做一份好的教案，可以让老师在教学中游刃有余，显现出足够强大的自信。
一、仔细看题，认真填空（24分）
1、在15－x＝8，7×5＝35，x÷0.9＝1.8，4x，79＜8.3x，15x＝75中，是方程
有 ，是等式有 。
2、x－30＝8，那么x=( )，x÷5＝（ ）。
3学校买了8个篮球，每个x元，总共付出240元，3x表示（ ），240-4x表示（ ）。
4、小芳坐在班上的第1列、第5行，用数对表示是（ ）；小花坐的位置用数对表示是（ 2，3），他坐在第（ ）列、第（ ）行。
5、表示出下面数量间相等的关系式
（1）某班男生人数比女生人数多7人（ ）
（2）篮球的个数是足球个数的4倍（ ）
（3）梨树比苹果树的3倍多15棵（ ）
6、在（ ）里填上“＞”、“＜”或“＝”
①当a＝23时，a＋13（ ）87
②当x＝0.8时，x÷2（ ）0.4
③当y＝2时，5y（ ）100
④当x＝9.6时，x－3.8（ ）3.8
7、天平左边的盘里放2个梨，右边盘里放一个梨和3个桃，天平两边平衡。 1个梨和( )个桃同样重。
8、天平左边的盘里放一个苹果和3个梨，右边盘里放5个梨，天平两边平衡。( )个梨和一个苹果同样重。
二、认真辨析，仔细判断（10分）
1、因为5+x中含有未知数x，所以这个式子是方程。-----------（ ）
2、等式的两边同时乘或除以一个数，所得的结果仍然是等式。--------（ ）
3、在平面图上，数对（8，3）表示第8行第3列。------------------（ ）
4、含有未知数的式子是方程------------------------------------( ）
5、方程一定是等式，等式不一定是方程。---------------------------（ ）
三，选择题（10分）
1、下面式子中不是方程的是（ ）
a、24×5=3m b、2x+13=3x-16 c、15=5×6÷2
2、3个连续自然数的和是99，中间的数是x，其余两个数分别是（ ）
a、33 31 b、32 33 c、33 34 d、32 34
3、如果5个连续奇数的和是55，中间的数是n，n为（ ）
a、11 b、10 c、9 d、13
4、甲数是20，比乙数的5倍少5，乙数是（ ）
a、5 b、3 c、4
5、爸爸今年x岁，妈妈今年x-2岁，10年后，他们相差（ ）岁。
a、12 b、2 c、8
四。解方程，最后一小题请写出检验过程。（18分）
0.3 x＝7.2 x÷14＝98 0.8＋x＝9.1
x－257＝582 1.5 x＝4.5 x－105＝15
五、列方程解答下列问题。（每题7分，共28分）
1.钢琴的黑键有48个，比白键少26个。白键有多少个？
2.小红今年重36千克，比去年增加了2.5千克，她去年的体重是多少千克？
3.一种饮料有两种包装规格，大瓶容量是小瓶的5倍，大瓶容量是1.5升，小瓶容量多少升？
4、小红今年重36千克，比去年增加了2.5千克，她去年的体重是多少千克？
六、根据数量关系列出方程。（每题2分，共10分）
1.男生有x人，女生的人数是男生的1.2倍，男女生一共有440人。
2.图书馆原有图书1500套，借出x套后，又进了200套，图书馆这时有图书900套。
3.小明今年x岁，爸爸今年42岁，3年后爸爸比小明大27岁。
4.篮球每只m元，排球每只n元，学校用1200元刚好购买了8只篮球和12只排球。
5.第一根绳子长a米，第二根绳子长13米，第二根的长度比第一根的2倍还要多6米。
《一元二次方程》教案及反思
教学目标：
1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会是刻画现实世界的有效数学模型
2、理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。
3、能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
教学重点
1、一元二次方程及其它有关的概念。
2、利用实际问题建立一元二次方程的数学模型。
教学难点
1、建立一元二次方程实际问题的数学模型。
2、把一元二次方程化为一般形式
教学方法：指导自学，自主探究
课时：第一课时
教学过程：
（学生通过导学提纲，了解本节课自己应该掌握的内容）
一、自主探索：（学生通过自学，经历思考、讨论、分析的过程，最终形成一元二次方程及其有关概念）
1、请认真完成课本p39—40议一议以上的'内容；整理化简上述三个方程。。
2、你发现上述三个方程有什么共同特点？你能把这些特点用一个方程概括出来吗？
3、请同学看课本40页，理解记忆一元二次方程的概念及有关概念
你觉得理解这个概念要掌握哪几个要点？你还掌握了什么？
二、学以致用：（通过练习，加深学生对一元二次方程及其有关概念的理解与把握）
1、下列哪些是一元二次方程？哪些不是？
①②③
④x2+2x-3=1+x2 ⑤ax2+bx+c=0
2、判断下列方程是不是关于x的一元二次方程，如果是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）3-6x2=0(2)3x(x+2)=4(x-1)+7(3)(2x+3)2=(x+1)(4x-1)
3、若关于x的方程(k－3)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，则k的值是多少？
4、关于x的方程(k2－1)x2＋2(k+1)x＋2k＋2＝0,在什么条件下它是一元二次方程？在什么条件下它是一元一次方程？
5、以－2、3、0三个数作为一个一元二次方程的系数和常数项，请你写出满足条件的不同的一元二次方程？
三、总结反思：（学生总结，进一步加深本节课所学内容）
这节课你学到了什么？
四、自查自省：（通过当堂小测，及时发现问题，及时应对）
1、下列方程中是一元二次方程的有a、1个b、2个c、3个d、4个
（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、将方程－5x2+1=6x化为一般形式为____________________.其二次项是_________，系数为_______，一次项系数为______，常数项为______。
3、关于x的方程(m2－4)x2+(m+2)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程；当m__________时，是一元一次方程。
作业：必做题：习题7.1
选做题：（挑战自我）p41随堂练习
1、已知关于的方程是一元二次方程，则为何值？
2、.当m为何值时，方程(m+1)x+1+27mx+5=0是关x于的一元二次方程？
3、关于的一元二次方程（m-1）x2+x+m2-1=0有一根为，则的值多少？
4、某校为了美化校园，准备在一块长32米，宽20米的长方形场地上修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校同学参与设计，现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程，求图中道路的宽分别是多少，使图(1),(2)的草坪面积为540米2.？
一、教学目标：
1、结合具体情境，类比等式变形的过程抽象出等式的性质，了解等式性质是解方程的依据。
2、会用等式性质解形如x+5=12的简单方程。
3、培养观察、分析概括的能力。
二、课时安排：
1课时
三、教学重点：
能用等式的性质解简单的方程。
四、教学难点：
了解等式的性质。
五、教学过程
（一）导入新课
故事引入：在古代三国的时候，有人送给曹操一头大象，曹操要知道大象的重量，大臣们都不知道怎么办。这时小儿子曹冲却称出了船上石头的重量。你是怎样理解曹冲的方法的？
（板书：大象的体重=石头的`重量）
师：曹冲之所以聪明，就在于他“运用了数量之间的等量关系来解决问题”的策略。今天我们也要用他这个策略解决以下问题。
检查预习。
（二）讲授新课
探究一：学习等式性质
1、师操作：在天平两侧各放一个5克砝码。
提问：你能用一个等式表示天两边关系吗？
提问：如果在天平一边加上一个砝码，天平会怎样？要是天平不平衡，怎么办？
提问：你还能用一个等式表示吗？
教师呈现其他天平直观图，鼓励学生观察并写出等式。
全班交流，
教师总结概括出等式性质。
等式两边都加上同一个数，等式仍然成立。
师操作在刚才的基础上一个一个减砝码。
提问：你能用等式来表示吗？
提问：如果在天平一边去掉一个砝码，天平会怎样？要是天平不平衡，怎么办？
提问：你还能用一个等式表示吗？
教师呈现其他天平直观图，鼓励学生观察并写出等式。
全班交流，
教师总结概括出等式性质。
等式两边都减去同一个数，等式仍然成立。
3、教师小结：我们刚才用天平演示的等式两边同时加上或者减去同一个数，等式仍然成立，这是等式的性质。这也是我们今天解方程的依据。
（三）重点精讲。
探究二：学习解方程
师板书x+2=10问：用天平如何表示？
问：如何用刚才的知识解方程？（两边都减去2）
1、师根据学生回答板书并画出天平图。
2、师在解题示范时要注重“解”和“等于号”的书写要求。
3、交代检验方法。
4、学生试着解方程。
y-7=12 23+x=45
组内交流收获和疑惑。
小组汇报。
教师总结板书：根据等式的性质解方程。
（五）随堂检测
1、请你画图或举例说说下面这句话的意思：等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。
2、看图列方程，并解方程。
3、解方程。
略
4、看图列方程，并解方程。
略
板书设计
x+5=7 x-5= 7
解：x+5-5=7-5解：x-5+5=7+5
x=2 x=12
等式的两边同时加上或者减去同一个数，等式仍然成立。
七、作业布置
课本69页5、6题
“自学互帮导学法”课堂教学设计
课 题
解方程
课时
2课时
课 型
新授课
修改意见
教学目标
1、学会正确地写设句。
2、学会分析应用题中的等量关系。
3、会根据等量关系列出形如ax±bx＝c的方程解答应用题。
4、使学生能根据应用题的具体情况灵活选择解题方法，培养学生主动获取知识的能力和习惯。
教学重点
分析应用题中的等量关系
教学难点
根据等量关系列出形如ax±bx＝c的方程解答应用题
学情分析
解方程需要对数量关系式或等式的基本性质进行具体的分析，因此教学重点落在用数量关系式或等式的基本性质的理解上。
学法指导
自学互帮，合作学习
教 学 过 程
教学内容
教师活动
学生活动
效果预测（可能出现的问题）
补救措施
修改意见
一、复习铺垫
二、走进新课
1、理解题意
2、分析题意
3、列出方程，解方程
三、练习巩固
四、总结本课
1.师：解方程，并验算
n÷10＝768
x＋12＝100
师：计算非常准确，格式也非常正确。
2.列方程并求解
x减去15等于6；
y的2倍与3的差是15；
y与6的和是21；
8个x比5个x多45.
出示例3：小刚和大明去买一种奥运会纪念邮票。小刚买了8张，大明买了5张，大明比小刚少用6元。每张邮票多少元？
师：快速默读，边读边想这道题告诉我们哪些数学信息，要我们求什么？
师：谁来交流。
师：今天，我们就要学习用一种新方法解决问题，用方程解决问题。（板书课题：用方程解决问题）
师；你能根据题中的数学信息和问题画出线段图吗？
师：把题意分析得很准确，根据你的展示，我们可以得到一个等量关系式：小刚8张的价钱－大明5张的价钱＝相差的6元。（板书：小刚8张的价钱－大明5张的价钱＝相差的6元）
师：我们把每张邮票的价格看作标准量，可以用未知数x来表示，格式可以这样写：解设每张邮票x元。（板书：解：设每张邮票x元）你能根据这个等量关系式列出方程吗？
师：你灵活运用上面的等量关系式，把“小刚的总票价”作为等量，得到8x＝5x＋6，写出等量关系式是：小刚8张的价钱＝大明5张的价钱＋相差的6元。（板书等量关系式和方程：小刚8张的价钱＝大明5张的价钱＋相差的6元，8x＝5x＋6）
师：非常好，大家分别以“相差的6元”、“小刚的总票价”、“大明的总票价”为等量，写出了3个不同的等量关系式，并列出了方程，现在，请大家求这些方程的解。
同学们，8x＝5x＋6这道题应该先在等式两边同时减去5x，因为方程两边都有x的题我们没有学过，我就想能把5x去掉就好了，我就先在等式两边同时减5x，写成8x－5x＝5x＋6－5x，3x＝6，x＝2。这样就解出来了。像这种在方程中同时出现两次未知数x时，可以直接进行加、减，也可以运用等式的性质在等式两边同加、同减或同乘、同除。
教科书第103页试一试；练习二十中的第6、8、9题。
师：今天我们学习了解应用题的一种新方法：列方程。在列方程解应用题时我们一定要注意仔细读题，理解题意，找出等量关系式，再列方程、解方程，希望同学们在以后的学习、生活中也能经常使用这种新方法来解决我们身边的实际问题。
学生计算并验算
独立练习，大部分学生完成后指名板演，并介绍方法
生默读，并进行勾画
生：这道题告诉我们三条数学信息：小刚买8张邮票，大明买5张邮票，大明比小刚少用6元。要解决一个数学问题：每张邮票多少元？
生：老师，这道题我会做，先算大明比小刚少买几张邮票，用8－5=3（张），再算每张邮票的价钱，算式是：6÷3＝2（元）。
试一试。生独立画线段图。
试一试，写完后同桌说一说想法。
生独立完成，并且同桌交流。
生：我是这样列式的：8x－5x＝6，因为一张邮票x元，小刚买8张邮票就是8x，大明买5张邮票就是5x，所以列式为8x－5x＝6。
生：我列的方程是8x＝5x＋6。因为邮票的单价是x，小刚买8张用了8x元，大明买5张用了5x元，大明比小刚少用6元，所以只要大明的5x元加6元就等于小刚用的8x元。
生：老师，我们还可以用“大明的总票价”为等量，写出等量关系式：小刚8张的价钱－相差的6元＝大明5张的价钱。师板书：小刚8张的价钱－相差的6元＝大明5张的价钱。
我们可以列出方程为：8x－6＝5x。
生独立完成，并指名板演。
学生解方程，求出x的值
生独立完成，同桌交流。
学生无法根据题意，先列出方程，再用等量关系准确地求出了方程的解
生不能根据只知道题意设未知数，列方程。
如有学生画不来线段图
8x＝5x＋6的方程不会解。
方程中有2个未知数的计算容易出错
注意强调学生对题意的理解
引导学生进一步学习
教师巡视指导
把一张邮票的单价作为标准量，大明买了5张，就画5条相同的线段；小刚买了8张，就画8条相同的线段。大明比小刚少用6元，其实就是大明比小刚少买3张所节约的钱。
很多学生不会做，引导学生进一步学习。
师多巡视指导
板书设计
用方程解决问题
小刚8张的价钱－大明5张的价钱＝相差的6元
解：设每张邮票x元
8x－6＝5x
3x＝6
x＝2
参考书目及
推荐资料
西师版五年级下数学教科书及教学参考书
课前准备
教师准备 PPT课件
教学过程
谈话导入
师：看下面的字母，你知道它们分别是什么意思吗？
SOS EMS m2
(SOS：求助信号；EMS：中国邮政快递；m2：平方米)
字母在生活中随处可见，这说明它很重要。今天我们就来进一步巩固用字母表示数及解方程等知识。(板书课题：用字母表示数、解方程)
回顾与整理
1．用字母表示数。
(1)用字母表示数的作用和意义。
用字母可以简明地表示数、数量关系、运算定律和计算公式，为研究和解决问题带来了很多方便。
(2)我们曾经学过哪些用字母表示数的知识？
整理：
①用字母表示数的简写。
②用字母表示数量关系。
③用字母表示运算定律。
④用字母表示计算公式。
(3)常见的用字母表示的数量关系有哪些？
预设
生1：路程用s表示，速度用v表示，时间用t表示，三者之间的'关系如下：
s＝vt v＝ t＝
生2：总价用a表示，单价用b表示，数量用c表示，三者之间的关系如下：
a＝bc b＝ c＝
(4)常用的运算定律有哪些？
预设
生1：加法交换律：a＋b＝b＋a
生2：加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
生3：乘法交换律：a×b＝b×a
生4：乘法结合律：a×b×c＝a×(b×c)
生5：乘法分配律：a×(b＋c)＝a×b＋a×c
(5)常见的用字母表示的计算公式有哪些？
预设
生1：长方形的长用a表示，宽用b表示，周长用C表示，面积用S表示。
C＝2(a＋b) S＝ab
生2：正方形的边长用a表示，周长用C表示，面积用S表示。
C＝4a S＝a2
生3：平行四边形的底用a表示，高用h表示，面积用S表示。
S＝ah
生4：三角形的底用a表示，高用h表示，面积用S表示。
S＝
1.教学目标
(1)知识目标： 1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；
2.会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程。
(2)能力目标： 1.进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；
2.使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；
3.增强学生用数学的意识。
(3)情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。
2.教学重点。难点
(1)教学重点：圆的标准方程的求法及其应用。
(2)教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰
当的坐标系解决与圆有关的实际问题。
3.教学过程
(一)创设情境(启迪思维)
问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道？
[引导] 画图建系
[学生活动]:尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习)
解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径ab所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2 y2=16(y≥0)
将x=2.7代入，得 .
即在离隧道中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。
(二)深入探究(获得新知)
问题二：1.根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为 的圆的方程？
答：x2 y2=r2
2.如果圆心在 ,半径为 时又如何呢？
[学生活动] 探究圆的方程。
[教师预设] 方法一：坐标法
如图，设m(x,y)是圆上任意一点，根据定义点m到圆心c的距离等于r,所以圆c就是集合p={m||mc|=r}
由两点间的距离公式，点m适合的条件可表示为 ①
把①式两边平方，得(x―a)2 (y―b)2=r2
方法二：图形变换法
方法三：向量平移法
(三)应用举例(巩固提高)
i.直接应用(内化新知)
问题三：1.写出下列各圆的方程(课本p77练习1)
(1)圆心在原点，半径为3;
(2)圆心在 ,半径为 ;
(3)经过点 ,圆心在点 .
2.根据圆的方程写出圆心和半径
(1) ; (2) .
ii.灵活应用(提升能力)
问题四：1.求以 为圆心，并且和直线 相切的圆的方程。
[教师引导]由问题三知：圆心与半径可以确定圆。
2.已知圆的方程为 ,求过圆上一点 的切线方程。
[学生活动]探究方法
[教师预设]
方法一：待定系数法(利用几何关系求斜率-垂直)
方法二：待定系数法(利用代数关系求斜率-联立方程)
方法三：轨迹法(利用勾股定理列关系式) [多媒体课件演示]
方法四：轨迹法(利用向量垂直列关系式)
3.你能归纳出具有一般性的结论吗？
已知圆的方程是 ,经过圆上一点 的切线的方程是： .
iii.实际应用(回归自然)
问题五：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度ab=20m,拱高op=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱 的长度(精确到0.01m).
[多媒体课件演示创设实际问题情境]
(四)反馈训练(形成方法)
问题六：1.求以c(-1,-5)为圆心，并且和y轴相切的圆的方程。
2.已知点a(-4,-5),b(6,-1),求以ab为直径的圆的方程。
3.求圆x2 y2=13过点(-2,3)的切线方程。
4.已知圆的方程为 ,求过点 的切线方程。
(五)小结反思(拓展引申)
1.课堂小结：
(1)圆心为c(a,b),半径为r 的圆的标准方程为：
当圆心在原点时，圆的标准方程为：
(2) 求圆的方程的方法：①找出圆心和半径；②待定系数法
(3) 已知圆的方程是 ,经过圆上一点 的切线的方程是：
(4) 求解应用问题的一般方法
2.分层作业：(a)巩固型作业：课本p81-82:(习题7.6)1.2.4
(b)思维拓展型作业：
试推导过圆 上一点 的切线方程。
3.激发新疑：
问题七：1.把圆的标准方程展开后是什么形式？
2.方程： 的曲线是什么图形？
教学设计说明
圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。.首先，在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上，用实际问题引导学生探究获得圆的标准方程，然后，利用圆的标准方程由浅入深的解决问题，并通过圆的方程在实际问题中的应用，增强学生用数学的意识。另外，为了培养学生的理性思维，我分别在引例和问题四中，设计了两次由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力。在问题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。
本节课的设计了五个环节，以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想。应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决问题的同时锻炼了思维。提高了能力、培养了
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一、单元教材基本分析
(一)本单元教学哪些知识？教材的编排有什么特点？
方程是在学生熟悉了常见的数量关系，能够用字母表示数的基础上教学的。本单元的教学内容有：
1.方程的特征，初步建立方程的概念；
2.等式的性质，解只有一个运算符号的方程；
3.列方程解决问题的步骤和方法，解答一步计算的实际问题。全单元编排七道例题、两个练习，最后还有整理与练习。
本单元教学内容的编排有三个特点：
1. 在教学方程的特征前先认识等式。因此，教学方程从再认等式开始是必要的，符合知识之间客观存在的联系，也符合学生的学习需求。
2. 依据掌握知识的一般规律，教学方程知识先初步认识方程，再教学解方程的方法，然后应用方程解决实际问题。教材以等量关系贯通全单元，在认识方程时借助现实的相等情境写出方程，在应用方程时把实际问题的等量关系用符号化的方式抽象成方程。方程的概念随着这条主线逐渐形成。
3. 利用等式的性质解方程，这是《数学课程标准（实验稿）》规定的，有利于中小学数学的衔接。为了便于教学，把等式的性质分成两条，解方程分成两段。这样编排体现了知识由易到难，技能从会到熟，等式性质及其应用紧密结合。
(二)教材为什么用天平图创设情境？怎样教学方程的意义？
等式是一个数学概念。天平是计量物体质量的工具，它的两臂平衡或者不平衡，分别表示两端的物体质量相等或者不相等。教材多次以天平图创设情境，利用鲜明的直观形象写出表示相等的式子和表示不相等的式子，帮助学生理解式子的意思。例1写出的等式表示2个50克砝码和1个100克砝码的质量相等，例2写出的式子有的是等式，有的不是等式，尽管每个式子里都有字母x，联系天平图能体会各个式子的含义，从经验系统里提取等式的正例与反例。
教学方程的意义，要指出它的主要特征。如果让学生把例1和例2里的五个式子分类，有人可能先分成等式和不是等式两类，再把等式分成不含未知数和含有未知数两种情况；有人可能先分成不含未知数和含有未知数两类，再把含有未知数的式子分成等式和不是等式两种情况。尽管分的过程不完全一致，但最后都分出了含有未知数的等式，经过探索和交流，认识了方程的特征。
教学方程的意义，要体会它是一种数学模型。“含有未知数的等式”描述了方程的外部特征，并不是本质特征。方程用等式表示数量关系，它由已知数和未知数共同组成，表达的相等关系是现象、事件中最主要的数量关系。要让学生体会方程的本质特征。
(三)为什么用等式的性质解方程？怎样教学等式的性质和解方程？
过去，小学数学习惯于用四则计算各部分的关系解方程。中学数学用等式的性质解方程。显然，中小学关于解方程的教学长期不衔接。虽然小学阶段的教学效果不错，学生解方程的技能熟练，但只能解比较简单的方程。进入中学以后，原有的思维定势干扰了继续学习，不能适应较复杂的方程，造成中学阶段教学解方程的难点不在知识本身，而在消除原有的思维习惯。因此，《数学课程标准（实验稿）》改进了小学阶段的教学，用等式的性质解方程。
等式的性质分成两条教学，例3是等式的两边同时加上或减去同一个数，结果仍是等式。例5是等式的两边同时乘或除以同一个不是0的数，结果仍是等式。教学等式的性质，仍然用天平平衡的情境，容易体会天平两边的物体质量发生相同的变化，天平保持平衡，由此得到等式的两边进行同样的运算，结果还是等式，体现了从具体到抽象的过程。
例3从四组天平图得出四组等式，编写很有层次。每组左边的天平与等式是原来的状态，右边的天平两边添上或去掉同样的砝码，相应的等式两边加上或减去同一个数。各组天平与等式，都是等式性质的一个具体案例。第一组等式由已知数组成，后三组等式里含有字母，等式从不含有字母到含有字母，体现了性质的包摄性。前两组等式的两边加上相同的数，后两组等式的两边减去同一个数，四组等式合起来得到一条完整的性质。教材让学生在各组右边式子的括号里填数，体会两边加上或减去“同一个数”；在圆圈里填等号，体会原来等式变化后仍是等式，从而充分感知等式性质的内涵。
例5教学等式的另一条性质，编写思路与例3相同，可以让学生充分利用前面的学习经验。教学时要注意三点：一是第一组天平图的两边添上的物体与原来物体的质量相等，要把这种现象视作原来的质量乘2。第二组天平图把天平两边的物体都平均分成3份，去掉2份，剩下1份，要理解成原来的质量除以3。二是根据天平上物体的质量发生变化以及天平保持平衡，先在每组右边式子的括号里填数、圈里填等号，再把各个等式的两边进行相同的变化，结果仍是等式，抽象出等式的性质。三是让学生体会等式的两边不能除以0，把“0不能做除数”的经验迁移过来。至于等式两边都乘0，结果是0 ＝ 0，虽然也是等式，但已失去了现实意义，因而等式的两边一般不同时乘0。
本册教材不要求解未知数是减数的方程。
例4先看天平图写出方程，把解方程置于解决实际问题的情境中，体现这是解决问题的一种方法。学生能在天平图上直观地感受求正方体的质量，只要在天平的两边都去掉10克。教材中小卡通的思考是对直观思维的抽象，包括两个内容：一是为了得到x的值，要使方程的左边只剩下x；二是使方程左边只剩x的方法是等式两边同时减去10。例题示范了解方程的步骤和书写格式，其中x+10-10＝50-10是关键的一步，在初学解方程时，应要求写出这样的一步。
在学生初步掌握解方程的要领之后，为形成解方程的能力，教材做了三点安排：首先是第6题的天平两边都去掉1个梨或都去掉3个橘子，很快就能得到答案，借助图画直观地为浓缩解方程的思维过程作了铺垫。接着在第7题里让学生在等式右边填写运算符号和数，还要想想左边怎样才能只剩x，右边应该填什么，为什么，“扶”着学生简化书写过程。最后是第9题的找错与改错，防止简化书写时发生类似的错误。
应用第二条等式性质解方程，教材的编排与前面相似，也是编排了一道例题和一道“试一试”，本册教材不要求解未知数是除数的方程。
(四)本单元列方程解决哪些实际问题？怎样教学？
由于本单元只解含有一个运算符号的方程，因此只能列方程解决一步计算的问题。这些问题是相差关系、倍数关系中较难的问题，以及已知图形的面积求有关长度的问题，如果列算式解答，分析数量关系要进行连续的推理，如果列方程解答，思路比较顺畅。一个问题用什么方法解答，是由问题的数量关系决定的。在数量关系式里，如果未知数量在等号的一边，已知数量在等号的另一边，沟通了未知与已知的联系，那么列算式解答。如果等号的某一边既有已知数量，也有未知数量，那么列方程解答。本单元要让学生体会为什么列方程解题，为什么设未知数为x。这些体验是解决问题的思想方法，获得这些体验就会自觉遵循列方程解决问题的步骤。
教学例7与“试一试”，突出寻找等量关系的思维过程，利用实际问题里的相差数或倍数，从“多几（少几）”“是几倍”等概念得出等量关系。例7的等量关系在讨论中得出，“试一试”的等量关系让学生填空写出，凸现等量关系对列方程的支持作用。实际问题用图画、表格、文字等多种形式呈现，有益于形成寻找等量关系的能力。单元结束时的“整理与练习”，讨论“列方程解决实际问题是怎样想的”，自我评价“根据数量间的等量关系列方程”的学习状况，都是引导学生体验等量关系在解题中的地位与作用。
(五)与以前的教材比，本单元教材还有哪些变化？
本单元教材与过去的教材相比，还有两点变化。一是关于得数的检验。过去和现在的教材都重视检验，但是，过去注重对解方程的检验，而且十分强调格式。要把x的值代入原方程，列出等号左边的算式并算出得数；要与等号右边的数比较，写出“左边＝右边”；最后还要写出结论：x等于几是原方程的解。由于格式烦琐，用于书写检验的时间比解方程还多，因而学生把检验视作负担，被动地进行。现在的检验分两种情况，一种是检验解方程是否正确，另一种是检验实际问题的答案是否合理。例4里“把x ＝ 40代入原方程，看看左右两边是不是相等”指出了解方程的检验方法，至于检验的过程则不要求写出来。本册教材里的方程只有一个运算符号，学生会感到用口算进行检验很方便。教师要允许学生用口算进行检验，减少书写麻烦，这样才会自觉检验，形成习惯。例7的检验不是代入原方程，因为代入原方程只能检验解方程，不能检验列出的方程是否符合实际问题的数量关系。这道题要检验算得的小军跳高成绩是不是比小刚多0.06米，可以利用1.45 - 1.39、1.39 + 0.06或者1.45 - 0.06中的任何一个算式进行检验。只要结果符合题意，列方程和解方程就都是正确的。
二是本单元例4的最后只指出“求方程中未知数的值的过程，叫做解方程”，没有讲“使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解”。解方程与方程的解是两个概念，容易混淆。学生必须懂得“解方程”的意思，否则看到冠于数学习题的“解方程”还不明白要求做什么，应该怎样做。至于“方程的解”完全可以用“方程中未知数的值”代替，后者容易懂。因此，不提“方程的解”减轻了学生不必要的学习负担。
二、单元教学目标：
1、使学生在具体的情境中，理解方程的含义，初步体会等式与方程的关系；初步理解等式的性质，会用等式的性质解简单的方程，会用方程解决一步计算的实际问题。
2、使学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中，经历将现实问题抽象成式与方程的过程，积累将现实问题数学化的经验，感受方程的思想方法及价值，发展抽象思维能力和符号感。
3、使学生在积极参与数学活动的过程中，养成独立思考、主动与他人合作交流、自觉检验等习惯；获得一些成功的经验，进一步树立学好数学的自信心，产生对数学的兴趣。
三、教学重难点的认识及处理意见
1、重点：理解方程的意义，会用等式的性质解方程。
2、难点：等式性质的理解及列方程解决实际问题。
3、处理意见：
（1）列方程解决实际问题的关键是寻找等量关系，这是教学的重点，也是学生学习的难点。为此，在教学方程的意义和解方程时，利用天平图和其他图画直观形象地显示等量关系，渗透寻找和利用等量关系的思想方法。
（2）暂时不要鼓励对数量关系的发散性思考，也不要提倡列出的方程多样，确保把握和应用事件里的最基本的等量关系。这对以后的教学十分重要。
四、学情分析
方程是刻画现实世界数量关系的数学模型。本单元是在学生已经完成整数、小数的认识及其四则计算的学习，积累了较多的数量关系的只是，并学会用字母表示数的基础上进行教学的。方程作为一种重要的数学思想方法，它对丰富学生解决问题的策略，提高解决问题的能力，发展数学素养有着非常重要的意义。同时，这部分内容也是学生进一步学习数学和其他学科的重要基础。教材首先结合具体的情境，认识等式和方程，了解等式与方程的关系；探索并理解“等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式”，学会解只含有加法或减法运算的简单方程；会列方程解决一步计算的实际问题。此外教材还安排了整理与练习，帮助学生进一步理解和掌握所学内容，建立合理的认知结构。
五、对重要教学情（景）境的安排说明
1.教材第2页的试一试的第2题与练一练的第第3题在列方程时不能列成“20-12=x、16.8÷4=x”，它们虽然是方程，但仍是算术思路，不易让学生体会数量间的等量关系，对今后的教学也是有百害而无一利。
2.教材第8页的例7，结合情境图教学时，主要是能找出等量关系，当然关键还是要会解方程。且应让学生了解用方程解决问题的一般步骤是：找等量关系；写设句；列方程；解方程；检验。
六、对课内外练习的选用意见
1.教材中第2页的试一试、练一练中的第3题要让学生先口头说一说意思，然后再列方程，这样便于学生理解掌握等量关系。
2.教材第4页的练一练第1题与第6页的第7题相类似；第8页的练一练第1题与第10页的第2题相类似。目的都是让学生正确运用等式性质，体会解方程的策略和思路，理解解方程的关键步骤。
3.教材第13页的“探索与实践”一定要充分发挥学生的自主能动性，让学生在操作与观察中培养学生的创新思维。
七、单元教学课时安排建议
本单元共8课时教学，另可增加1课时进行综合检测与讲评等。具体安排如下：
第1课时：教学1-2页的例1、例2和“试一试”，完成随后的“练一练”和练习一的第1-3题。
第2课时：教学3-4页的例3、例4和“试一试”，完成随后的“练一练”和练习一的第4-6题。
第3课时：完成练习一的第7-12题。
第4课时：教学第7-8页的例5、例6和“试一试”，完成随后的“练一练”和练习二的第1-4题。
第5课时：教学第8-9页的例7和“试一试”，完成随后的“练一练”和练习二的第5-7题。
第6课时：完成练习二的第8-12题。
第7课时：指导学生“回顾与整理”，完成“练习与应用”的第1-4题。
第8课时：完成“练习与应用”的第5-7题和“探索与实践”部分的两道题。
教学目标
1.会解，并能用解简单的应用题；
2.通过代数法解进一步培养学生的运算能力，发展学生的应用意识；
3.通过解决问题的实践，激发学生的学习兴趣，培养学生的钻研精神。
教学建议
一、教学重点、难点
重点：的解法；
难点：根据实际问题中的数量关系正确地列出方程并求解。
二、重点、难点分析
解的基本方法是：将方程两边同时加上（或减去）同一个适当的数；将方程两边同时乘以（或除以）同一个适当的数。最终求出问题的解。
判断方程求解过程中两边加上（或减去）以及乘以（或除以）的同一个数是否“适当”，关键是看运算的第一步能否使方程的一边只含有带有未知数的那个数，第二步能否使方程的一边只剩下未知数，即求出结果。
列解应用题是以列代数式为基础的，关键是在弄清楚题目语句中各种数量的意义及相互关系的基础上，选取适当的未知数，然后把与数量有关的语句用代数式表示出来，最后利用题中的相等关系列出方程并求解。
三、知识结构
导入 方程的概念 解 利用解应用题。
四、教法建议
（1）在本节的导入 部分，须使学生理解的是算术运算只对已知数进行加、减、乘、除，而代数运算的优越性体现在未知数获得与已知数平等的地位，即同样可以和已知数进行加、减、乘、除运算。对于方程、方程的解、解方程的概念让学生了解即可。
（2）解，要在学生积极参与的基础上，理解何种形式的方程在求解过程中方程两边选择加上（或减去）同一个数，以及何种形式的方程在求解过程中两边选择乘以（或除以）同一个数。另一个重要的问题就是“适当的数”的选择了。通常，整式方程并不需要检验，但为了学生从一开始就养成自我检查的好习惯，可以让学生在草稿纸上检验，同时也是对前面学过的求代数式的值的复习。
（3）教材给出了三道应用题，其中例4是一道有关公式应用的方程问题。列解应用题，关键在引导学生加深对代数式的理解基础上，认真读懂题意，弄清楚题目中的关键语句所包含的各种数量的意义及相互关系。恰当地设未知数，用代数式表示数学语句，依据相等关系正确的列出方程并求解。
（4）教学过程中，应充分发挥多媒体技术的辅助教学作用，可以参考运用相关课件提高学生的学习兴趣，加深对列解简单的应用题的整个分析、解决问题过程的理解。此外，通过应用投影仪、幻灯片可以提高课堂效率，有利于对知识点的掌握。
五、列解应用题
列解应用题的一般步骤
（1）弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母（如x）表示题目中的一个未知数。
（2）找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。
（3）根据这个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程。
（4）解这个方程，求出未知数的值。
（5）写出答案（包括单位名称）.
概括地说，列解应用题，一般有“设、列、解、验、答”五个步骤，审题可在草稿纸上进行。其中关键是“列”，即列出符合题意的方程。难点是找等量关系。要想抓住关键、突破难点，一定要开动脑筋，勤于思考、努力提高自己分析问题和解决问题的能力。
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学生经历由天平上的具体操作抽象为代数问题的过程，能用等式的性质(天平平衡的道理)列出方程，对于解比较简单的方程，学生并不陌生。
比如：x+4=7学生能够很快说出x=3，但是就方程的书写规范来说，有必要一开始就强化训练，老师规范的板书，以发挥首次感知先入为主的强势效应，促进良好的书写习惯的形成。对于稍复杂的方程要放手让学生去试一试，这样就可以使探究式课堂教学进入一个理想的境界。
不难看出，学生经历了把运算符号“+”看错成了“-”，又自行改正的过程，在这一过程中学生体验到了紧张、焦急、期待，成功的感觉，这时的数学学习已进入了学生的内心，� 老师以人为本，充分尊重学生，也体现在耐心的等待，热切的期待的教学行为上，老师的教学行为充满了人文关怀的气息，微笑的脸庞、期待的眼神、鼓励的话语，无时无刻不使学生感到这不仅是数学学习的过程，更是一种生命交往的过程，学生有了很安全的心理空间，不然，他怎么会对老师说“老师，我太紧张了”，这是学生对老师的信任和自己不安的复杂情绪的表现。反思我们的教学行为，如果在课堂中多一些耐心和期待，就会有更多的爱洒向更多的学生，学生的人生历程中就会多一份信心，多一份勇气，多一份灵气。
第一课时【教学内容】课本p88-91页。【教学要求】复习用字母表示数的意义和方法，复习简易方程的概念和解方程的方法。【教学过程】学生回忆，并自由说一说关于简易方程还记得哪些知识？一、复习概念：方程、方程的解及解方程。用字母表示数的作用。判断，说说为什么？1、含有字母的等式叫做方程。（ ）2、方程是一个等式。（ ）3、含有未知数的式子叫做方程。（ ）4、x=8是方程13－0.2x=11.4的解。（ ）5、求出未知数的过程就是解方程。（ ）二、复习含有字母的式子里，数字和字母、字母和字母相乘时，中间的乘号可以记作“·”，也可省略。省略数字与字母之间的乘号时，要把数字写在字母的前面。填空。1、学校去年植树a棵，今年植树的棵数比去年的2倍少8棵，今年植树（ ）棵；如果a=30，则今年植树（ ）棵；如果今年植92棵，a=（ ）。2、一个长方形的长是a米，宽是b米。长方形的面积s=（ ）；当a=3，b=2时，长方形的面积是（ ）平方米。3、p90页练习十七1、2。4、b除12的商是12，b是（ ）。5、a=（ ）或（ ）时，a2=2a。6、甲数是乙数的—，乙数是x，则甲数为（ ）。7、12—与它的倒数的积是（ ）。（a≠0，b≠0）8、a3表示（ ）。三、复习加减乘除各部分之间的关系。 一个加数= 一个因数= 减数= 除数= 被减数= 被除数=解方程的步骤：⑴看（能先算的先算，x所处的位置）⑵想（关系式）⑶算（计算）⑷检验解方程。1、p89页第3题；p90页第3题。2、p89页第4题；p90页第4题。四、作业。p89页第2题，p90页第5题。
第二课时（简易方程）【教学内容】复习列方程解应用题。【教学要求】抓住题目的数量关系能正确列出方程，培养学生检验和验算的好习惯。【教学过程】同桌之间先交流一下，列方程解应用题的一般步骤，其中哪一步最关键？全班交流。1、完成p89页“练一练”。⑴先写等量关系。⑵找出标准量设未知数x。⑶根据等量关系列方程。注意：第3题，两个未知量，写两个设句，根据倍数关系写设句。根据和的关系写关系式，列方程。2、根据条件，写出数量关系。⑴男生比女生少3人。女生-3=男生或女生-男生=3。⑵一块地耕了3天后还剩14公顷。总公顷数-3天耕的顷数=14公顷⑶鸡蛋和鸭蛋的重量一共是90千克鸡蛋重量+鸭蛋重量=90千克⑷前5小时比后3小时多行78千米 前5小时行的-后3小时行的=783、完成p91页7—11练习题。第7题 口头讲等量关系 再选择合适的方法解答。第8题 比较3小时的数量关系，都是求“平均每车运多少吨大豆？”但数量关系上有什么不一样？第9题 口答题中的等量关系 说明标准量未知时，用方程解较好。第10题 比较3小题，有相同的数量关系。 即速度和×相遇时间=路程（货车速+客车速）×相遇时间=路程看题中已知什么，要求什么，选择适当的方法。第11题 先解题。 学生解题后，让其说一说每小题的等量关系，怎样列出相应的方程来解答的，以便沟通相互之间的联系，弄清区别。
教学目标
知识与技能
1.初步理解方程的解和解方程的含义。
2.结合图例，理解根据等式的性质解方程的方法并进行检验。
3.掌握解方程的格式和写法。
过程与方法
经历方程的解和解方程的认识过程，提高学生比较、分析的能力。
情感态度与价值观
在学习活动中，激发学生的学习兴趣，体验知识之间的联系和区别，培养检验的学习习惯。
教学重难点
重点：理解方程的解和解方程的含义。
难点：会检验方程的解。
教学工具
多媒体设备
教学过程
教学过程设计
1、复习旧知，迁移导入
(1)在上一节课的学习活动中，我们探究了哪些规律？
学生回顾天平保持平衡的规律及等式保持不变的规律。
(2)学习这些规律有什么用呢？今天我们解方程就需要充分利用等式的基本性质。
【板书课题：解方程(1)】
2、合作探究，获取新知
8.2.1教学教材第67页例1。
(1)课件出示例1。
从图中知道哪些信息？学生观察图片，交流图片数学信息。盒子中的皮球与外面的3皮个球加起来共有9个，方程怎么列？得到x+3=9
学生自己先列出方程，然后指名回答。
【板书：x+3=9】
如何解方程？要求盒子中一共有多少个皮球，也就是求等于什么，我们该怎么利用等式保持不变的规律来求出方程的解呢？
(2)出示第67页分析图示，学生观察图示，交流想法。
根据学生的汇报，板书解方程的过程：
(3)为什么方程两边同时减去3，而不是别的数？
引导学生得出结论：因为，两边减去3以后，左边刚好剩下一个x，这样，右边就刚好是x的值。因此，解方程说得实际一点就是通过等式的变换，如何使方程的一边只剩下一个x即可。
追问：x=6带不带单位呢？让学生明白x在这里只代表一个数值，因此不带单位。
(4)如何检验x=6是不是正确的答案？引导学生学习检验方程的解得方法，根据学生回答板书。
【板书】：
小结：通过刚才解方程的过程，我们知道了在方程的左右两边同时减去一个相同的数，左右两边仍然相等。利用等式的基本性质，可以帮助我们解方程。
【注意】：在书写的过程中写的都是等式，而不是递等式。
(5)认识、区别方程的解和解方程。
①使方程左右两边相等的未知知数的值，叫做方程的解，刚才，x=6就是方程x+3=9的解。而求方程的解的过程叫做解方程，刚才，想出办法求出x+3=9的过程就是解方程。
【板书】：使方程左右两边相等的未知知数的值，叫做方程的解
求方程的解的过程叫做解方程。
②方程的解和解方程这两个概念说起来差不多，但它们的意义却大不相同，它们之间的有何不同？
在小组内议一议，明确，方程的解是一个具体的值，而解方程是一个求解的过程。
③刚才我们把x=6代入方程中，得到方程左边=右边，说明x=6是方程x+3=9的解。
8.2.2教学教材第68页例2。
(1)利用等式不变的规律，我们再来解一个方程。
出示例2：解方程3x=18
怎样才能求到1个x是多少呢？
观察示意图，互相讨论，指名回答。
在方程两边同时除以3，得到x=6。
让学生打开书68页，把例2中的解题过程补充完整。
为什么两边同时除以的是3，而不是其它数呢？
两边同时除以3，刚好把左边变成1个x。
使学生明确：在方程的两边同时除以一个不为0的'数，方程左右两边仍然相等。
(2)组织学生动手检验。
(3)这是我们解方程常用的两种方法，想不想用它们来试一试呢？
8.2.3教学教材第68页例3。
(1)出示：解方程20-x=9
(2)指名学生板演，解出方程20-x=9的解。
(3)交流归纳解方程的方法。
(4)小结：等式两边加上相同的式子，左右两边仍然相等。
3、深化理解，拓展应用
(1)随堂练习。
①、完成“做一做”的第1、2题，集体评讲，强调验算。
②、思考：如果方程两边同时加上或乘上一个数，左右两边还相等吗？依据是什么？
等式保持不变的规律。
(2)拓展练习。
亮亮今年9岁，爸爸今年37岁。几年后妈妈的年龄是小华的3倍？
4、自主评价，全课总结
你觉得自己今天学会了什么？还有什么不太理解的地方？
讨论：什么时候应该在方程的两边加，什么时候该减，什么时候该乘，什么时候该除呢？
课后习题
练习十五1—5题。
板书
所以，x=6是方程的解。
使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。
求方程的解的过程叫解方程。
一元二次方程的概念
教材分析：
1.本节以生活中的实际问题为背景，引出一元二次方程的概念，让学生掌握一元二次方程的特点，归纳出一元二次方程的一般形式，给出一元二次方程的根的概念，并指出一元二次方程的根不唯一。本节内容是在前面所学方程、一元一次方程、整式、方程的解的基础上进行学习，也是后面学习二次函数的一个基础。
2.这些概念是全章后继内容的基础。
3.让学生体会数学来源于生活，又服务于生活的基本思想。
学情分析：
1.授课班级学生基础较差，学生成绩参差不齐，差生较多。教学中应给予充分思考的时间，注意讲练结合，以学生为本，体现生本课堂的理念。
2.该班级学生在平时训练中已经形成了良好的合作精神和合作气氛，可以充分发挥合作的优势，从而充分调动学生主动性和积极性，使课堂气氛活跃，让学生在愉快的环境中学习。
3.作为该班的班主任，同时又担任该班的数学教学，对学生学习情况有比较深入地了解，在解决具体问题的时候可以兼顾不同能力的学生，充分调动学生的积极性，在练习题的设计上要针对学生的差异采取分层设计的方法，着重加强对学生的双基训练。
教学目标：
一、知识与技能：
1.理解一元二次方程的概念，能判断一个方程是一元二次方程。
2.掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项。
二、过程与方法：
1.引导学生分析实际问题中的数量关系，组织学生讨论，让学生类比、抽象出一元二次方程的概念。
2.培养独立思考，合作交流学，分析问题，解决问题的能力。
三、情感态度与价值观：
1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2.激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。
3.让学生体会数学来源于生活，又服务于生活的基本思想，从而意识到数学在生活中的作用。
教学重点：一元二次方程的概念及一般形式，利用概念解决实际问题。
教学难点：
1.由实际问题向数学问题的转化过程。
2.正确识别一般式中的“项”及“系数”。
3.一元二次方程的特点，如何判断一个方程是一元二次方程。
教学过程：
一、创设情境，引入新课
1.问题1：广安区为增加农民收入，需要调整农作物种植结构，计划无公害蔬菜的产量比翻一番，要实现这一目标，和20无公害蔬菜产量的`年平均增长率是多少？(通过放幻灯片引入)
设无公害蔬菜产量的年平均增长率为x，20的产量为a(a≠0)，翻一番的意思就是a变为2a,那么
(1)用代数式表示20的产量；
(2)年蔬菜的产量比年增加了2x，对吗？为什么？你能用代数式表示出来吗？
学生思考交流得出方程a(1+x)2=2a
整理得，x2+2x-1=0…………①
2.通过幻灯片引入情境，提出问题：
问题2：广安市政府在一块宽200m、长320m的矩形广场上，修筑宽相等的三条小路(两条纵向、一条横向，纵向与横向垂直)，把矩形空地分成大小一样的6块，建成小花坛，要使花坛的总面积为57000m2，问小路的宽应为多少？
设小路的宽为x m，则横向小路的面积如何表示？纵向的呢？重叠部分的面积是多少？小路所占的面积用x的代数式如何表示？
这个问题的相等关系是什么？
320×200-(320x+2×200x-2x2)=57000
整理得x2-36x+35=0
谁还能换一种思路考虑这个问题？
把6个小花坛拼起来是一个多长多宽的矩形，由此你会得出什么样的方程？
(320-2x)(200-x)=57000
整理得x2-36x+35=0…………②
比较一下，哪种方法更巧妙？
3.通过幻灯片引入情景。问题3：广安重百商场销售某品牌服装，若每件盈利50元，则每月可销售100件。若每件降价1元，则每月可多卖出5件，若每月要盈利6000元，则商场决定每件服装降价多少？
设每件降价x元，则现在的盈利为(50-x)元，降价后销售量为(100+5x)件。可列方程为：(50-x)(100+5x)=6000
一、教材分析
教材的地位和作用
《等式的性质的应用》是义务教育课程标准实验教科书数学七年级上册“3.1.2”的第二节课。学生在学习了等式的性质的基础上，对知识的拓展，使等式的性质与解方程结合起来，它有助于引导学生利用等式的性质研究方程的解法。在本节的教学中，主要为解方程的“合并同类项”“移项”“除以未知数的系数”等知识做好铺垫的。
二、教学目标分析
学情分析 学生已经掌握了一步计算的方程，不过他们利用是四则运算各部分间的关系来解方程的。学习等式的性质，是对解方程思路的一种转变。并且会用等式的性质也能熟练的解简单的方程。
根据新课程标准的理念以及前面对教材、学情的分析，我制定了如下教学目标。
知识与技能目标：
（1）熟练应用等式的性质解方程；
（2）学会观察、分析，使逻辑思维能力得到提高。
过程与方法目标：
通过自主预习、合作探究、小组交流方式让学生经历用等式的性质解方程的探究过程，并体验用等式的性质解方程的新颖与知识的应用过程。
情感态度与价值观目标：
培养学生实事求是的学习态度，渗透与他人交流、合作的意识，并能学会用联系的观点看待问题。
教学重难点分析
教学重点：运用等式的性质
教学难点：运用等式的性质解方程
本课在设计上以低起点，小台阶，循序渐进，符合学生接受知识的特点，培养学生灵活性，使他们获得成功的满足感。并通过逐步深入的课堂练习，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。
三、教学方法与教学策略
课程标准指出：学生掌握知识有一个过程，要在学生初步理解的基础上，通过必要的练习来加深理解，逐步掌握。同时，通过练习，把知识转化为能力。本节课主要以自主─合作─探究，归纳─总结─应用为主线， “以学生活动为主导，教师讲述为辅，学生活动在前，教师点拨评价在后”的原则，并通过“三学小组”活动来实施。
以小组为单位，由小组长组织在小组内互学后进行小展示，各小组在小组内展示结束后，由组内推荐在班内进行大展示，组间质疑、指导及互评，加深学生对所学知识的理解。
整个学习过程注重激发学生的思维，使他们积极主动地参与学习活动，达到明“理”知“法”。并且在设计练习时注重以充实、有效的练习活动为载体，让学生探究掌握学习内容，体验领悟数学的思想和方法，发展学生学习数学的积极情感。
四、教学过程分析
1.创设情境，独立自学
（设计意图：以简单的方程入手，让学生用熟悉的解题方法引入新课，有效激起对知识的回顾，初步感知等式的性质与方程的联系，有效调动学生的学习兴趣。）
2、自主探索，合作互学
学生自学课本82页内容，以小组为单位完成以下问题：
（设计意图：在学生充分思考和讨论后，每个小组派出代表汇报结果，再通过倾听其他小组意见的发现自己的不足，在此过程中，教师要倾听，给予敢于表达自己观点的学生予以鼓励性评价。通过上述活动，逐步学会运用等式性质来解方程能力。）
3、尝试练习，展示竞学
（设计意图： 尝试练习是学生学习知识后，对知识初步应用的体验，在尝试学习中，能使每个学生都积极动脑思考，认真自学，挖掘每个学生的潜能。在尝试学习中，学生的练习或多或少有一些错误、疑惑，甚至是错误，此时根据学生的难点进行点拔，会起到很好作用。）
4、范例解析，精讲导学
（设计意图：通过这一步学习，进一步检测学习对知识的应用情况。）
5、小结评学
6、检测固学
五、评价分析
本节内容并不多，通过对等式的性质的应用，体验了与方程的关系，加深对已经学习过的内容的认识，并且初步感知对等式的性质的应用的优越性。本节课的设计遵循学生的认知规律，让学生通过的动口、动脑、动手的主动探究，经历知识的产生、发展、形成与应用的过程，重在培养学生观察、分析、抽象概括的思维能力
本节课体现了学生主体、教师主导的地位，多数时间让学生自己去探究，当学生敢于表述自己的观点时，及时予以鼓励性评价。
第一课时 教学内容：教科书第1～2页，例1、例2、试一试、练一练，练习一第1～3题。 教学目标： 1、认识等式，以具体的实例引导学生通过自主的探索活动，初步理解等式的特征。 2、通过观察比较，使学生认识到含有未知数的等式是方程，感受等式与方程的联系与区别，体会方程是特殊的等式。 教学重点：理解等式的性质，理解方程的意义。 教学难点：利用等式性质和方程的意义列出方程。 教学准备：多媒体课件 教学过程： 一、情景引入 1、出示天平。 知道这是什么吗？你知道它是按照什么原理制造的吗？ 说说你的想法。 如果天平左边的物体重50克，右边的放多少克才能保持天平的平衡的呢？ 二、教学新课 1、教学例1。 （1）出示例1图。 你会用等式表示天平两边物体的质量关系吗？把它写出来。 50＋50＝100 （板书） 说说你是怎样想的？ （2）指出等式的左边，等式的右边等概念。 等式有什么特征？（等式的左边和右边结果相等；等式用等号连接） 能说说什么样的式子叫做等式吗？（左右两边相等的式子叫做等式） 2、教学例2。 （1）出示例2图。 天平往哪一边下垂说明什么？（哪一边物体的质量多） 你能用式子表示天平两边物体的质量关系吗？ 学生独立完成填写，集体汇报。 板书：x＋50>100 x＋50＝150 x＋50<200 x＋x＝200 如果让你把这四个式子分类，应分为几类？为什么？ 指出：左右两边相等的式子就叫做等式，而这些等式与前面所看到的等式又有什么不同？（等式中含有未知数） 知道像x＋50＝100，x＋x＝100这样的等式叫什么吗？（方程） 说说什么是方程？你觉得这句话里哪两个词比较重要？（含有未知数、等式） （2）讨论：等式与方程有什么关系？ 小组讨论。 指出：方程一定是等式，但等式不一定是方程。
方程是特殊的等式。他们的关系可以用集合圈表示。
3、教学“试一试”。 独立完成，完成后汇报方法。 让学生说一说，每题中的方程哪个更简洁一些？ 指出：像500÷2＝x，20－12＝x虽然也是方程，但在列方程时应尽量避免这样x单独在等号左边或右边的方法。 4、完成“练一练。 （1）完成第1题。 独立完成判断后说说想法。 （2）完成第2题。 （3）完成第3题。 交流所列方程，说说你为什么这样列？你是怎么想的？ 三、巩固练习 1、完成练习一第1题。 能说说每个线段表示的意思吗？方程怎样列呢？ 小组中交流列式。 2、完成练习一第2题。 理解题意，说说数量关系是怎样的？ 列出方程并交流。 3、完成练习一第3题。 四、课堂总结 通过学习，你有哪些收获？ 板书设计： 方程 50＋50＝100 x＋50>100 x＋50＝150
等式 方程 x＋50<200 x＋x＝200
教学目标：
1.系统地掌握有关用字母表示数、方程的基础知识，并用方程解决生活中的实际问题。
2.培养和提高学生的学习能力。
教具准备：
自制幻灯片课件。
教学过程：
一、创设情境。
1.（课件出示）学校买来个9足球，每个a元，买来b个篮球，每个58元。
2.让学生根据出示的信息，提出数学问题。
学生可能提出以下问题
（1）9个足球多少钱？
（2）b个篮球多少钱？
（3）篮球的单价比足球的单价多多少钱？
（4）篮球和足球一共多少钱？
3.学生说出怎样表达这些问题的结果。（教师板书）
4.引导学生观察黑板上的式子，看一看有什么特点？
二、系统整理
1.提问：我们除了学过用字母标示数量关系外，还学过用字母表示什么？
（让学生以小组为单位，合作整理学过的运算定律和计算公式。）
2.引导学生交流小组整理的结果。教师板书
a+b=b+a v=sh
a+（b+c）=（a+b）+c v=abh
a×b=b×c s=ab
a×（b×c）=（a×b） ×c s=ah
a×（b+c）=a×b+a×c ……
运算定律 计算公式
3.在书写数字与这字母相乘、字母与字母相乘时，应注意什么？
完成84页上做一做的内容。
4.启发学生谈一谈，用字母表示数、表示数量关系有什么作用？
5.在用字母表示数的过程中，我们黙认“x”表示什么样的数？
6.让学生填空：含有未知数的等式叫做（ ）
求“x”值的过程叫做（ ）
7.让学生说说解方程的依据是什么？
8.学生解方程并订正结果。
9.通过列方程和解方程，可以解决很多生活中的实际问题。下面请同学们看屏幕。
10.（课件出示）学校组织远足活动。计划每小时走3.8千米，3小时到达目的地。实际2.5小时走完了原定路程，平均每小时走了多少千米？
11.学生独立解决问题，教师课堂巡视，了解学生解决问题情况。
12.班内交流结果。并让学生将解题过程演板。
13.谈一谈在用方程解决问题的过程中，应注意什么？
三、归纳小结。
1.让学生说一说这节课我们对哪项知识做了复习和整理？
2.师：有一部分同学在解题的过程中，不习惯用方程解，老师建议大家，为了更好的与中学接轨，要多尝试用方程解，而且你一定会领悟到方程得简明和方便。
四、实践应用。
1.完成85页练习十五的习题。
2. 填空
（1）小华每分钟跑a米，6分钟跑（ ）米。
（2）三个连续的偶数，中间一个是M，另外两个是（ ）和（ ）。
（3）用字母表示三角形的面积计算公式是（ ）。如果a=4厘米，b=3厘米，则三角形的面积是（ ）。
（4）老王今年a岁，小林今年（a-18）岁，再过18年，他们相差（ ）岁。
（5）一堆煤，有a吨，烧了6天。平均每天烧b吨，还剩（ ）吨。
2、判断
（1）含有未知数的式子叫方程。（ ）
（2）方程一定是等式，等式一定是方程。（ ）
（3）6x=0是方程。（ ）
（4）因为a×6可以写成a·6,所以7×6可以写成7·6。（ ）
3、下面的式子中，哪些是方程？
（1）5x （2）6x+1=6
（3）15-3=12 （4）4x+1＜9
4、解方程
2x+9=27 x-0.5= 8+0.3x=14
8x-3×9=37 22.3x+11x=66.6 x- x=12
（要求学生以竞赛的形式进行计算）
5、趣味数学城
（1）、一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿。
两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿。
三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿。
四只青蛙四张嘴，八只眼睛十六条腿。
N只青蛙（ ）张嘴，（ ）只眼睛（ ）条腿。
教学困惑讨论：为什么解方程时要“绕圈”？
在解方程：x-6=3时，有的教材用到下面的方法：
解：x-6=3
x-6+6=3+6
x=3+6
x=9
对于上面步骤中的“x-6+6=3+6”有的老师不理解，为什么解方程要绕圈。
有一种说法：“四则运算走不远，要走代数化，要用方程处理运算。平面几何走不远，也要代数化，走解析几何的路子。”这一种说法，至少给我们一个这样的信息。用四则运算解方程和用代数方法解方程所用的处理思路或说其中的数学思想是不同的。而这里的不同并不仅仅是指所处理的问题的范围或说是能处理的问题的复杂程度之间的差异。
在解方程时是用算术法解还是用代数的方法来解，我们大多关注的是思维的方法和依据，是逆向思维还是顺向思维，是用到的等式性质还是四则运算的关系。我想除了这些不同之外，还有以下的不同。
1.对“＝”号的理解。
2.对未知数的理解。
先说“＝”号。
“＝”号表示什么意思？2＋3＝5，表示2与3的和是5，表示2加上3的答案是5，这里的“＝”号是表示运算的结果，表示答案。我们很少说“＝”号表示相等，即使说“相等”也常常是指2与3的和与5是相等的。很少再做进一步的发展。
仔细看一下解方程的过程，我们会发现，“＝”号的意义在这里已有了变化。它主要是指两边的部分相等。这种相等多了平衡、配平的意味。我们是把“＝”号连同它的两边看成是一个整体，是一个等式，就象达到平衡状态的一架天平。运算、结果已变得不再重要，只要它们两边相等，能平衡就行。——而这种发展，学生是很难一下子理解到的，又需要一个过程。
对于未知数的理解。
有的教材中处理时用“□”表示未知数，有的用“○”，有的用x,y,z,a,b,c…等等，我们说这都是形式，不是实质。形式是容易学的，是容易模仿的，而实质是需要理解的。那么，这里的实质是什么？是把x当成是一种数，是一种超出一般的、不同于具体的数的数，它可以代表任何的一个数，与2,3,6,这些具体的数更有一般性。说了这一堆，还是难理解。我们还是看学生在用算术法和用代数法解方程时对待未知数的不同。
用代数法解：
x-6=3
x-6+6=3+6
x=3+6
x=9
在这个解法中，我们不关注x，关注的是如何把与x不同的“6”（或者说“-6” ）处理掉，x是什么数，我们不去管。它就是一个可以参与运算的数，至于是多少，它在什么位置，与其他的数有什么关系，我们不去想，不在它身上劳神费力。在这种解法中，我们更关注的是x与其他数在形式上的不同。
再看用算术法解：
x-6=3
x=3+6
x=9
我们关注的是x，6,3这三个数涉及到什么运算，它们三个数有什么关系。要关注三个数的关系，至于x是被减数还是减数则一定要看清楚，否则会出大错。在这里，我们自始至终是把x当成和6,3一样的具体的数来看的。在这种解法中更多关注的是x与其他数的相同点。
最后再说一点，课标要求是“会用等式的性质解简单的方程(如3x+2＝5，2x-x＝3)”，对于 x-6=3型的方程我们可以让学生用算术方法去解。愿意用方程去解也可以，处理x-6+6时可以这样想，x这个数减去6再加上6等于没有变化，所以还是x。
其实，上面说了许多话，是说为什么学生理解解方程这么难的，没有正面回答为什么解方程要“绕圈”。有关方程解法的问题，王永老师有一篇文章，记得是发表在《小学青年教师》上，可以参考。
教学内容：
教科书58页例1。
教学目标：
1、结合图例，根据等式不变的性质，学会解简易方程。
2、掌握解方程的书写格式，并能用代入法进行检验。
3、提高学生的分析、理解能力，同时渗透函数的思想。
教学重点：
掌握解方程的方法和书写格式。
教学重点：
掌握解方程的方法。
教具准备：
可见、平台
教学过程：
一、复习。
1、提问：什么是方程？
2、判断下面各式哪些是方程？
略
3、后面括号中哪个x的值是方程的解？
（1）x+42=98（x=57，x=135）
（2）5.2-x=0.7（x=4.5，x=8.8）
4、等式的性质是什么？（方程两边同时加减或乘除同一个数（0除外），左右两边仍然相等）
5、导入：今天，我们就利用等式的性质来解方程。
板书课题：解方程
二、新课学习。
1、出示例1的图
（1）问：你们猜盒子里装的是什么？（皮球）问：从图中你获取了哪些信息？
（盒子里有x个皮球和外面3个皮球等于9个皮球）
（2）请学生根据关系列出式子。
板书：x+3=9
（3）问：怎样解这个方程呢？（出示课件）
（4）师：我们可以用天平保持平衡的道理来帮助解方程。
（5）看课件演示
问：要使天平左边只剩下“x”而还能保持平衡，该怎么办呢？
（6）学生思考后回答。
（7）演示课件
教师一边演示一边在黑板写出：x+3-3=9-3
（8）师生小结：方程两边同时减去同一个数（3）
（9）问：为什么要减3，减2可以吗？学生回答
（10）天平两边同时减去同一个数，天平两边还平衡吗？
出示课件，学生回答：平衡
师板书：左右两边仍然相等
（11）那么天平左边剩下x右边剩下6个球，x=6是不是正确的答案呢？我们来验算一下（师在黑板板演验算过程）
2、小结：今天，我们利用了什么知识来解方程？（等式的性质）在解方程
的过程中我们还要注意些什么呢？（我们要注意书写格式，等号要对齐，注意：x=6表示一个数值，后面不能带单位，解方程要用代入法检验一下方程的解是否正确。）
3、质疑：看书58页，还有什么不明白的地方？
（通过练习测试学生的'掌握程度）
三、练习。
1、出示课件：第59页做一做的第一题中的第一个图：列方程解答并验算
（1）学生独立完成，师巡视。
（2）指名学生板演，并说说如何解答的？
2、加法会解了，那么减法又怎样做呢？我们来挑战一下。
（1）课件出示：x-2=15小组讨论完成
（2）投影学生的计算结果，让学生说出解题思路。
3、我最棒
略
4、找朋友
略
5、拓展
x-0.5=3+1.9
四、作业
数学课本63页练习十一的第5题中的前四题。
教学目标：
1、初步学会如何利用方程来解应用题
2、能比较熟练地解方程。
3、进一步提高学生分析数量关系的能力。
教学重难点：
找出题中的等量关系，并根据等量关系列出方程。
教学过程：
一创设情景，提出目标
1：出示洪泽湖的图片——洪泽湖是我国五大淡水湖之一，位于江苏西部淮河下游，风景优美，物产丰富。但每当上游的洪水来临时，湖水猛涨，给湖泊周围的人民的生命财产带来了危险。因此，密切注视水位的变化情况，保证大坝的安全十分重要，如果湖水到了警戒水位的高度，就要引起高度警惕，超出警戒水位越多，大坝的危险就越大。下面，我们来就来看一则有关大坝水位的新闻。谁来当主持人，为大家播报一下。
“今天上午8时，洪泽湖蒋坝水位达14.14m，超过警戒水位0.64m.”
2、我们结合这幅图片来了解警戒水位、今日水位，及其关系。
3、提出学习目标：同学们能解决这个问题吗？你还想知道什么？
（1）根据已知条件，找出题目中的数量关系。
（2）根据具体找出的数量关系列出方程，并正确解方程。
【设计意图：从生活实例激发学生的学习兴趣。简洁提出目标让学生明白知识点。】
二展示成果，激发冲突
1、学生独立解决例3、例4，小组内个人展示。
小组内展示内容主要有例3、例4：
（1）根据刚才所了解的信息，这个问题中有哪几个关键的数量呢？（警戒水位、今日水位、超出部分）
（2）它们之间有哪些数量关系呢？
2、全班展示
（1）第一种，学生根据的是“警戒水位+超出部分=今日水位”这一数量关系（由于左右相等，也称等量关系）所得到的：x+0.64=14.14
引导质疑：还有不同的方法列方程解吗？（以此引出第二、第三种方法： 14.14﹣x= 0.64与14.14﹣0.64=x）
学生：第二种，可以肯定学生所列的方程是正确的，但方程不容易解，为什么呢？因为x是被减去的。
学生：第三种，可让学生让算术解法与之作比较，让其发现，大同小异，因此，在列方程的过程中，通常不会让方程的一边只有一个x。
师：在解决问题中，我们是怎样来列方程的？（将未知数设为x，再根据题中的等量关系列出方程。）
（2）展示例4，其他学生自由提出疑问，教师辅导解释。
【设计意图：教师始终把学生放在主体地位，为学生提供了一个自己去想去说，去回味知识掌握过程的舞台，这样将更有助于学生掌握正确的学习方法，总结失败原因，发扬成功经验，培养良好的学习习惯。】
三 拓展延伸
1：p61页“做一做”的题目
2：独立完成练习十一中的第6、8、9题。
【设计意图：通过联系，加强学生对知识的系统化，及时有效地巩固知识】。
教学目标
1.使学生初步学会 这一类简易方程的解法。
2.理解这类方程的格式。
3.进一步掌握解方程的格式。
教学重点
掌握解 这一类方程的解法。
教学难点
理解这一类方程的算理。
教学步骤
一、复习引入
（一）复习方程的意义。
1.什么叫方程？
2.什么叫解方程？
（二）用方程表示下面的数量关系。
1. 与4的和等于40.
2. 的3倍等于40.
3. 的3倍加上4等于40.
二、新授教学
（一）教学例2
例2.看图列方程，并求出方程的解。
1.读题，理解题意。
2.分析图意，找等量关系。
3.教师提问
（1）观察图形你都知道了什么？
（2）3盒零4支和多少相等？
（3）怎样列方程？
4.列方程并解答。
（1）教师板书：
（2）教师提问：要想求每盒彩色笔多少支，应当先求什么？解这个方程要先算一步？
（3）教师说明：要把 看作是一个数。即； ，加数等于和减另一个加数，
那么 .
5.学生独立解答。
6.集体订正，板书全部解题过程。
解： （根据加数＝和－另一个加数）
（根据因数＝积÷另一个因数）
检验：把 代入原方程，
左边＝3×12＋4＝40，右边＝40，
左边＝右边，
所以 是原方程的解。
7.小结：解这样的方程，关键是要把 看作是一个数，先求出 ，再求出 得多少。
8.练习：
（二）教学例3
例3.解方程
1.思考
（1）例3与例2有什么相同点？有什么不同点？
（2）应该先算什么，再算什么，最后算什么？
2.学生独立解答，集体订正。
3.小结：解这一类方程，要先根据四则运算的顺序，把方程中包含的计算算出来，再
把 与因数的积看成是一个数，根据四则运算各部分间的关系一步步求出解。
4.练习：解方程
三、课堂小结
今天你学习的解方程与以前所学的解方程有什么不同？
四、巩固练习
（一）口头解下列方程，并说出每一步的根据。
1.
2.
（二）解下列方程，并检验。
1.
2.
3.
（三）在0.5、1.5、2.5、3.5、4这五个数中，
哪个数是方程0.5 －1.5＝0.5的解？
哪个数是方程22×0.5－2 ＝4的解？
思考：怎样做比较简单？
五、课后作业
解方程
1.
2.
3.
六、板书设计
解简易方程
例2.看图列方程，并求方程的解
教案点评：
新授部分注意了新旧知识之间的联系与区别，抓住关键，提出具体思考价值的问题，引导学生讨论，在初步理解的基础上进行试做，再通过看书学习，讲清道理，使学生透彻的理解。
练习中注意专项练习与综合练习相结合，有利于学生掌握本课的重点，合理组建知识结构。
第一单元《方程》单元练习讲评
主备人：孙丽萍
教学内容：
讲评单元练习卷及进行补充练习
教学目标：
1、进一步理解并掌握形如ax±b=c、ax÷b=c和ax±bx=c等方程的解法；能在具体情境中应用上述方程解决相关的两、三步计算的实际问题；会对列方程解决问题的过程进行检验。
2、能在列方程解决实际问题的过程中，主动进行分析、比较、抽象和概括；能有条理地表达列方程解决实际问题的思考过程，抽象能力和符号感得到相应的发展。
3、应用方程的思想方法解决实际问题的意识进一步增强；能利用画图、列表的方法理解有关的实际问题，感受解决问题策略的多样性；能主动反思列方程解决问题的过程，并适当解释结果的合理性。
4、乐于与他人合作交流；进一步培养自觉检验的习惯；获得一些成功的体验，并进一步树立学好数学的自信心。
教学对策：
请学生分析自己的练习情况，反思存在问题，思考如何改进；教师适当点拨、引导、帮助，及时鼓励。
教学准备：
投影片或小黑板
教学过程：
一、单元练习情况分析
1、教师向学生分析班级总体练习情况，及时表扬有关学生并指出存在问题。
2、学生同桌交流自己练习中存在问题及原因，思考如何应对。
3、教师选择较普遍的问题进行解析，主要是以下题目：
（1）三个连续的偶数，最小一个是a，另外两个分别是（ ）、（ ）。
（2）京、沪线全长s米，火车从北京开往上海，每小时行v千米，用了t小时到达。写出表示时间的式子（ ）。
（3）已知小方的票数是小明的3倍，如果小方有邮票x张，那么小明有邮票（ ）张；如果小明有邮票y张，那么小方有邮票（ ）张。
（4）解方程：17.2╳3-10x=9.6 、5x÷15=15
（5）列方程解决实际问题：
a.一个房间用方砖铺地，如果用面积是0.09平方米的方砖需要480块，现在改用边长0.4米的方砖，需要多少块？
本题主要引导学生分析用不同规格的方砖铺地是什么没有变，根据哪个等量关系来列方程。
b.去年爸爸比小明大25岁，明年爸爸的年龄是小明的6倍。今年爸爸和小明各多少岁？
本题主要引导学生分析两人的年龄差一直不变，所以再根据明年两人年龄之间的倍数关系可以先列方程求出明年爸爸和小明的年龄，最后求今年爸爸和小明的年龄各是多少。
c.小红和小强进行跑步练习，小红每秒跑6米，小强每秒跑8米。如果小强站在200米跑道的起点处，小红站在他前面50米处，两人同时同向起跑，几秒后小强追上小红？
本题主要引导学生分析当小强追上小红时，两人所跑的路程之间存在怎样的关系，理解小强追上小红时比小红多跑了50米。
二、补充练习
1、解方程。
1.5x+14÷5.6=37 7x-5.8x=7.9-4.6 x-0.25x=0.3 32+6x=50
2、列方程解决实际问题（先说出每题的数量关系再列方程解答）。
（1）小光的储蓄罐里现有18元，如果他每周放进储蓄罐3元，多少周后储蓄罐里共有45元？
（2）京杭大运河全长1794千米，比苏伊士运河全长的10倍还多74千米。苏伊士运河全长多少千米？
（3）青山小学组织学生植树。六年级植树的棵数是四年级的3倍，六年级比四年级多植树24棵。两个年级各植树多少棵？
（4）今年妈妈比小红大25岁，去年妈妈的年龄是小红的5倍，明年妈妈和小红各多少岁？
课后反思：
今天的数学课上，我推心置腹地和两个班的学生进行了谈话，内容关于本次单元练习的情况分析。在六（4）班里，我用鼓励的话语表扬了学生们，对他们取得的成绩表示肯定，同时又指出他们还存在的问题，希望他们积极改进。走进六（1）班，我用很诚恳的语气和学生们进行交流，希望他们把自己的聪明才智用在学习上并下决心改掉身上的不良习惯，奋起直追赶上六（4）班。
由于课前我认真分析了学生练习中存在的普遍问题，所以课堂上我组织学生围绕错误较多的问题进行了讨论，要求学生思考自己在练习过程中出现的错误原因是什么，该怎样正确思考。用了整整一节课的时间对这次练习进行了较为详细的讲评，随后学生认真进行了订正，从订正情况看，课堂上听课效率还算不错。
两个班中都有几位学习特别困难的学生，这几天需要和他们的家长及时取得联系，沟通一下，让家长及时了解开学一周来孩子的学习状况，一起来探讨孩子的教育问题。
教学目标：
1、会用代入法解二元一次方程组
2、会阐述用代入法解二元一次方程组的基本思路——通过“代入”达到“消元”的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。
此外，在用代入法解二元一次方程组的知识发生过程中，让学生从中体会“化未知为已知”的重要的数学思想方法。
引导性材料：
本节课，我们以上节课讨论的求甲、乙骑自行车速度的问题为例，探求二元一次方程组的解法。前面我们根据问题“甲、乙骑自行车从相距60千米的两地相向而行，经过两小时相遇。已知乙的速度是甲的速度的2倍，求甲、乙两人的速度。”设甲的速度为X千米/小时，由题意可得一元一次方程2（X＋2X）＝60；设甲的速度为X千米/小时，乙的速度为Y千米/小时，由题意可得二元一次方程组 2（X＋Y）=60
Y=2X 观察
2（X＋2X）＝60与 2（X＋Y）=60 ①
Y=2X ② 有没有内在联系？有什么内在联系？
（通过较短时间的观察，学生通常都能说出上面的二元一次方程组与一元一次方程的内在联系——把方程①中的“Y”用“2X”去替换就可得到一元一次方程。）
知识产生和发展过程的教学设计
问题1：从上面的二元一次方程组与一元一次方程的内在联系的研究中，我们可以得到什么启发？把方程①中的“Y”用“2X”去替换，就是把方程②代入方程①，于是我们就把一个新问题（解二元一次方程组）转化为熟悉的问题（解一元一次方程）。
解方程组 2（X＋Y）=60 ①
Y=2X ②
解：把②代入①得：
2（X＋2X）＝60，
6X＝60，
X＝10
把X＝10代入②，得
Y＝20
因此： X＝10
Y＝20
问题2：�
上面两个二元一次方程组求解的基本思路是：通过“代入”，达到消去一个未知数（即消元）的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解二元一次方程组的方法叫“代入消元法”，简称“代入法”。
问题3：对于方程组 2X＋5Y＝－21 ①
X＋3Y＝8 ② 能否像上述两个二元一次方程组一样，把方程组中的一个方程直接代入另一个方程从而消去一个未知数呢？
（说明：从学生熟悉的列一元一次方程求解两个未知数的问题入手来研究二元一次方程组的解法，有利于学生建立新旧知识的联系和培养良好的学习习惯，使学生逐步学会把一个还不会解决的问题转化为一个已经会解决的问题的思想方法，对后续的解三无一次方程组、一元二次方程、分式方程等，学生就有了求解的策略。）
例题解析
例：用代入法将下列解二元一次方程组转化为解一元一次方程：
（1）X＝1－Y ①
3X＋2Y＝5 ②
将①代入②（消去X）得：
3（1－Y）＋2Y＝5
（2）5X＋2Y－25.2＝0 ①
3X－5＝Y ②
将②代入①（消去Y）得：
5X＋2（3X－5）－25.2＝0
（3）2X＋Y＝5 ①
3X＋4Y＝2 ②
由①得Y＝5－2X，将Y＝5－2X代入②消去Y得：
3X＋4（5－2X）＝2
（4）2S－T＝3 ①
3S＋2T＝8 ②
由①得T＝2S－3，将T＝2S－3代入②消去T得：
3S＋2（2S－3）＝8
课内练习：
解下列方程组。
（1）2X＋5Y＝－21 （2）3X－Y＝2
X＋3Y＝8 3X＝11－2Y
小结：
1、用代入法解二元一次方程组的关键是“消元”，把新问题（解二元一次方程组）转化为旧知识（解一元一次方程）来解决。
2、用代入法解二元一次方程组，常常选用系数较简单的方程变形，这用利于正确、简捷的消元。
3、用代入法解二元一次方程组，实质是数学中常用的重要的“换元”，比如在求解例（1）中，把①代入②，就是把方程②中的元“X”用“1－Y”去替换，使方程②中只含有一个未知数Y。
课后作业：
教科书第14页练习题2（1）、（2）题，第15页习题5.2A组2（1）、（2）、（4）题。
活动内容：关于方程教学中的一些问题。
1.方程如何进行验算，本组教师之间相互达成一致。
2.对未知数在方程中的减数的位置和除数的位置中出现的情况，是否要进行一定的教学辅导。因为教材中的解方程是用等式的性质来完成的而不是应用三者关系来解的，因此教材中不出现未知数在减数的位置和除数的位置上的方程。但是在实际问题解决的时候，学生根据等量关系就会出现这样的方程，那就不会解了。我
利用三者关系解这一类的方程，或者仍然运用等式的性质，化系数为1，进行教学。
3.在列方程解决实际问题的教学中，重视对实际问题中等量关系的寻找，这是列方程解的关键。学生找的等量关系要与所列的方程相一致。
4.相关习题的设计：
找等量关系练习。
1.黑兔的只数是白兔只数的5倍。
2.电视塔的高度比居民楼的30倍多5米。
3.松树的棵数比柏树的棵数的4倍少8棵。
4.科技书的本数比故事书的3倍少24本。
5.买苹果花了6.7元，找回3.3元。
6.60元买了15个皮球。
处理的时候还可以分一些层次。
先是根据叙述找到等量关系
再给出已知量和问题，要学生说说根据这个等量关系，用什么方法解比较方便。
以“科技书的本数比故事书的3倍少24本。”为例；等量关系为：
故事书的本数×3－24=科技书的本数
如果已知故事书的本数，那就直接可以利用等量关系式求出科技书的本数。如果已知的是科技书的本数，那么等量关系式中故事书的本数就是未知数，就要设这个未知数为x进行列方程解比较简便。
通过这样的练习能够让一部分学生体验到列方程解的好处。
从五年级解方程谈“瞻前顾后”
记得我们上学的时候，解最简单的方程的方式是这样的：比如1+x=3就是x=3-1，x=2。很好懂吧！但是现在五年级课本上是这样的：1+x=3，1+x-1=3-1，x=2。看起来很啰嗦吧！那 那教材这样来改的目的是什么呢？我曾经跟博山教研室的李效宏科长探讨过这个问题，他谈到了教学要“瞻前顾后”的问题，使我深受启发。
大家都知道，知识是有层次性的，新知识必然以旧知识为基础，正所谓“温故而知新”，旧知识学好了，必然有利于新知识的学习，打好基础是很重要的。老师们都懂得在学习新知识前要了解学生以前学习了哪些相关的基础知识，这样才能根据学生的知识基础进行新知识的教学。但是你有没有想到，你现在教给学生的新知识，也将成为学生以后学习的知识基础，那我们做到“瞻前”了，是不是也需要“顾后”呢！还是以上面的五年级的方程为例，很多老师觉得孩子对第一种方法容易理解，解起方程来正确率也高，再加上老师们在教学中也习惯了第一种解方程的方法，所以有些老师以为不必拘泥于教材，就仍然用第一种方法来教学生解方程，而且学生出错很少，考试成绩也不错。
那学生考试成绩高了是否就可 五年级的方程是孩子学习方程的起点，打好基础对孩子以后用方程解决数学问题至关重要，而学生现在学习的解方程的方法，不能仅仅以求出方程的解为唯一目的，重要的是让学生一开始接触就了解方程的基本性质，利用方程的基本性质来解方程，这样的方法才是普遍的规律性的东西，即使学生到了中学，这也是正确有效的方法，因为它是本质性的东西。而前面说的第一种方法显然具有很大的局限性，能够解决小学阶段的大多数问题，却与以后学生要学习的东西没有多少内在联系，而且到了中学这种方法在很多时候已经不能继续使用，这势必使学生要么对新的方法有所抵触，要么对以前的方法产生怀疑，不利于知识的衔接。
虽说教师不能拘泥于教材，但是首先你要了解教材编写的意图，教材设计如果不尽合理，教师可以灵活变通，但在对教材不熟悉的情况下随意改变教学内容和方法，是不恰当的。解方程的问题就是一个例子。只有瞻前顾后，既了解所教知识的起点，又要清楚所教知识的发展，承上启下，有机联系，使学生对知识的掌握具有连贯性和可持续性，才是成功的教学，才是真正为学生将来负责的教学。
一、教学内容
1.用字母表示数
2.简易方程（解方程、列方程解决实际问题）
二、教学目标
1.初步认识用字母表示数的意义和作用，能够用字母表示学过的运算定律和计算公式，能够在具体的情境中用字母表示常见的数量关系。初步学会根据字母所取的值，求含有字母式子的值。
2.初步了解方程的意义，初步理解等式的基本性质，能用等式的性质解简易方程。
3.感受数学与现实生活的联系，初步学会列方程解决一些简单的实际问题。培养学生根据具体情况，灵活选择算法的意识和能力。
本单元的作用：
1.从具体到抽象、个别到一般的一次飞跃。
具体的物（3个苹果）----数（3）----字母（用字母a表示3）
用一个符号表示一个数（常量）----用一个符号表示可变的、抽象的数（变量）
2.有助于对所学的算术知识进行巩固和加深理解。
3.有利于加强中小学数学的衔接，初步渗透代数的思想。
与原通用教材对比，有以下不同点：
（1）解方程的方法
原通用教材：利用四则运算各部分间的关系
实验教材：利用等式的性质，思路更统一，基本方程的解法可归结为“两边同时加上、减去、乘上、除以同一个数（除法时此数不能为0）”。
（2）方程的类型
由于利用等式的性质解方程，实验教材删去了a－x=b 、a÷x=b的方程基本类型，增加了a(x±b)=c的类型。
（3）解方程与解决实际问题的教学有机整合。
原通用教材：先独立学习解方程，再学习列方程解应用题，重难点分散。
实验教材：为了突出数学与实际生活的联系，方程是根据现实素材而列出来的，因此解方程的过程就是解决实际问题的过程，尤其是在“稍复杂的方程”部分，两者完全融合。
三、具体内容
标题例题安排第1节用字母表示数例1用字母表示数例2用字母表示运算定律例3用字母表示计算公式例4用字母表示数量关系第2节方程的意义方程的意义 等式基本性质一 等式基本性质二解 方 程 方程的解、解方程例1解形如x±a=b的方程例2解形如ax=b或x÷a=b的方程例3列方程解加减计算的问题例4列方程解乘除计算的问题稍复杂的方程例1解方程ax±b=c及其应用例2解方程ax＋bc＝d及其应用 例3解方程ax＋bx＝c 及其应用1.用字母表示数
例1（用字母表示某个具体的数）
通过复习以前所学知识，巩固用符号、字母表示某个具体的、特定的数，渗透求未知数的思想，从符号表示逐渐过渡到字母表示，并引出例2。
例2（用字母表示运算定律）
（1）使学生认识用字母表示运算定律的简明性、优越性，一是可以表示一般规律，二是叙述方便。在这儿，字母不止表示一个特定的数，而是表示一般的数。
（2）两字母相乘的表示法。
（3）教材上只给出乘法交换律的表示法，要求学生自己写出其他定律。
“你知道吗？”
介绍单位名称的字母表示法，今后教材中的单位名称一般用字母表示。
例3（用字母表示面积和周长计算公式）
（1）两个过程：用公式表示面积、周长公式是一个一般化的过程（具体到抽象），而根据公式计算某一具体图形的面积和周长则是一个特殊化的过程（代入求值）。代入求值在这儿要多加训练，后面解方程的验算就是一个代入求值的过程。
（2）平方的表示，数与字母相乘的表示。
例4（代数式）
（1）用一个代数式可以表示两个含义：数量、数量关系。如a＋30可以表示爸爸的年龄，也可以表示爸爸与小红年龄之间的关系。
（2）通过归纳法，从具体到一般，得出代数式的表示法，渗透函数思想，第1小题是加减法数量关系，第2小题是乘除法关系。
（3）渗透函数中自变量的取值范围（定义域）。
（4）代入求值。
2.解简易方程
方程的意义
（1）通过用天平称量物体的活动引出方程概念，与后面利用天平原理解方程相一致。
（2）前面已经有了列代数式的基础，因此天平左边的代数式学生比较容易列出来。
（3）通过两边物体轻重的直观比较引出不等式及方程。
（4）根据方程的概念自己写一些方程，范围可以很广，可以包括多元方程，只要符合方程的定义即可。
天平原理（等式性质）
（1） 利用直观的形式使学生理解天平平衡的两条原理（在方程中相当于作同解变换）：
天平保持平衡的原理1：两边同时加上或减去相同的数，左右两边仍然相等；
天平保持平衡的道理2：两边同时乘上或除以相同的数（0除外），左右两边仍然相等。
（2）其中第二、四个图蕴含了解方程的思路（即天平的左边只留下一种物体，在解方程时，最终目标是使方程左边只剩下未知数）。
解方程
n 方程的解和解方程的概念
（1）利用前面天平平衡的素材直接给出现成的方程，因此不涉及到如何列方程。
（2）利用已有知识，通过四种不同的方法求出未知数的值，其中一种方法就是后面要学到的一般的解方程的方法。再给出方程的解和解方程等概念。
n 解基本的方程
例1（x+a=b）
（1）情境相对简单，利用直观即很容易列出方程，因此重点不是列方程而是解方程。
（2）天平原理的直观演示与抽象的方程解法相对应。
（3）重点突出“为什么要减3”这一问题，目的是使方程一边只剩下未知数。
（4）验算。就是前面所学的代入求值的过程。
例2（ax=b）
（1）具体过程同例1。“除以几”要求学生根据直观图自行探索。
（2）x－a=b、x÷a=b这两种类型的解法要求学生利用所学知识进行迁移类推，不出专门例题，在“做一做”中出现。
（2）解方程的一般性方法、步骤也要求学生自行总结。
例3（列方程解形如x±a=b的问题）
（1）结合现实情境。
（2）先给出算术解法，但在用算术方法解答时实际已经把“今天水位超过警戒水位0.64米”转化成了“警戒水位比今天水位低0.64米”，就是所谓的逆思考。
（3）由于列方程解决问题时未知数是参与运算的，所以第一步要把未知数设成一个“假设已知数”。
（4）第二步，根据题目中信息的叙述方式，通过顺向思考列出数量关系。由于是刚接触方程，列出文字性的数量关系对于学生正确地列出方程是很重要的。
（5）根据数量关系列出方程（此时数量关系中的每一部分都是作为“已知数”参与运算的），解方程和验算的过程在这儿不是重点，可让学生独立完成。
例4（列方程解形如ax=b或x÷a=b的问题）
（1）基本过程同例3，可更多地让学生自主探究，列方程的过程中要注意单位统一。
（2）渗透环保教育。
稍复杂的方程
例1（列方程解形如ax±b=c的问题）
（1）把解方程和用方程解决问题有机结合，在解决问题的过程中解较复杂的方程。
（2）结合现实素材（足球上两种颜色皮的块数）引出，这种问题用算术方法解决思考起来比较麻烦
（3）解方程的过程其实是由解若干基本方程构成的（y-20=4，2x=24），需要强调把2x看成一个整体。
（4）可以列出不同的方程，如2x－4=20，关键是使学生理解数量关系。
例2（列方程解形如ax±ab=c的问题）
（1）根据不同的思路列出不同的数量关系，进而列出不同的方程。
（2）两个方程之间有内在的联系，从2x＋2.8×2＝10.4到（2.8＋x）×2＝10.4实际是运用了初中的“合并同类项”，而从后者到前者实际是“去括号”的过程。
（3）第一种解法只是在例1的基础上多了一步，可自行解决。
（4）第二种解法的重点是要把小括号里的看成一个整体，可认为是2y＝10.4和2.8＋x＝5.2的组合。
（5）教学时，可改变条件，先从2x＋2.8×3＝13.2引入，再把3千克梨改成2千克梨，再在此基础上列出第二个方程。
例3（列方程解形如ax±bx=c的问题）
（1）此类问题称为“和差、和倍、差倍问题”，用算术方法解比较难。
（2）有两个未知数，但是两个未知数之间存在和差关系或倍数关系，因此其中一个未知数可以用另一个未知数的形式来表示。
（3）重点是设谁是x，一般为了解方程方便，设倍数关系中的单位量为x。当然，也可任意设，只是解答起来比较困难。教学时，可能有学生设海洋面积为x亿平方千米，列出的方程是x＋x÷2.4＝5.1，只是解方程的方法超出学生的接受范围，教师适当引导即可。
（4）解方程的过程就是一个乘法分配律进行合并同类项的过程。
（5）求海洋面积时可以根据不同的数量关系用不同的方法求（地球总面积－陆地面积、陆地面积的2.4倍）。
四、教学中需注意的问题
1.关注由具体到一般的抽象概括过程，培养学生初步的代数思想。
2.用好教材资源，适当扩展联系实际的范围。
3.重视良好学习习惯的培养。（字母相乘的写法、验算等）
4.正确看待解方程方法的改变。
年级（小五） 供稿（奥赛组） 列方程解应用题
知识网络
列方程解应用题最关键是前两步：设未知数和列方程。有的同学说的部分不是篇幅很长么，为什么不是关键部分呢？其实，只要仔细观察一下，就会发现，虽然篇幅很长，但只要注意到符号变化、分配律等基本运算技巧，解的过程是较容易掌握的。相反，前两步篇幅虽然短，但列方程解应用题的精华和难点却大部分集中在这里，需要用以体会。
一般地，设什么量为未知数，最简单明了的想法是设所求为x（复杂的题目有时要采取迂回战术，间接地设未知数），当所求的数较多时，把这些所求的数量用一个或尽量少的未知数表达出来，也是很重要的。
设完未知数，就要找等量关系，来帮助列出方程。这时需要认真读题，因为许多等量关系是隐藏在字里行间的。中文有很多字、词、句表达相等的意思，如“相等”、“是”、“比……多……”、“比……少……”、“……是……的几倍”、“……的总和是……”、“……与……的差是……”等等，根据这些字句的含义，再加上其中的量用未知数表达出来，就能列出方程。
重点·难点
列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，也就是列出方程，然后解出未知数的值，列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算。解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程。而找出等量关系又在于熟练运用数量之间的各种已知条件。掌握了这两点就能正确地列出方程。
学法指导
（1）列方程解应用题的一般步骤是：
1）弄清题意，找出已知条件和所求问题；
2）依题意确定等量关系，设未知数x；
3）根据等量关系列出方程；
4）；
5）检验，写出答案。
（2）初学列方程解应用题，要养成多角度审视问题的习惯，增强一题多解的自觉性，逐步提高分析问题、解决问题的能力。
（3）对于变量较多并且变量关系又容易确定的问题，用方程组求解，过程更清晰。
经典例题
例1 某县农机厂金工车间有77个工人。已知每个工人平均每天加工甲种零件5个或乙种零件4个或丙种零件3个。但加工3个甲种零件、1个乙种零件和9个丙种零件才恰好配成一套。问：应安排生产甲、乙、丙种零件各多少人时，才能使生产的三种零件恰好配套。
思路剖析
如果直接设生产甲、乙、丙三种零件的人数分别为x人、y人、z人，根据共有77人的条件可以列出方程x+y+z=77，但解起来比较麻烦 如果仔细分析题意，会出现除了上面提到的加工甲、乙、丙三种零件的人数为未知数外，还有甲、乙、丙三种零件各自的总件数也未知。而题目中又有关于甲、乙、丙三种零件之间装配时的内在联系，这个内在联系可以用比例关系表示，而乙种零件件数又在中间起媒介作用。所以如用间接未知数，设已种零件总数为x个，为了配套，甲种、丙种零件件数总数分别为3x个和9x个，再根据生产某种零件人数=生产这种零件的个数÷工人劳动效率，可以分别求出生产甲、乙、丙种零件需安排的人数，从而找出等量关系，即按均衡生产推算的总人数，列出方程 解 答
设加工乙种零件x个，则加工甲种零件3x个，加工丙种零件9x个。
答：应安排加工甲、乙、丙三种零件工人人数分别为12人、5人和60人。
例2 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长。这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，问可供25头牛吃几天？
思路剖析
这是以前接触过的“牛吃草问题”，它的算术解法步骤较多，这里用列方程的方法来解决。
设供25头牛可吃x天。
本题的等量关系比较隐蔽，读一下问题：“每天牧草都匀速生长”，草生长的速度是固定的，这就可以发掘出等量关系，如从“供10头牛吃20天”表达出生长速度，再从“供15头牛吃10天”表达出生长速度，这两个速度应该一样，就是一种相等关系；另外，最开始草场的草应该是固定的，也可以发掘出等量关系。
解 答
设供25头牛可吃x天。
由：草的总量=每头牛每天吃的草×头数×天数
=原有的草+新生长的草
原有的草=每头牛每天吃的草×头数×天数-新生长的草
新生长的草=草的生长速度×天数
考虑已知条件，有
原有的草=每头牛每天吃的草×10×20-草的生长速度×20
原有的草=每头牛每天吃的草×15×10-草的生长速度×10
所以：原有的草=每头牛每天吃的草×200-草的生长速度×20
原有的草=每头牛每天吃的草×150-草的生长速度×10
即：每头牛每天吃的草×200-草的生长速度×20
=每头牛每天吃的草×150-草的生长速度×10
每头牛每天吃的草×200草的生长速度×20+每头牛每天吃的草×150-草的生长速度×10
每头牛每天吃的草×200-每头牛每天吃的草×150
=草的生长速度×20-草的生长速度×10
每头牛每天吃的草×（200-150）=草的生长速度×（20-10）
所以：每头牛每天吃的草×50=草的生长速度×10
每头牛每天吃的草×5=草的生长速度
因此，设每头牛每天吃的草为1，则草的生长速度为5。
由：原有的草=每头牛每天吃的草×25x-草的生长速度
原有的草=每头牛每天吃的草×10×20-草的生长速度×20
有：每头牛每天吃的草×25x-草的生长速度
=每头牛每天吃的草×10×20-草的生长速度×20
所以：1×25x-5x=1×10×20-5×20
解这个方程
25x-5x=10×20-5×20
20x=100
x=5（天）
答：可供25头牛吃5天。
例3 某建筑公司有红、灰两种颜色的砖，红砖量是灰砖量的2倍，计划修建住宅若干座。若每座住宅使用红砖80米3，灰砖30米3，那么，红砖缺40米3，灰砖剩40米3。问：计划修建住宅多少座？
解 答
设计划修建住宅x座，则红砖有（80x-40）米3，灰砖有（30x+40）米3。根据红砖量是灰砖量的2倍，列出方程
解法一：用直接设元法。
80x-40=(30x+40)×2
80x-40=60x+80
20x=120
x=6（座）
解法二：用间接设元法。
设有灰砖x米3，则红砖有2x米3。根据修建住宅的座数，列出方程。
（x-40）÷30=（2x+40）÷80
（x-40）×80=（2x+40）×30
80x-3200=60x+1200
20x=4400
x=220(米3)
由灰砖有220米3，推知修建住宅（220-40）÷30=6（座）。
同理，也可设有红砖x米3。留给同学们练习。
答：计划修建住宅6座。
例4 两个数的和是100，差是8，求这两个数。
思路剖析
这道题有两个数均为未知数，我们可以设其中一个数为x，那么另一个数可以用100-x或x+8来表示。
解 答
解法一：设较小的数为x，那么较大的数为x+8，根据题意“它们的和是100”，可以得到：
x+8+x=100
解这个方程：2x=100-8
所以 x=46
所以 较大的数是 46+8=54
也可以设较小的数为x，较大的数为100-x，根据“它们的差是8”列方程得：
100-x-x=8
所以 x=46
所以 较大的数为100-46=54
答：这两个数是46与54。
解法二：当然这道题也可以设大数为x，那么较小的数可以用100-x或x-8来表示，根据题意，可得到下面两个方程：
x-8+x=100
x-(100-x)=8
解这两个方程，也可以求得较大的数是54，较小的数是46。
例5 如图是一个平行四边形，周长为120米，两个底边上的高分别为12米和18米，它的面积是多少平方米？
思路剖析
此题如果直接设平行四边形的面积为x平方米，当然要从周长来找等量关系；如果不直接设面积为x平方米，而设其中的一个底为x米（如设12米的高所对应的底是x米），由题意可知，等量关系应从平行四边形面积来考虑。
解 答
解法一：设12米的高所对应的底是x米，则平行四边形的面积是12x平方米。
12x=（120÷2-x）×18
12x=（60-x）×18
12x=1080-18x
12x+18x=1080
30x=1080
x=36
12x=12×36=432
解法二：设平行四边形的面积是x平方米。
方程左右两边都乘以12和18的最小公倍数36得
3x+2x=2160
5x=2160
x=432
答：它的面积是432平方米。
发散思维训练
1.丢番图是古希腊著名的数学家，他的墓志铭与众不同，碑文是：“过路人！这里埋葬着丢番图，他一生的六分之一是幸福的童年；又活了一生的十二分之一，面部长起了胡须；随后是一生的七分之一的单身汉生活；婚后五年，他有了一个儿子；可是，儿子活到在丢番图一生年龄的一半时，不幸夭折；儿子死后，父亲在深深的悲哀中又过了4年也与世长辞……”你能计算出他一生中主要经历的年龄吗？
2.今年姐妹俩年龄的和是55岁，若干年前，当姐姐的年龄只有妹妹现在这么大时，妹妹的年龄恰好是姐姐年龄的一半，问姐姐今年多少岁？
3.两个缸内共有48桶水，甲缸给乙缸加水一倍，然后乙缸又给甲缸加甲缸剩余水的一倍，则两缸的水量相等，求两个水缸原来各有多少桶水？
4.早晨6点多钟有两辆汽车先后离开学校向同一目的地开去，两辆汽车离开学校的距离是第二辆汽车的3倍。到6点39分的时候，第一辆汽车离开学校的距离是第二辆汽车的2倍，求第一辆汽车是6点几分离开学校的？
5.一人乘竹排沿江顺水漂流而下，迎面遇到一艘逆流而上的快艇，他问快艇驾驶员：“你后面有轮船开过来吗？”快艇驾驶员回答：“半小时前我超过一艘轮船。”竹排继续顺水漂流了1小时遇到了迎面开来的这艘轮船。那么快艇静水速度是轮船静水速度的多少倍？
参 考 答 案
1.解：
由此可得：丢番图幸福的童年是14岁以前，21岁长胡须，过12年的单身汉生活，21+12=33，33岁结婚，38岁得子，80岁时丧子，儿子只活了42岁，丢番图活了84岁。
2.解：
若直接设姐姐今年为x岁，则妹妹的年龄不好表示，所以我们设若干年前妹妹年龄为x岁，这样，姐姐在若干年前就为2x岁，妹妹今年年龄为2x岁，姐姐今年年龄是3x岁，于是，根据“今年姐妹俩年龄和为55岁”这一等量关系，可列方程
2x+3x=55
5x=55
所以x=1
所以，妹妹今年的年龄为11×2=22（岁）；姐姐今年的年龄为11×3=33（岁）。
答：姐姐今年33岁。
3.解：
设原来甲缸有x桶水，乙缸有（48-x）桶水。甲缸给乙缸加水一倍，则甲缸有水[x-(48-x)]桶，乙缸有水2(48-x)桶，乙缸又给甲缸加甲缸剩余水的一倍，则甲缸有水2[x-(48-x)]桶，乙缸有水{2（48-x）-[x-（48-x）]}桶，根据题意得：
2[x-(48-x)]=2(48-x)-[x-(48-x)]
2x-2(48-x)=2(48-x)-x+(48-x)
3x=5(48-x)
3x=5×48-5x
8x=5×48
x=30
所以48-x=48-30=18
答：甲缸原有水30桶，乙缸原有水18桶。
4.解：
两辆汽车的速度都是60千米/小时=1千米/分。设在6点32分时第二辆汽车离开学校的距离为x千米，则第一辆汽车离开学校的距离为3x千米，到6点39分时两辆汽车都行了7分钟，行程都是7千米，与学校的距离：第二辆汽车为（x+7）千米，第一辆汽车为（3x+7）千米，根据题意得：
2(x+7)=3x+7
2x+14=3x+7
x=7
所以3x=3×7=21
因此，在6点32分时，第一辆车已行驶了21分钟，32-21=11
答：第一辆汽车是早晨6点11分离开学校的。
5.解：
设快艇静水速度为m，轮船静水速度为n,水流速度为v，显然竹排速度就是水流速度v，由“顺流速度=船速+水速，逆流速度=船速-水速”的数量关系进行解答。
这样，快艇从超过轮船起，遇到竹排（用了0.5小时）止，这段路程（快艇行程）为（m-v）×0.5，而这段路程是竹排行驶1小时、轮船行驶（1+0.5=1.5小时）的路程之和，即v+(n-v)×1.5。因而
（m-v）×0.5=v+(n-v)×1.5
0.5m-0.5v=v+1.5n-1.5v
0.5m-0.5v=1.5n-0.5v
0.5m=1.5n
m÷n=3
答：快艇静水速度是轮船静水速度的3倍。