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自从我开始接触数学以来，我一直对这门学科的深度和复杂性感到着迷。在我看来，数学不仅是一种工具，更是一种思维方式，一种探索世界的方法。最近，我读了一本名为《高中数学》的书，让我对数学有了更深的理解和认识。
《高中数学》这本书旨在帮助高中生理解数学的基础概念和原理，掌握解决数学问题的基本方法。这本书的优点在于它的清晰度和实用性。作者以清晰简洁的语言解释了各种数学概念，并提供了实际案例来说明如何运用这些概念和原理。这种结合使我在理解数学的同时，也能看到数学在实际生活中的应用。
阅读这本书的过程中，我经常思考如何将所学的数学知识应用到现实生活中。比如，在学习函数时，我意识到函数在描述自然现象和社会现象时的重要性。在学习几何时，我理解了空间思维的重要性，这对我在物理和化学的学习也有很大的帮助。这种将数学与现实世界联系起来的方式，让我对数学有了更深的理解和热爱。
在阅读这本书的过程中，我也发现了一些问题。例如，在学习概率时，我对于概率的定义和计算方法存在一些困惑。我意识到，我需要更深入地理解概率的本质，才能更好地掌握这一领域的知识。此外，我也发现自己在处理一些复杂的数学问题时，缺乏系统性和策略性。我需要更好地掌握一些数学方法和技巧，以提高我的解题效率。
总的来说，《高中数学》是一本很好的书，它帮助我理解了数学的基础知识，也让我看到了数学在实际生活中的应用。但是，我也意识到自己在理解和应用数学知识方面还存在不足。我相信，只要我不断学习、不断思考，我一定能够更好地掌握数学这门美丽的语言。
读书目的：高中数学是一门重要的学科，通过阅读这本书可以了解数学在生活中的应用以及数学的发展历程，提高对数学的兴趣和认识。
主要内容：
《数学之美》这本书介绍了数学在生活中的应用以及数学的发展历程。作者从多个角度阐述了数学在音乐、物理、计算机科学、经济学等方面的应用。此外，书中还介绍了数学家们的趣闻轶事和数学的历史，让读者了解到数学的有趣之处。
阅读体会：
1.数学的应用范围非常广泛，它已经渗透到我们生活的方方面面。比如在计算机科学中，算法和数据结构都离不开数学的知识。在物理学中，物理学家们需要运用数学知识来推导公式和解决物理问题。在经济学中，数学模型也被广泛应用来分析和预测经济趋势。
2.数学的发展历程非常有趣。从古至今，数学家们不断地探索和发现新的数学理论和概念。比如，古希腊的数学家们研究了各种几何形状的性质和关系，奠定了现代数学的基础。在中国，古代的算术和代数也有着悠久的历史和丰富的成果。
3.通过阅读这本书，我对高中数学的印象有了很大的改观。原来觉得枯燥无味的数学知识，在实践中却有着广泛的应用。比如，在学习微积分时，我了解到微积分在计算机科学中有着重要的地位，它可以帮助我们更好地理解和处理数据。
总结：
《数学之美》这本书让我对高中数学有了更深刻的认识和理解。它让我意识到数学并不仅仅是一门抽象的学科，而是一个与我们生活息息相关的实用工具。通过阅读这本书，我对数学的学习产生了浓厚的兴趣，并且也激发了我探索更多数学知识的好奇心。我相信在今后的学习和工作中，我会更加注重应用数学知识，并不断挑战自己的数学极限。
[标题]：高中数学中的知识探索：一个有启发性的阅读旅程
[引言]：
当我接触到高中数学时，我对这门学科的神秘感到惊讶。复杂的概念，如集合，函数，统计，几何等，看起来就像是无尽的迷宫。但是，当我开始深入理解这些概念时，我发现数学其实是一种工具，一种理解我们周围世界的工具。数学并不只是抽象的符号和公式，它是一种逻辑和推理的艺术。这篇读书笔记，我将分享我对于高中数学的理解和学习的心得。
[主要内容]：
1.基础数学概念：在阅读过程中，我意识到理解数学的基础概念是理解复杂问题的基础。例如，在集合的学习中，我理解了什么是唯一性，什么是重复，以及集合之间的交集和并集的概念。这些基础概念为我提供了构建更复杂数学模型的基础。
2.函数的理解：函数是高中数学的核心部分，但是理解函数的概念和性质对我来说是一个挑战。通过阅读和理解函数的概念，我了解到函数是一种将自变量映射到因变量的工具。这种理解帮助我更好地理解了函数的应用，如解析几何和三角函数。
3.统计和概率的理解：在阅读统计和概率的内容时，我了解到这些概念可以帮助我们理解和预测不确定性。例如，通过学习平均值和标准差的概念，我可以更好地理解一组数据的中心趋势和离散程度。通过学习概率论，我可以理解和分析事件发生的可能性。
4.几何的理解：几何学是一个有趣的领域，它需要我们运用空间想象力和逻辑推理能力。通过学习平面几何和立体几何，我学会了如何描述和绘制空间图形，如何证明几何定理，以及如何应用几何学解决实际问题。
[个人观点]：
对我来说，高中数学是一门既有挑战又有乐趣的学科。虽然有时候我需要花费大量的时间来理解某些概念，但是当我最终掌握一个新概念时，那种成就感是无与伦比的。我也发现数学在实际生活中有很多应用，如金融、科学、工程、计算机科学等。
[结论]：
总的来说，高中数学是一门非常有价值的学科。它不仅教会我们如何解决问题，还教会我们如何思考问题。通过深入学习数学，我们可以更好地理解我们周围的世界，更好地解决问题，更好地应用我们的知识。我相信，无论我们未来的职业是什么，数学都将是一个重要的工具和技能。
摘要：《高中数学必修课》是一本专为高中学生设计的数学教材，内容涵盖了高中数学的基础知识和核心概念。本书旨在让学生通过深入浅出的方式，理解数学的本质和应用，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
一、课程内容及理解
《高中数学必修课》的内容主要包括数与代数、几何与拓扑、概率与统计三个部分。每个部分都以实际生活中的问题为引导，让学生从实际问题中理解抽象的数学概念。例如，在“数与代数”部分，作者以温度计为例，解释了代数的基本概念，让学生理解了变量、函数等概念。
二、阅读过程中的思考
在阅读这本书的过程中，我最大的感受是数学并非单纯的抽象概念和公式，而是与我们的日常生活息息相关。通过解决实际问题，我逐渐理解了数学的本质和应用，这让我对数学有了更深的理解和欣赏。
三、学到的数学方法和技巧
本书强调了理解数学概念的重要性，认为只有深入理解概念，才能在实际应用中灵活运用。此外，书中还介绍了许多数学方法和技巧，如归纳法、反证法等，这些方法和技巧不仅能帮助我解决数学问题，也让我对数学有了更深入的理解。
四、个人应用及总结
在日常生活中，我常常运用数学方法和技巧来解决实际问题。例如，在购物时，我运用了概率统计的知识来计算最佳的购物方案；在学习中，我运用了代数和几何的知识来解决复杂的问题。通过这本书的学习，我对数学有了更深的理解和欣赏，也更加热爱这门学科。
五、其他建议和展望
对于这本书，我认为可以在课后增加一些习题和案例分析，以帮助读者更好地理解和应用所学知识。此外，我也建议在课程中加入一些数学史和数学文化的内容，以激发学生对数学的兴趣和热情。
总的来说，《高中数学必修课》是一本很好的教材，它不仅帮助我理解了数学的基本概念和应用，也让我对数学有了更深的理解和欣赏。我相信这本书将对更多的人产生积极的影响，也会让更多的人热爱数学。
导语：读书笔记是大家平时在读书时把自己的读书心得，内容鉴赏，探讨主题，评论人物，以下是小编为大家整理的数学读书笔记摘抄，欢迎大家阅读与借鉴！
可在经过短时间的高中数学学习后，通过调查问卷的方式了解学生是如何进行高中数学学习的，从中发现问题并给予及时的指导。包括：课堂学习作笔记的指导；学习新内容的指导；分析问题的指导；作业和课后的复习巩固的指导等。指导学生坚持整理课堂笔记，是知识系统划，梳理知识的内在联系，使指系统化，同时也培养学生的归纳概括能力。
为做好上述几个方面，一个优秀的教师显然还应该具备系统扎实的专业知识、基本方法等，了解本学科的发展趋势。不仅如此，教师只有不断提升自己，才能拓宽知识面，教学中也才能够运用自如，课堂才会生动有趣。另外，要成为一位优秀的数学教师，还应该具备以下几个方面的能力：第一，优秀高中数学教师对数学要有自己深刻的理解和思考，数学不只是枯燥无味的公式、定理等，而是我们认识世界、分析问题的思想方法。引导学生在生活中发现数学问题并解决问题，从中体验到学习数学的乐趣，增强学习的信心。第二：优秀的高中数学教师无一例外的具有较强的数学基本功、教学基本功。他们数学知识熟练广博，接替机枪多样，使学生心目中的“难不倒”的老师。他们不仅善于学习总结，更善于了解数学的发展近况，扑捉新信息 ，把握好重难点，找准问题的关键。选择恰当的方式设计数学问题情景实施教学，激发学生的学习兴趣。第三：优秀的高中数学教师会创造性地处理教材，是“用教材”而非“教教材”。他们会深刻领悟编写的意图，联系学生的实际，不断补充相应的内容，勇于创新，或者开展专题研究或小课题研究，更好地“用活教材”，从而创造性地开展教学工作。
除此之外，他还提到一个优秀高中数学教师还能够评估学生的数学认知结构。了解了初中的内容还不够，还要评估学生学习数学的能力，这一点并不全是与数学成绩成正比。评估学生的认知结构，可以为教学提供信息，确定怎样的教学方法。也可以为数学学习提供诊断，找出影响学习质量的原因。教师需充分调查了解学生已经掌握的知识和技能，了解掌握的熟练程度，了解学生对数学思想方法的`理解程度，这样才能设计出适合学生情况的教学活动，充分调动学生原来的认知结构对新知识进行“同化”和“顺应”，提高课堂效率。
总之，要想成为一位优秀的高中数学教师的，必须拥有丰富的数学基础知识，结合当前的可改精神，认真领悟二期课该的精神，创造性地使用教材，尽可能因材施教，充分了解每一位学生的成长环境和经历，发现学生的个性特长，充分发挥学生的主体性，让他们体验数学解题的思维过程，抓住数学的本质，学会学习数学。何棋老师为高中数学老师的发展指明了方向，让我明白了自己的不足，在竞争愈来愈激烈的今天，我们会更加努力的！
一、选书理由
我就是数学，这是一种何等的胆识，这是一种何等的气魄！
因而我坚信，那这本书必定有它的匠心独运之处，于是我开始翻阅此书，寻找那份属于华老师的“胆识”与“气魄”。
二、博览群书
这本书读起来，一点都不枯燥。我相信很大程度上是因为华老师丰厚的文学素养。
他在每篇随笔中总能引用古今中外的名人名言，教育故事，是那样的巧妙，那样的广泛。
《脑袋磕破后的笑声》一文中，华老师竟然能把磕破的脑袋与一顶帽子合成一件难得的“教具”，与所教内容《中括号》结合得天衣无缝。华老师在阐述如何去发现事物之间存在着微妙联系的时候，引用了朱光潜先生在《谈美》中的一句话“在意识中思索的东西应该让他在潜意识中酝酿一些时候才会成熟。功夫没有错用的，你自己以为劳而不获，但是你在潜意识中实在仍然于无形中收效果。”
“灯火阑珊处”的那人，如果不是“千百度”地有意识地寻，就不会有那份“蓦然回首”的惊喜与回味！
这样的`例子，不胜枚举！由此可见，华老师是读了很多很多书的，而博览群书，似乎是每位名师成长的共性！
华老师在书中也讲到：一个教师不读自己专业以外的书，是不会把这个学科教得很好的；但是，如果他不经常阅读自己专业的书，那么更是教不好这个学科的。
不由得扪心自问，今天，我读书了吗？
三、宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来
“我的年历上没有星期天，没有节假日，有的只是一天五六小时的睡眠。更深夜半，烛泪将尽，常常是和衣而睡。一觉醒来，跑跑步，暖暖身子，继续看书。热闹正月，人们打牌娱乐，遍尝山珍海味；我却钻进宿舍，捧着书本，啃着馒头，沉浸在教育教学的王国里。”
这是他对待事业的态度，反照我们身边的一些人，平时有一点忙，就喊忙忙忙，有些许累，就喊累累累，有微苦，就好像苦不堪言，用种种不是理由的理由来欺骗自己，给自己的不思进取寻找原因；对华老师除了佩服之外，我自愧不及他的万分之一。
宁静而致远，一点没错！在这个浮躁的社会，我们往往会在诱惑中迷失自己，多一些宁静，少一些浮躁，寻找那份属于静的丰富，这样，也许我们才可以走得更远。
四、课堂因差错而精彩
多少老师在上公开课时候，希望孩子的回答永远是正确的，生怕孩子的回答有错误。
“课堂因差错而精彩”，在华老师的课堂上被诠释的淋漓尽致，而且华老师还有更深刻的理解，提倡“融错教学”。
华老师每接手一个新班，第一节课都会在黑板上板书：“错得好！”。在书中，华老师告诉我们处理差错的方法：
1、冷静地分析。对待学生出现的错误，我们要好好的分析学生为什么会出现这样的错误，要多问学生“你是怎样想的”，然后把握其错误的性质和原因，对症下药。
2、恰当地评价。完全的错误是不存在的，只是错误的成分有多少，正确的成分又是多少。对待学生的错误不要一棍子打死，重点应放在分析差错中的正确方面和出现错误的原因，先说明哪些地方时对的，差错可能成为正确的先导，它往往隐藏着正确的结论，学生差错大多是“差那么一点”、“拐个弯就对了”，就看我们老师是否愿意去开启。
3、灵活地纠正。一要相信学生有能力纠正自己的“偏差”；二要提高学生克服困难的信心；三要舍得花时间给学生思考的余地，多给学生一些自由呼吸的空间；四要期待学生自己走向成功，以理解的心去接近他们，以背后的手去帮助他们，以期待的目光去鼓励他们。
华老师说，教师的智慧就是要善于从学生95%错误的解答中发现那仅有的5%正确的东西，给予热情的肯定，并积极加以引导，让学生以步步推到那95%的错误。
为什么不在我的课堂上出现这些精彩的引导学生从错误走向正确的教学过程呢？
其实这关系到执教者对教材知识的理解，比如“角的度量”中，对量角的本质是什么？老师自己是否清楚？自己都不知道，如何引导孩子清晰地认识。由此，提高自己的学科水平是多么的重要和迫切。其次是，平时自己是否经常思考？“有没有想，会不会想，有没有坚持去想”华老师的话，精辟、深刻，让人深思。
五、行动起来
萤火虫比喻自己床前的台灯：每晚工作到12点，睡下后想到什么马上开灯记下，关灯再睡，再想到什么又开灯记下……床头灯就像萤火虫一闪一闪
朴实的一段话，却又是很有气魄的一段话，给了我不小的震撼。
可是，震撼过后呢？行动在哪里？
不由想起上次张齐华老师的讲座，有人问他怎么写反思，他说“你反思了吗？如果你已经开始反思了，我想我无须回答你的问题，如果你还没有反思，我拒绝回答你的问题”
很多时候，我们什么都不缺，唯一缺少的，便是那震撼过后的行动！
乔丹·艾伦伯格，美国威斯康星大学数学系教授。他的文章主要发表在《连线》、《纽约时报》、《华盛顿邮报》、《华尔街日报》、《波士顿环球报》等媒体上，他还为《石板》杂志写作“DotheMath”专栏文章，十分受欢迎。
内容简介
如果你是一个有“数学焦虑症”的人，你可能不会相信有一天你会爱上数学。原因在于，我们在学校所学的数学知识看上去不过是一堆沉闷的规则、定律和公理，都是前人传下来的，而且是不容置疑的。在《魔鬼数学》中，世界知名数学家乔丹·艾伦伯格告诉我们这样的认识是错误的。数学与我们所做的每一件事都息息相关，可以帮助我们洞见在混沌和嘈杂的表象之下日常生活的隐性结构和秩序。数学是一门告诉我们“如何做才不会犯错”的科学，是经年累月的努力、争论所锤炼出来的。
精彩分享
不是所有的线都是直线
随着我们离圆越来越近，视野变得越来越小，到最后我们看到的弧线与直线已经非常接近，几乎没有区别了。如果一只蚂蚁在圆上爬行，它只能看到身边很小的范围，它会以为自己是在一条直线上爬行。在地球表面上生活的人也一样，认为自己位于一个平面之上(除非他非常聪明，知道观察由远而近、逐渐从地平线上露出来的物体)。
人人都是胖子
计算积分或者进行线性回归，用计算机就能完成，但是，判断所得结果是否有意义，或者判断所采用的方法是否正确，则离不开人的智慧。我们在教授数学时，应该告诉学生如何应用人的智慧，否则，我们培养出来的学生从本质上就会与微软的Excel程序没什么两样，而且反应迟钝、漏洞百出。
触目惊心的数字游戏
从中我们可以看出，随着硬币的数量越来越多，正面朝上的概率明显地向50%靠近，就好像被一把看不见的老虎钳钳住了一样。计算机模拟也会产生同样的结果。抛10枚硬币，正面朝上的比例范围为30%~90%;抛100枚，比例范围缩小，变为40%~60%;抛1000枚，比例范围仅为46.2%~53.7%。在某个规则的作用下，这个比例越来越接近50%。这只不讲情面、无法抗拒的“手”就是“大数定律”。大数定律不会对已经发生的情况进行平衡，而是利用新的.数据来削弱它的影响力，直至前面的结果从比例上看影响力非常小，可以忽略不计。这就是大数定律发生作用的原理。
祝你下一张彩票中大奖
平行线有时似乎也会相交。想象一条铁道在一览无余的平地上向前延伸，你的视线也跟着向前移动，这时你会发现，随着距离地平线越来越近，那两根铁轨似乎逐渐融为一体(如果希望在头脑中形成一幅生动逼真的画面，我们可以一边听着乡村音乐一边想象，这样效果会更好)，这就是“透视现象”。我们的视野是二维的，如果我们希望在这个二维视野中描绘三维世界，那么有些东西必然会丢失。
所谓民意，纯属子虚乌有
数学是常识的衍生物，有的活动虽然没有被表示成一个方程式，或者被画成一幅图，却同样属于数学活动。例如，你会发现好的东西未必是更优的选择;在机会足够多的情况下不可能的事情也会发生，并因此抵制住巴尔的摩股票经纪人的诱惑;决策时不仅要考虑所有可能的未来，还要考虑所有可能事件的影响，密切关注哪些事件可能发生、哪些事件不太可能发生;摒弃群体信念与个体信念应当遵循相同规则的认识;为认知找到最佳的平衡点，使直觉在形式主义推理铺设的康庄大道上自由驰骋。你打算什么时候应用你学到的数学知识呢?事实上，从你呱呱坠地开始，你可能就一直在使用这些数学知识。从现在开始，充分利用这些数学知识吧。
且行且思
艾伦伯格说，学校数学课的上计算题就像是职业足球选手为了锻炼力量、速度、观察力和柔韧性，必须在健身房里进行枯燥的重复性训练一样，确实必要，但不是数学的实质。对于不想成为“职业数学选手”的一般人来说，比解答算式更重要的是用数学思维理解现实问题。这不就是我们课堂追求的培养学生的数学核心素养吗?数学是每一个孩子从求学开始都必须要学习的主课，它教给孩子们的不应只是冰冷的数学知识，更重要是要教给学生用数学的眼光看待问题、用数学的思想去思考问题。小学数学课程的学习不只是为了升学考试，更是为了把数学本身的学科意义渗透到学生的思维品质，实践操作，认知情感当中，提高学生的数学素养。所以，作为数学老师，除了教知识，更要去思考如何培养学生的数学素养，特别是如何在课堂教学中体现与落实数学核心素养。基于数学核心素养的数学教学，要求教师要更新观念。培养并提升核心素养，不能依赖模仿、记忆，更需要理解、感悟，需要主动、自觉，将“学生为本”的理念与教学实际有机结合。
今天，我们将从一系列公理开始，从自然数的产生一直说到实数理论的完善。你或许会对数学的“科学性”有一个新的认识。注意，本文的很大一部分内容并非直接来源《什么是数学》，这篇文章可以看作是《什么是数学》中有关章节的一个扩展。
自然数是数学界中最自然的数，它用来描述物体的个数，再抽象一些就是集合的元素个数。在人类文明的最早期，人们就已经很自然地用到了自然数。可以说，自然数是天然产生的，其余的一切都是从自然数出发慢慢扩展演变出来的。数学家Kronecker曾说过，上帝创造了自然数，其余的一切皆是人的劳作。 (God made the natural numbers; all else is the work of man.)
随着一些数学理论的发展，我们迫切地希望对自然数本身有一个数学描述。从逻辑上看，到底什么是自然数呢?历史上对自然数的数学描述有过很多的尝试。数学家Giuseppe Peano提出了一系列用于构造自然数算术体系的公理，称为Peano公理。Peano公理认为，自然数是一堆满足以下五个条件的符号：
1. 0是一个自然数;
2.每个自然数a都有一个后继自然数，记作S(a);
3.不存在后继为0的自然数;
4.不同的自然数有不同的后继。即若a≠b，则S(a)≠S(b);
5.如果一个自然数集合S包含0，并且集合中每一个数的后继仍在集合S中，则所有自然数都在集合S中。(这保证了数学归纳法的正确性)
形象地说，这五条公理规定了自然数是一个以0开头的单向有序链表。
自然数的加法和乘法可以简单地使用递归的方法来定义，即对任意一个自然数a，有：
a + 0 = a
a + S(b) = S(a+b)
a · 0 = 0
a · S(b) = a + (a·b)
其它运算可以借助加法和乘法来定义。例如，减法就是加法的逆运算，除法就是乘法的逆运算，“a≤b”的意思就是存在一个自然数c使得a+c=b。交换律、结合率和分配率这几个基本性质也可以从上面的定义出发推导出来。
Peano公理提出后，多数人认为这足以定义出自然数的运算，但Poincaré等人却开始质疑Peano算术体系的相容性：是否有可能从这些定义出发，经过一系列严格的数学推导，最后得出0=1之类的荒谬结论?如果一系列公理可以推导出两个互相矛盾的命题，我们就说这个公理体系是不相容的。Hilbert的23个问题中的第二个问题就是问，能否证明Peano算术体系是相容的。这个问题至今仍有争议。
在数学发展史上，引进负数的概念是一个重大的突破。我们希望当a
(a-b) + (c-d) = (a+c) – (b+d)
(a-b) · (c-d) = (ac + bd) – (ad + bc)
我们可以非常自然地把上面的规则扩展到a=b，符号(a-b)描述的是一个自然数;如果a
生活中遇到的另一个问题就是“不够分”、“不够除”一类的情况。三个人分六个饼，一个人两个饼;但要是三个人分五个饼咋办?此时，一种存在于两个相邻整数之间的数不可避免的产生了。为了更好地表述这种问题，我们用一个符号a/b来表示b个单位的消费者均分a个单位的物资。真正对数学发展起到决定性作用的一个步骤是把由两个数构成的符号a/b当成一个数来看待，并且定义一套它所服从的运算规则。借助“分饼”这类生活经验，我们可以看出，对于整数a, b, c，有(ac)/(bc)=a/b，并且(a/b)+(c/d) = (ad+bc)/(bd), (a/b)·(c/d)=(ac)/(bd)。为了让新的数能够用于度量长度、体积、质量，这种定义是必要的。但在数学历史上，数学家们经过了很长的时间才意识到：从逻辑上看，新的符号的运算规则只是我们的定义，它是不能被“证明”的，没有任何理由要求我们必须这么做。正如我们定义0的阶乘是1一样，这么做仅仅是为了让排列数A(n,n)仍然有意义并且符合原有的运算法则，但我们绝对不能“证明”出0!=1来。事实上，我们完全可以定义(a/b) + (c/d) = (a+c)/(b+d)，它仍然满足基本的算术规律;虽然在我们看来，这种定义所导出的结果非常之荒谬，但没有任何规定强制我们不能这么定义。只要与原来的公理和定义没有冲突，这种定义也是允许的，它不过是一个不适用于度量这个世界的绝大多数物理量的、不被我们熟知和使用的、另一种新的算术体系罢了。
我们称所有形如a/b的数叫做有理数。有理数的出现让整个数系变得更加完整，四则运算在有理数的范围内是“封闭”的了，也就是说有理数与有理数之间加、减、乘、除的结果还是有理数，可以没有限制地进行下去。从这一角度来看，我们似乎不大可能再得到一个“在有理数之外”的数了。
当我们的数系扩展到有理数时，整个数系还出现了一个本质上的变化，这使我们更加相信数系的扩展已经到头了。我们说，有理数在数轴上是“稠密”的，任何两个有理数之间都有其它的有理数(比如它们俩的算术平均值)。事实上，在数轴上不管多么小的一段区间内，我们总能找到一个有理数(分母m足够大时，总有一个时刻1/m要比区间长度小，此时该区间内至少会出现一个分母为m的有理数)。这就使得人们会理所当然地认为，有理数已经完整地覆盖了整个数轴，所有的数都可以表示成a/b的形式。
难以置信的是，这样的数竟然不能覆盖整个数轴;除了形如a/b的数以外，数轴上竟然还有其它的数!这是早期希腊数学最重要的发现之一。那时，古希腊人证明了，不存在一个数a/b，使得其平方恰好等于2。平方之后等于2的数不是没有(可以用二分法找出这个数)，只是它不能表示成两个整数之比罢了。用现在的话说就是，根号2不是有理数。你可以在这里看到至少5种证明根号2不能表示成整数与整数之比的方法。根号2这种数并不是凭空想象出来的没有实际意义的数，从几何上看它等于单位正方形的对角线长。我们现有的数竟然无法表达出单位正方形的对角线长这样一个简单的物理量!因此，我们有必要把我们的数系再次进行扩展，使其能够包含所有可能出现的量。我们把所有能写成整数或整数之比的数叫做“有理数”，而数轴上其它的数就叫做“无理数”。它们合在一起就是“实数”，代表了数轴上的每一个点。
其实，构造一个无理数远没有那么复杂。我们可以非常轻易地构造出一个无理数，从而说明无理数的存在性。把所有自然数串起来写在一起所得到的Champernowne常数0.12345678910111213141516…显然是个无理数。考虑用试除法把有理数展开成小数形式的过程，由于余数的值只有有限多种情况，某个时刻除出来的余数必然会与前面重复，因此其结果必然是一个循环小数;而Champernowne常数显然不是一个循环小数(不管你宣称它的循环节是什么，我都可以构造一个充分长的数字串，使得你的循环节中的某个数字根本没在串中出现，并且显然这个串将在Champernowne常数中出现无穷多次)。这个例子说明，数轴上还存在有大量的无理数，带根号的数只占无理数中微不足道的一部分。这个例子还告诉我们，不是所有的无理数都像pi一样可以用来测试人的记忆力和Geek程度。
在定义无理数的运算法则中，我们再次遇到了本文开头介绍自然数时所面临的问题：究竟什么是无理数?无理数的运算该如何定义?长期以来，数学家们一直受到这个问题的困惑。19世纪中期，德国数学家Richard Dedekind提出了Dedekind分割，巧妙地定义了无理数的运算，使实数理论得到了进一步的完善。
在此之前，我们一直是用有序数对来定义一种新的数，并定义出有序数对之间的等价关系和运算法则。但Champernowne常数这种让人无语的无理数的存在使得这种方法能继续用于无理数的`定义的希望变得相当渺茫。Dedekind不是用两个或多个有理数的数组来定义无理数，而是用全体有理数的一个分割来定义无理数。我们把全体有理数分成两个集合A和B，使得A中的每一个元素都比B中的所有元素小。显然，满足这个条件的有理数分割有且仅有以下三种情况：
1. A中有一个最大的元素a。例如，定义A是所有小于等于1的有理数，B是所有大于1的有理数。
2. B中有一个最小的元素b。例如，定义A是所有小于1的有理数，B是所有大于等于1的有理数。
3. A中没有最大的元素，且B中没有最小的元素。例如，A由0、所有负有理数和所有平方后小于2的正有理数组成，B由所有平方后大于2的正有理数组成。每一次出现这种情况，我们就说这个分割描述了一个无理数。
注意，“A中有最大元素a且B中有最小元素b”这一情况是不可能出现的，这将违背有理数的稠密性。a和b都是有理数，它们之间一定存在其它的有理数，而这些有理数既不属于集合A，也不属于集合B，因此不是一个分割。
为什么每一种情况3都描述了一个确定的无理数呢?其实这非常的形象。由于A里面没有最大的元素，因此我们可以永不停息地从A里面取出越来越大的数;同样地，我们也可以不断从B里面取出越来越小的数。这两边的数将越来越靠近，它们中间夹着的那段区间将越来越小，其极限就是数轴上的一个确定的点，这个点大于所有A里的数且小于所有B里的数。但集合A和B已经包含了所有的有理数，因此这个极限一定是一个无理数。因此从本质上看，Dedekind分割的实质就是用一系列的有理数来逼近某个无理数。
你也许想到了，现在我们可以很自然地定义出无理数的运算。我们把一个无理数所对应的Dedekind分割记作(A,B)，则两个无理数(A,B)和(C,D)相加的结果就是(P,Q)，其中集合P中的元素是由A中的每个元素与C中的每个元素相加而得到，余下的有理数则都属于集合Q。我们也可以用类似的办法定义出无理数的乘法。另外，我们能够很快地验证，引入无理数后我们的运算仍然满足交换律、结合率等基本规律，这里就不再多讲了。
注重学生在数学课堂中情感态度的培养
学习了著名数学教育专家李光树老师的《小学数学教学论》第一章《小学数学的教学思想》，我颇有感悟，现浅谈一下自己的一点心得体会。
在数学课堂教学中，既需要注重学生知识、能力和培养，又要注重学生情感态度的培养。应该说，情感态度的培养比知识能力的培养更重要。小学数学课程标准中明确提出：“培养孩子积极思考的态度，使孩子在学习过程中增强学习数学的信心，培养孩子学习数学的兴趣。”我从这几句浅显的话语中悟出了许多深刻的道理。
现代社会是一个知识经济爆炸的年代，社会对孩子的需求也越来越高，作为新一代的教师，我们不仅要培养出成绩优异的.孩子，而且要培养出具有自信心的良好心态的孩子。因为实践证明，良好的心态是成功的第一保障，现代儿童的心理问题已经给我们的教育提出了许多严峻的课题。因此，我认为数学课堂上也要注重学生情感态度的培养。
在这个问题上，我认为可以从以下三个方面重点培养，主要是积极主动的参与意识；学习数学的自信心；学习数学的兴趣。仔细思考了一下这三个方面应该是互相联系、辨证统一的。有了积极主动的参与意识，自信心就慢慢培养了起来，有了学习数学的自信心就有了学习数学的兴趣，如何培养孩子这些方面的情感态度。
首先，在课堂上要充分体现以学生为主体，真正体现学生是学习的主人，创设民主、和谐的课堂氛围。在课堂上，教师不能以传统填鸭式的方式教学，要让学生通过操作、实验、交流、讨论等活动，自己经历知识的形成过程，自己总结出结论，充分体现学生自主学习、自主探索，这样慢慢的培养起学生的自主参与意识。
其次，要多给孩子鼓励，多给孩子信心，任何孩子在成长中都会犯这样、那样的错误，在数学学习中也难免如此。这时，老师不要一味地批评，因为过度地批评会让孩子失去信心，会让孩子缺乏思考的勇气，久而久之就会使孩子只学会接受，没有自己的思考和思想，更谈不上学习的自信心和兴趣了。所以，我们在教学中应该多以鼓励为主，多给孩子一些信心，相信你的学生是最棒的。
最后，我认为除了在思想、情感上多以积极的心态培养孩子外，还应该给孩子们创设学习数学的良好氛围，让孩子们在一个喜欢数学的环境中学习，受到熏染，培养孩子的兴趣。
自信心是成功的第一步阶梯，作为一个教师，有义务也有责任为这一步阶梯奠基，要让学校成为培养孩子自信心的摇篮，不要让孩子的自信心被扼杀在了摇篮里。
我要努力让自己的每节课既要注重学生知识能力的培养，又要注重情感态度的培养。
由于传统的数学教学过分注重机械的技能训练与抽象的逻辑推理，而忽视与生活实际的联系，以致于使许多学生对数学产生了枯燥无用、神秘难懂的印象，从而丧失学习的兴趣和动力。为此，我们必须摒弃过去“斩头去尾烧中段”的做法，力求做到数学源于生活，并用于生活，让学生感悟和体验到数学就在自己身边，生活中处处要用到数学，必须认真学好数学。
㈠寻求知识背景激起学生内需
小学数学中的许多概念、算理、法则等都可通过追根寻源找到其知识背景，教师在教学中要努力把数学知识向前延伸，寻求它的源头，让学生明白数学知识从何处产生，为什么会产生。
如：在教学“厘米”的认识时，一位教师让学生选择工具量一量课桌的长度，结果学生中有的说六支铅笔长，有的说五把尺长，有的说有八支钢笔长，也有的说七个信封长……这时，教师再让学生讨论交流：为什么同样的桌子量得的结果却各不相同?你又有什么想法?这样同学们就会深深地感悟到统一测量单位的`必须性。在此基础上再来教学新知，学生就会产生一种内在的学习动力。
㈡利用生活原型帮助学生建构
众所周知，数学学科的抽象性与小学生以形象思维占优势的心理特征之间的矛盾，是造成许多学生被动学习的主要原因之一。其实，佷多抽象的数学知识，只要教师善于从学生生活中寻找并合理利用它的“原型”进行教学，就能变抽象为形象，学生的学习也就能变被动为主动，变怕学为乐学。
㈢用于现实生活领略数学风采
在数学教学中，我们不仅要让学生了解知识从哪里来，更要让学生知道往何处去，并能灵活运用这些知识顺利地解决“怎样去”的问题，这也是学生学习数学的最终目的和归宿。例如：学习了“求平均数”这一知识后，便可让学生围绕“在唱歌等评比活动中，各个评委给同一参赛者打的分不一样，怎样确定其最后得分?”等实际问题思考并展开讨论;使学生通过数学在现实生活中的应用进一步体味到数学的巨大魅力。
我刚开始读这本书的时候，书的目录吸引了我，目录分为六辑：第一辑课前慎思、第二辑课中求索、第三辑课后反思、第四辑听课随想、第五辑评课心语、第六辑生活感悟。而每一辑的小标题也深深的吸引着我继续读下去，如脑袋磕破后的笑声、无意间的伤害、“下课啦”、会飞的课堂、手指尖上的智慧、风景、像农民种地那样教书、站着的眼睛等等，看到这些标题我产生了这样的疑问：脑袋磕破了还能笑得出来？下课啦有什么好写的？眼睛还能站着？带着这些疑问，我仔细阅读了这本书。
这本书的字里行间流露出华老师对教育的深刻思考，全书的六大部分既有华老师的教，也有他对别的老师上课的评；既有他教学实践的反思，也有他对人生的感悟。这是一本值得我们全体数学教师阅读的一本好书。
一、思考让课堂精彩纷呈
他的课前慎思为课堂求索的成功奠定了基础。例如：在教学“圆的`认识”中，华老师有一个固定环节：借橡皮。这个环节的设计，华老师是经过慎重思考的，他认为借橡皮有两点理由：
1、“没有橡皮，下笔会更慎重。”现在的学生很浮躁，往往不肯静下心来想好了再动笔，常常是毛手毛脚，一看就动笔，一动笔就错，一错就擦。宁静才能致远，逼学生静心思远，对学生的成长是有好处的。
2、“错了，也不白错，抓住‘她’好好欣赏，看看能从中学到些什么！”学生在学习过程中出现错误时，学生和老师总是习惯地认为是“粗心”。
其实学生做错一般都不是因为“粗心”往往是因为感知、技能和思维的缺陷。这一环节的设计正是华老师课前慎思的结果。华老师在教学这一课之前回想起自己以前在黑板上画圆时，画出的圆经常不是很圆，于是赶紧擦掉重画。为什么总是画不圆呢？他发现要么是由于圆心滑动，要么是由于圆规两脚距离的改变。他想：这不正突出了圆的特征吗？为此，他备课时就计划好，自己在黑板上画的圆不标准，不擦，而是和学生一起分析“为什么不圆。”他思考：学生不圆的作品该怎么把它们也利用起来呢？因此他就想到把学生的橡皮借过来，让他们没法擦，不圆的作品也就保留下来了。再如：华老师为执教“乘法的估算“一课搜集资料，看到一份”生活中的估算“教案，作者设计了这样一个环节：出示几个例子，让学生思考判断结果是否正确，说说为什么？例1：三年级学生小梅每天从家走到学校，一般情况下，用10分钟左右时间可走到学校。一天，数学老师问她从家到学校大约有多远，她思索了一会儿说：“也就2000多米吧。”例2：妈妈在农贸市场买了每千克8元8角的芒果4千克，摊主向她要37元2角钱。这里的例2正是华老师要搜寻的生活中的估算。在书写自己的教案时，华老师想象课堂上学生会怎么回答“摊主多要了钱！每千克芒果8元8角，不足9元钱，买4千克总共应不到36元。”“什么？摊主多要了钱？”华老师的心不由一惊：这不是在贬损摊主吗？人应该是互相尊重的！并且，如果上课班级的学生家长正是个什么摊主，学生看到这道题心里会是什么滋味？如果改成“摊主少要了钱”那么妈妈会怎么做呢？这不是又可折射出妈妈的心地善良，为人诚实嘛？因此，华老师设计了以下一段文字让学生看过后评论：妈妈在农贸市场买了每千克8元3角的芒果4千克，摊主向她要31元2角钱。这样的课前思考值得我们学习。
上个周末，我阅读了__老师的《我就是数学》。一开始我被这霸气的书名震撼了，一种好奇心油然而生。这究竟是个什么样的老师？ 为什么这么说？ 于是我迫不及待看完了这本书。结果我再次被震撼了，也被这样一个爱数学、爱教育的人吸引了。感觉到华老师已经全身心都投在了数学上，投在了教育上。华老师真的就是为数学而生。他真的就是数学。
通读完了这本书后感觉好像得到了很多经验，感觉自己面对可爱的顽皮的小学生定能应付自如了。可是当我走进课堂面对五《1》和五《2》班学生的那种渴望与好奇的眼睛时。心里真的有懂了，华老师的课之所以那样精彩，很多都来自于他在课前的慎思，课前慎思不应只是去背诵你要怎样去说，而是要把自己的想法加进去，每个班级的学情也不尽相同，只有联系学生，联系生活才能把每一节课准备好。
同时，华老师也十分注重课中的求索，就是一件小事，他也能从中受益。我认为华老师的这一举动，即显示了对学生的尊重，又对学生起到了‘润物无声’的教育，即显示了一种精神，也显示了教师的一种气势。所以我要学习这种无声的教育，为自己修炼一堂人生之课。这样才能更好的传授生给学生知识，才能更好地教学生如何做人。
在教学中，才能在与孩子交往的过程中找到接触点，尤其要站在儿童的角度去思考，毕竟他们只是孩子。从华老师那里学到了课堂上的差错可能成为正确的`‘先导’。善待差错，感谢差错。他告诉我们不能忽视学生出现的问题，课堂就是学生出错的地方，要冷静地分析，恰当地评价，灵活地纠正。华老师对于差错资源的有效利用，不仅保护了学生的学习积极性，还把‘阳光心态’传染给了我们，相信课堂因融错而精彩’！ 我要学习华老师那种教师的智慧就是要善于从学生95%错误的解答中发现那5%的正确的东西，给予热情的肯定，并积极加以引导，让学生一步一步推到那95%的错误。
最让我值得学习的就是华老师的课后反思，学生的一个错，一句话，都让他思考良久。课后他都会回想每一个教学环节，总结好的地方与不当之处，尤其是反思后的再实践，他认为再实践是对反思的检验与进一步反思的催生。当我读到这里时，甚感惭愧。回顾自己几十年的教学，在这方面相差太远。如今面对新的环境，新的学生，我要重新定位，我相信自己，构筑理想课堂的愿望将不再遥远。
读完全书，我被华老师对教育的深深热爱所感动，被他灵活的智慧，渊博的学识所叹服，被他对工作的负责，对学生的尊重所敬佩。他已经把自己看作了数学的代言人，教学的生命体。所以才会有‘我就是数学的宣言吧！
最后，我要引用华老师的话激励自己：‘教育像农业一样需要信任，需要完善，需要耐心，需要期待，需要守望，教育是农业，不是工业，更不是商业，能像农民种地那样教书，真好！
暑假读了黄先明的《高中数学学习方法》。
首先，他告诉我们高中数学学习要注意以下三点。
一、课内重视听讲，课后及时复习。重视课内的学习效率，要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，在每个阶段的学习中要进行整理与归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。
二、适当多做题，养成良好的解题习惯。从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。对于一些易错题，可备有错题集。
三、调整心态，正确对待考试。首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，在考试前要做好准备，练练常规题，把自己的.思路展开。
其次，他将初中数学与高中数学进行了比较。
1、知识差异。高中数学知识广泛，将对初中的数学知识推广与引伸，也是对初中数学知识的完善。
2、学习方法的差异。现在高考数学考察，旨在考察学生能力，避免学生高分低能，避免定势思维，提倡创新思维与培养学生的创造能力培养。
3、学生自学能力的差异。高中的知识面广，知识全部要教师训练完高考中的习题类型是不可能的，只有通过较少的、较典型的一两道例题讲解去融会贯通这一类型习题，如果不自学、不靠大量的阅读理解，将会使学生失去一类型习题的解法。
最重要的，是告诉了我们如何建立好的学习数学兴趣。
（1）课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。
（2）听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。听课中重点解决预习中疑问，把老师课堂的提问、停顿、教具与模型的演示都视为欣赏音乐，及时回答老师课堂提问，培养思考与老师同步性，提高精神，把老师对你的提问的评价，变为鞭策学习的动力。
（3）思考问题注意归纳，挖掘学习的潜力。
（4）听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的？
（5）把概念回归自然。
总结起来，高中数学学习就是要：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。
摘要：
本文简要介绍了《线性规划——数学建模的基础》这本书，详细描述了我对这本书的阅读体验和思考，并对我从中学到的重要概念、方法和原理进行了总结。
背景：
在阅读《线性规划——数学建模的基础》这本书之前，我对线性规划的理解仅限于其在经济学中的应用，如资源分配和生产计划。然而，这本书让我了解到线性规划是一种数学方法，可以用来解决各种实际问题，包括但不限于交通路线规划、最优搜索策略、库存管理、市场定价等。
深入理解：
本书强调了线性规划的重要性和实用性，并通过具体的实例和模型解释了线性规划的基本概念、方法和应用。在阅读过程中，我深感线性规划不仅仅是一种数学方法，更是一种解决问题的方式。它要求我们用数学的方式去思考问题，然后用数学的方法去解决它。这对我来说是一个全新的视角，也让我对数学有了更深的理解。
个人应用：
在日常生活中，我意识到线性规划的应用无处不在。例如，在选择交通路线时，我可以运用线性规划的方法来找到最短路径；在购物时，我可以运用线性规划的方法来制定最优的购物计划；在制定工作计划时，我也可以考虑运用线性规划的方法来提高效率。这本书让我看到了数学的应用价值，也让我更加热爱数学。
总结：
《线性规划——数学建模的基础》这本书让我深刻理解了线性规划的原理和应用，也让我看到了数学在解决实际问题中的重要性。我相信，这种思维方式将会对我未来的学习和生活产生深远的影响。