次剖析，也消除了疑惑；对生3的解法，从（＊）出发，同样认同了为何选D.
其他四个班没做这样的补充例题，这就是得分悬殊的根源。
4.启示。对重点难点知识，教师要有预见性地引导；对教材中存在的不足，教师要及时给予完善，以引起学生的重视。如果教师不及时引导与完善，只靠学生自己的探究，就会受学生经验不足和知识面狭窄的制约，找不准关键要害，会浪费宝贵的时间和精力，达不到理想的效果。
案例三：对听课班级答卷的调研（该班70名学生，我听了与考题内容相符的授课）
试题：已知双曲线的右准线为x=4，右焦点为F（10，0），离心率e=2，求双曲线的方程。
1.忆学情。听课时看到，98%的学生听讲认真，发言积极，能独立完成练习。
2.析教材。教材明确要求“掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单的几何性质”，“要学习一些常见的求曲线方程的方法”。
虽然该题求出的不是双曲线的标准方程，但此题是课本例3和习题8.4第7题的变形，说明教材的设计和安排是合理的。
3.查教学。教材要求要掌握答卷中的解5，多数学生会用这种解法，为何考试时没用这种解法呢？根源在教学引导上：授课时，例3用的是解5，而在随后练习习题8.4第7题时，分析引导到“曲线为双曲线”后，却用了解1和解2.
4.启示。①概念教学一定要准确。解1和解2的考生，没审出该双曲线的中心不是原点，就是概念不清所致。②备课时要参透每道例、习题所蕴含的要求和任务；在教学引导时，要做到不弃不漏。③教学中对双曲线的顶点、焦点、准线等几何性质及其关系，要足够重视。④解法多样折射出学生思考问题的多样性，这是要发扬的。
考试失分，除了不踏实、淘气、粗心等原因外，还有其他原因：教材内容设计欠完备、欠趣味、欠透彻，导致读书无兴趣、语句难以读懂；教学设计欠合理、教学引导欠全面、教学方法欠科学导致的听课吃力、乏味。
关键词：微分求积法，区域分裂法，最高阶导函数逼近，边界降阶，奇异摄动问题
1．绪论
微分求积法(DQM)是由Bellman和他的同事在70年代初期提出求解非线性偏微分方程的一种新的数值方法[1]。该法是一种简便、高效率、高精度求解积分一微分方程和偏微分方程(包括初值为题和边界问题)的数值方法。这种方法在处理边值问题时花费极少的计算代价得到更准确的解，也就是说，称之为谱精度[2-3]。DQM方法的出发点是通过插值来获得未知函数的逼近，然后所有的导函数被作为结果来得到。但是众所周知的是数值微分过程对甚至是一个很小的误差都非常的敏感。作为对比一般地数值积分过程对误差的敏感度要小得多[6-7]。基于这个观点，基于最高阶导函数逼近的微分求积区域分裂法(DQDDMHD)被提出。论文格式。
但是当节点增大到某个程度时，DQDDMHD方法的准确性不能被提高了。在某些情况下，准确性甚至变差了。为了提高准确性，尤其是处理奇异性问题的时候，区域分裂法(DDM)被引入。DDM方法是上个世纪60年代由德国数学家H.Schwerz为解复杂区域上的偏微分方程而提出的。其后，Picard,Wemer,Miller,Mitchell等对Schwarz交替法的发展与应用做了大量的工作。1992-1993年，Despres博士对Helmholtz方程和Maxwell方程的DDM算法进行了研究，并讨论了解的存在性和唯一性问题，给出了一种新的迭代算法。区域分解法能够得到如此广泛的关注，是因为它有很多优点，比如区域分裂的任意性，区域分裂后物理问题的数学描述多样性。它把大问题划分为几个小问题，缩小了计算规模。算法高度并行，计算的主要步骤是在各子域内独立进行，因此很容易实现并行计算以提高程序的运行效率。迄今为止，DDM方法已发展成为不再是纯数值技巧而是解微分问题的想法和方法。
奇异摄动理论和方法的研究自1935年以来先后在苏联、美国和其他国家蓬勃发展起来，成为数学的一个重要的领域。因为奇异摄动问题在实际问题（比如高雷诺数下的Navier -Stokes方程）中有广泛的应用，因而奇异摄动问题一直是数值计算中的热点问题。奇异摄动问题的一个特性就是边界层现象，由于边界层的存在，使这类问题它是一个对数值计算比较困难。在边界层内解的变化非常剧烈，许多传统方法在捕捉边界层处解的剧烈变化上是效率不高的，常出现数值不稳定，因而必然会反过来影响整个区域上解的精度。
在这篇文章中，一个新数值方法基于最高阶导函数逼近的微分求积区域分裂法(DQDDMHD)被提出来处理奇异摄动问题。它是一个对DQMHD方法在全局上的改进。用这种方法，整个区域被划分成几个子区域。在每个子区域上，DQMHD方法被采用。边界降阶技术被应用。主要的技巧是如何消去内点把微分方程降阶为只包含边界点的线性代数方程。
2.DQMHD方法和DQDDMHD方法
2.1 DQMHD方法
众所周知的是数值微分过程对甚至是一个很小的误差都非常的敏感。作为对比一般地数值积分过程对误差的敏感度要小得多[6-7]。基于这个观点，我们提出对函数的插值的过程从导函数开始，然后原函数通过积分来获得。
DQMHD方法的本质在于函数和它的导函数能被在所有离散的点的值和权因子来逼近。权因子不依赖于任何的特殊的问题，但是依赖于网格划分。因此任何微分方程在离散点的数值解的问题能被降阶为线性代数问题。为了简单起见，让我们如下的在区域（0 1）上的两点边值问题：
用这种逼近，函数和它的导函数的值能用下面的式子计算：
(2.4)，(2.5)和 (2.6)被改写为如下的形式：
让我们把(2.8)写成矩阵的形式变为：
其中A，B是如下的系数矩阵：
那么方程(2.1)能被变为如下的矩阵方程组：
2.2 DQDDMHD方法
区域分裂法（DDM）是一种偏微分方程数值解的新技术，它把整个结构分成许多个子区域，在各个子区域内单独解方程，通过乡邻子区域的连接部分交换信息，因此它不存在联立求解所导致的问题。区域分裂法一般分为两种：重叠型和不重叠型，前者相邻子域之间有重叠部分，通过所谓Schwarz交替法求解，后者相邻子域之间之共用交界面，通过交界面上的连续性条件对解进行约束。在这里我们只考虑第二种情况。
DQDDMHD方法的主要的步骤：
1）整个区域被划分成几个子区域。
2）在每个子区域上用DQMHD方法来离散函数。
3）在每个子区域上用边界点（拟边界点）表示内点。
4）消去内点得到拟边界上的未知量所满足的方程组，并解方程组。则我们得到拟边界上的函数值。
5） 在每个子区域上，将拟边界上的函数值回代，那么内点上的函数值可知。论文格式。问题就解决了。
3. 对DQDDMHD方法应用
不失一般性我们考虑如下方程：
角点的8个导数满足如下方程：
当然角点的8个导函数可以任意选取，这里只是任选了4个。
4. 数值实验
现在用DQDDMHD方法来解决如下问题：
5. 结论
在这篇文章中，一种新的方法DQDDMHD方法被提出用来求解奇异摄动问题 。DQDDMHD方法是将基于最高阶导函数逼近的微分求积法和区域分裂法结合而成的。论文格式。 在我们的方法中，我们从最高阶导函数的插值入手然后通过积分得到较低阶的导函数和原函数。我们的方法原理简单，易于编程并且对于处理奇异摄动问题十分的有效。我们能通过使用适当的参数来获得令人满意的结果而且计算量也不是很大。因此我们有理由相信DQDDMHD方法的优点将会使它非常的吸引人。
QDDMHD方法的优点将会使他非常的吸引人。
6.参考文献
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1.定义法
在函数y=f(x)中，给定一个x的值，有唯一的函数值y与之对应，所有y值的集合叫函数的值域。
例1已知函数f(x)=y=x2+1，x∈{-2,-1,0,1,2}，求值域。
解析：本题中函数表达式已知，自变量x有5个值，与之对应的y值有5个，即5，2，1，2，5。
用集合知识，所求值域为{5,2,1}。
2.配方法
先将函数解析式配方，用二次函数图象，求出函数值域。
例2已知函数f(x)=y=-x2-3x+1，x∈(-2,1］，求函数f(x)的值域。
解析：y=-x2-3x+1=-(x+32)2+134，对称轴x0=-32∈［-2,1)，
ymax=134,ymin=-3，所以值域为［-3,134］。
3.观察法
先将函数等价变形后，观察表达式，得到值域。
例3函数y=2x-3x+1的值域为______。
解析：y=2x-3x+1=2x+2-5x+1=2-5x+1，
因为5x+1可正可负不为0，故y≠2。
4.基本不等式法
对形如y=ax+bx(a,b∈[WTHZ]R[WTBX]+)的函数，使用基本不等式，可求出值域，但一定要注意使用条件：一正、二定值、三相等。x+1x2-x+2的值域。
分析：由x∈[WTHZ]R，有yx2-(y+1)x+2y-1=0。
①当y=0时，x=-1；
(y+1)2-4y(2y-1)≥0。
②当y≠0时，Δ≥0有-7y2+6y+1≥0,
解之，得-17≤y≤1且y≠0。
由①及②知，-17≤y≤1。
6.导数法
对高次函数或含logax,ax的函数，可采用导数方法求最值与值域。其一般步骤是：求导y′；令y′=0，求出极值点并列表，求极值；比较极值与端点值求出最值。
7.单调性法
先考虑函数的定义域，观察随着x的变化，y值的变化情况，判定函数的单调性，用增（减）函数的性质求值域。
例5求y=2x-3-x的值域。
解析：由3-x≥0，有x≤3，
易知，y在(-
䥺SymboleB@,3］上是增函数，所以y≤6。
8.数形结合法