下面是小编辛苦为大家带来的等比数列教案范文【优秀8篇】，希望大家可以喜欢并分享出去。
关键词：高中数学；高效课堂；自主学习
有人说，数学是科学皇冠上的一颗明珠。在科学领域中，数学是一门基础学科，没有了数学作为工具，任何的科学难题都无法解开。人类的科技文明高速发展，离不开数学的灵活运行。高中阶段的数学知识为数学渗入应用领域的过渡，那么高中数学教学中，就要将数学知识与相关学科建立起联系，并逐渐向应用领域渗透，展开生动数学课堂教学，以提高学生的综合素质。
一、明确高中数学的教学目标
要出色地完成高中数学教学任务，就要将教学目标建立起
来。提高学生对于数学知识的综合运用能力，首先要引导学生对于数学产生认知，以情感教学的方式，让学生将兴趣融入数学解题技能中，以在此基础上培养学生自主学习的能力，达到高中数学的预期教学目标。
二、营造和谐的高中数学课堂教学氛围
对于很多学生来讲，高中数学的学习就是为了应对高考，所以，学生会更为注重高考试题的类型以及解题方式，导致高中数学的教学目的失去了实际意义。数学教师要提高课堂教学效率，就要首先卸下学生所承担的数学高考试题解题重负，建立起和谐而融洽的高中课堂教学氛围，让学生感受到数学之美，并对数学的学习予以重新定位。教师的责任是传授知识，所采用的方式是引导教学。只有当教师与学生建立起平等互信的关系，针对数学问题形成互动式交流，才能更好地促进学生的学习。在这种课堂教学模式下，教师是知识的引导者，学生是课堂的主体，教师在关注学生的个性化特征的同时，将其作为教学参考因素纳入数学教学模式中，建立起适合于学生学习并促进学生理解数学知识的载体，以形成轻松愉快的数学学习环境。
人教A版湖南教材中“函数的概念”教学，可以采用问题教学方式，以多媒体课件辅助，营造生动有趣的数学课堂氛围。教师在提出问题时，采用阶梯形问题模式，即如何理解映射和函数的概念？为什么函数Y要有与之相对应的取值范围？如何从映射的角度定义函数？展开问题教学，学生会从问题的角度思考数学知识原理，从而掌握数学课堂教学重点。为了深化学生对于数学课堂知识的理解，运用多媒体课件展示课堂教学内容。
课件上展示函数对应关系：
假设集合A和集合B都是非空数集。X属于集合A中的任意一个数，在对应关系f下，集合B中唯一与之对应的为f（x），那么，f：AB就可以称为：从集合A到集合B的一个函数，记作：y=
f（x），x∈A。
这种多样化的数学教学方式，很容易让学生将情感融入其中，并在理解的基础上形成一些问题。按照教学的备课教案进行教学，如果出现了课堂生成的现象，教师就将这种课堂意外巧妙地运用，按照学生的思维模式延续教学，一方面尊重了学生的主观思考，另一方面给课堂教学增添了活力，以实现数学教学的生动化和多元化。
三、引入问题导学法，提高学生对高中数学的认知能力
数学的问题导学法，是将新的数学知识建立在学生已经掌握的数学知识的基础上，以引导学生在原有的知识认知基础上向更深入的领域探究。比如，等比数列在日常生活中就已经有所接触，进入到高中阶段，所涉及的等比数列以理论知识呈现出来。教师在教学中，可以将生活实例引入教学中，让学生对于等比数列的概念形成认知。比如，分期储蓄的计算就与等比数列存在着直接的关系。每年的1月1日在银行存款1000元，年利率为3%，那么，第二年的本金即为：1000（1+1%）+1000；第三年的本金为1000（1+1%）2+1000（1+1%）+1000；第四年的本金为：1000（1+1%）3+
1000（1+1%）2+1000（1+1%）+1000，以此类推。渐渐地，涉及高中等比数列的知识就引入到课堂中。
高中数学教学中采用这种问题导学法，让学生对于数学知识的理解已经不再从单纯的理论层面理解，而是从多层面形成对于知识体系的认知，以构建属于自己的数学思想。
综上所述，在高中数学课堂教学中，营造活跃的课堂氛围，形成师生之间的互动交流，让学生在轻松愉快的教学环境中学习数学知识，以将情感渗入到数学知识的学习中。灵活地运用问题导学法，配合多媒体辅助教学，使学生对于数学知识体系产生认知，以提高数学知识的综合运用能力。
参考文献：
[1]钟银兵。高中数学中的问题导学法探究[J].新课程学习：下，2013（08）.
[2]吴杰。高中数学高效课堂初探[J].高中数学教与学，2011（18）.
[3]李桂初。构建高中数学高校课堂的策略初探[J].课程教学研究，2012（16）.
众所周知，教案是教学的重要工具，也是教学思路的重要体现．以下就笔者在教学中的教案设计与启发式教学的联系谈一点体会．
1教学片段描述
上课开始，教师首先通过投影给出引例：
×月×日是我校20周年校庆，某校友向学校捐赠了一株名贵的树苗．已知现在树苗的高度为1米，第n年树苗的高度记为an，如果这棵树的生长规律满足an+1―an=(12)n，则50周年校庆时这棵树的高度为多少？
教师先是把题目通读了一遍，就停下来给学生思考．学生开始看到题目的反应是相视一笑，有的还小声的耳语了几句，但马上就转移到问题上，开始动笔尝试解决．教师在学生中间观察学生的解题进展之后，提问一名学生回答．
师：你是如何考虑的？
此时教师除了注意听取她的回答之外，还留意着其他学生的反应．
生：由已知可以得到a1=1， an+a－an=(12)n，那么先要把它的通项an求出来．
师（追问）：应该如何从上式中得出通项an？
生：因为a2-a1=12，a3-a2=（12）2， a4-a3=（12）3，……，an+a－an=（12）n，把这些式子加起来就可以把中间的项去掉，得到通项公式是an=2-（12）n－1．
师：大家认为她的答案是不是正确的？
生：是的．
师：很好，那么现在我们就来一起看看到底在我校50年校庆的时候，这个树能有多高了．
师：要求树高，就是当n=31时，求出an=2-（12）30是多少．
对于n到底应该是带多少，学生的集体回答并不一致，教师见状就快速的在黑板上写出了取值，并且直接给出了结果．
师：我们来看看这个通项的得出用了什么方法？
生：累加法．
师：对，那么对于什么形式的数列我们在求通项的时候用到累加法呢？
生：an+1-an=f(n)．
学生边说，教师边板书，还强调了一下累加的应用形式．又给出了变式1
师：已知a1=1,an+1=12an+1,求an．
稍微停顿了一下，学生尝试解答．
师：我们从已知数列的递推式子得出数列的前几项是多少？
生（一起）：a1=1,a2=32,a3=74,a4=158．
师：从这几项中我们来猜测一下数列的通项是什么？
生（少部分比较快，大部分都有些迟疑，不太确定的说）：an=2n－12n－1．
师（见状马上）：我们来观察一下这个式子与我们的已知通项有什么关系？
（停了一下）变形一下得到：an=2－（12）n－1，即an－2=（12）n－1，那么an－2可以看作是一个新的等比数列bn，下面的求通项的过程我们就不在板书了．有了这样的分析之后我们再回头看已知式子就可以把它变换成什么形式？
生：an+1－2=12（an－2），这样就与刚才的变换联系到一起了．
师（不失时机）：对，我们这下可找到了解决这类题目的关键，利用变化已知得到一个新的等比或等差数列，转化成我们熟悉的常规数列使我们的通项可以求出．
下面学生纷纷表示认同，并且有部分学生还把这个思路记了下来．教师又给出了变式2．
师：an+1=2an+1．
学生很快得出了通项．
师：看来大家对这种方法很熟练了，那么我们再来看个题目．变式3：an=13an+1
学生们面对这个题目，本来都是很快的想和刚才一样得出解答，但是尝试了一下，却有大多数都停了下来．教师见状，开始板书，并提问了一名学生．教师在黑板的式子左右两侧分别画了一个方框．学生开始还显出没有明确的思路，有些迟疑，但在教师画出了两个方框之后，就很自信的回答了．
师：和刚才一样，我们要构造一个新的等比数列，我们应该填多少呢？an+1+=13（an+）．
生：设这个数为x，由系数可以得到x=－32，这样这个问题就解决了．
师（对学生的回答非常的满意）：非常好，大家来看看我们用到的求解方法叫做什么？
生：待定系数法．
师（又总结到）：是的，这样对于形如数列an+1=pan+q通项我们都可以通过待定系数法转化成新的等比数列来解决．
2教学反思：
新时代的数学教师应适应新课改的要求，积极改进自身的教育，教学理念，应从学生的实际出发，创建有助于学生自主探究学习的问题情境，引导学生通过实践、探索、交流获得知识形成能力、发展思维、学会学习．
2．1科学利用教材培养探究的意识
数学课堂教学的探究学习有两个显著的特征：其一是教学内容问题化，即从问题为中心组织教学内容，其二教学过程的探索化，而教师为学生创立学习情境、提供解决问题的依据料材、由学生独立地探究发现知识和解决问题．英国哲学家波普尔系统的提出了科学界公认科学研究始于问题的命题．以问题作为教学的出发点，教师在设计教学方案时，不是直接以感知教材为出发点，而是把教材上的知识点编成需要学生探究的问题，激发学生的探究兴趣，让学生在尝试中体验和创新，使传统意义上的教学内容变成学生对数学问题进行探究、解决的过程．
2．2设置问题情景激发探索欲望
在教学过程中尽量创造充满求知欲望的教学情境，提出富有启发性的问题捕捉学生创造性思维的兴奋点，鼓励学生去探索，去展现，这是培养学生创新意识的前提．
从不同的数学内容的实际出发、构建不同的问题，通过精心创立问题情境，让学生达到“愤排”状态，也就是孔子所说的“不愤不启，不愤不发”让学生真正“跳起来摘桃子”
2．3设置最近发展区，激活学生思维
当讲完一个题后，再对题目进行研究：增减条件、改变设问方式、揭示解题技巧及思维方法，给学生设置“最近发展区”，不仅能起到一题多练，一题多得，触类旁通的作用而且易激活学生的思维，产生强烈有探究意识．
在问题类比，方法迁移，归纳总结规律的过程中，师生的信息交流畅通，及时反馈、评价、矫正，学生的思维处于活跃状态，学生将顺利完成了相应的题组练习．
2．4引导学生深入思考，优化思维品质
对问题的理解如果满足于一知半解，停留在知识的表面，就不利于探究意识的培养．因此在讲解教材例题时，一定要发挥例题的潜力，引导学生深入思考，才能起到优化思维作用．
总之，教师在教学时，必须充分重视其潜在着的数学功能，通过提出类似的问题和解答这些问题，扩大解题的“武器库”，以激发学生学习的兴趣，使学生的探究能力和创新能力得到更进一步的提高．
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一、概述
教材内容：等比数列的概念和通项公式的推导及简单应用
教材难点：灵活应用等比数列及通项公式解决一般问题
教材重点：等比数列的概念和通项公式
二、教学目标分析
1. 知识目标
掌握等比数列的定义 理解等比数列的通项公式及其推导
2．能力目标
(1）学会通过实例归纳概念
(2）通过学习等比数列的通项公式及其推导学会归纳假设
(3）提高数学建模的能力
3、情感目标：
(1）充分感受数列是反映现实生活的模型
(2）体会数学是来源于现实生活并应用于现实生活
(3）数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的
三、教学对象及学习需要分析
1、 教学对象分析：
(1）高中生已经有一定的学习能力，对各方面的知识有一定的基础，理解能力较强。并掌握了函数及个别特殊函数的性质及图像，如指数函数。之前也刚学习了等差数列，在学习这一章节时可联系以前所学的进行引导教学。
(2）对归纳假设较弱，应加强这方面教学
2、学习需要分析：
四。 教学策略选择与设计
1.课前复习
(1）复习等差数列的概念及通向公式
(2）复习指数函数及其图像和性质
2．情景导入
作为一名辛苦耕耘的教育工作者，很有必要精心设计一份教案，教案是教学活动的总的**纲领和行动方案。那么优秀的教案是什么样的呢？下面是小编为大家收集的等比数列教案（精选7篇），希望能够帮助到大家。
1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题。
（1）正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列，了解等比中项的概念；
（2）正确认识使用等比数列的表示法，能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项；
（3）通过通项公式认识等比数列的性质，能解决某些实际问题。
2.通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质。
3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度。
教学建议
教材分析
（1）知识结构
等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用。
（2）重点、难点分析
教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认识与应用，教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用。
①与等差数列一样，等比数列也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出等比数列的特性，这些是教学的重点。
②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉；在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力；第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点。
③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点。
教学建议
（1）建议本节课分两课时，一节课为等比数列的概念，一节课为等比数列通项公式的应用。
（2）等比数列概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义。也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括等比数列的定义。
（3）根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解。
（4）对比等差数列的表示法，由学生归纳等比数列的各种表示法。启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征画数列的图象。
（5）由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者出现。
（6）可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用。
教学设计示例
课题：等比数列的概念
教学目标
1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式。
2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力。
3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度。
教学重点，难点
重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导。
教学用具
投影仪，多媒体软件，电脑。
讨论、谈话法。
教学过程
一、提出问题
给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准。（幻灯片）
①－2，1，4，7，10，13，16，19，…
②8，16，32，64，128，256，…
③1，1，1，1，1，1，1，…
④243，81，27，9，3，1，，，…
⑤31，29，27，25，23，21，19，…
⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…
⑦1，－10，100，－1000，10000，－100000，…
⑧0，0，0，0，0，0，0，…
由学生发表意见（可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类），统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列（学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列）.
二、讲解新课
请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题。假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列——等比数列。（这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步）
等比数列（板书）
1.等比数列的定义（板书）
根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系，尝试给等比数列下定义。学生一般回答可能不够完美，多数情况下，有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的。教师写出等比数列的定义，标注出重点词语。
请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比，并思考有无数列既是等差数列又是等比数列。学生通过观察可以发现③是这样的数列，教师再追问，还有没有其他的例子，让学生再举两例。而后请学生概括这类数列的一般形式，学生可能说形如的数列都满足既是等差又是等比数列，让学生讨论后得出结论：当时，数列既是等差又是等比数列，当时，它只是等差数列，而不是等比数列。教师追问理由，引出对等比数列的认识：
2.对定义的认识（板书）
（1）等比数列的首项不为0；
（2）等比数列的每一项都不为0，即；
问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？
（3）公比不为0.
用数学式子表示等比数列的定义。
是等比数列①.在这个式子的写法上可能会有一些争议，如写成，可让学生研究行不行，好不好；接下来再问，能否改写为是等比数列？为什么不能？
式子给出了数列第项与第项的数量关系，但能否确定一个等比数列？（不能）确定一个等比数列需要几个条件？当给定了首项及公比后，如何求任意一项的值？所以要研究通项公式。
3.等比数列的通项公式（板书）
问题：用和表示第项。
①不完全归纳法
.
②叠乘法
，…，，这个式子相乘得，所以。
（板书）（1）等比数列的通项公式
得出通项公式后，让学生思考如何认识通项公式。
（板书）（2）对公式的认识
由学生来说，最后归结：
①函数观点；
②方程思想（因在等差数列中已有认识，此处再复习巩固而已）.
这里强调方程思想解决问题。方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用，请学生举例（应能编出四类问题）.解题格式是什么？（不仅要会解题，还要注意规范表述的训练）
如果增加一个条件，就多知道了一个量，这是公式的更高层次的应用，下节课再研究。同学可以试着编几道题。
三、小结
1.本节课研究了等比数列的概念，得到了通项公式；
2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比；
【关键词】高中数学；新课改；改革模式；基础知识；自主学习；课后反思
身为一线的数学教师，从新课改理念的学习，到深入课堂进行新课改实践，我从中受益匪浅。在教学过程中，我认为做好以下几方面的工作，对提高学生学习数学的积极性有一定的帮助。
一、改革教学模式，优化课堂教学
面对新的形势，采用传统的教学模式，即教师课堂讲、学生课下练、教师批改作业等做法，已无法保质保量地完成教学任务。
要改变传统的教学模式，首先就要改变原先教学的单一性，将教案扩充为利于学生使用的学案。学案的设计以教学的课节为单位设计，由四部分内容组成。第一部分：简单点明课节的重点、难点。第二部分：对重点、难点内容进行分析。第三部分：解析典型例题。第四部分：留出空白，由学生自己填写无法突破的知识点。将学案提前一天发给学生，由学生先进行自主学习。学生阅读和解决学案，对学习的目标、任务、教学的内容有了知情权，变被动学习为主动学习，学习的积极性空前提高。
其次，把课堂变成师生互动的主阵地。新课标指出：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。”课堂教学由两部分组成，绝大部分由师生共享，就学生在学案中出现的问题进行讨论、分析，突破重难点，学生带着问题进行学习，学习的针对性加强。在每课节的最后部分，教师充分发挥主导作用，简明扼要地指出学生在自主学习过程中存在的问题，分析产生的原因，提出避免的办法，以培养学生科学的数学语言和数学思维。
二、重视基础知识、基本技能和基本方法
高中数学的教学目标是让学生学会数学。对于学生来说，学习数学的一个重要目的是要学会数学的思考，用数学的眼光看世界。
以函数为例：从逻辑的角度看，函数概念包含定义域、值域、对应法则等以及单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质和一些具体的函数，这些内容是函数教学的基础，但不是全部。从关系的角度来看，不仅函数的主要内容之间存在着种种实质性的联系，函数与其它内容也有联系。方程的根可以作为函数的图像与x轴交点的横坐标；不等式的解就是函数的图像在x轴上方的那一部分所对应的横坐标的集合；数列也就是定义在自然数集合上的函数等。
三、创设促进自主学习的问题情境
首先，教师要精心设计问题，鼓励学生质疑。其次，积极开展合作探讨、交流得出很多结论。当学生所得的结论不够全面时，可以将问题留下让学生课后再思考、讨论，再下节课的时候教师可以将正确答案公布给学生。这样就有利于激发学生探索的动机，培养他们自主动脑、力求创新的能力。如：在讲解正整数指数函数时，采取实例设疑导入法。先提出一个通俗而有趣的问题：用一张足够大的纸（厚约0.01mm）对折30次，猜想一下：这叠纸大概有多厚？学生都议论纷纷，引起他们的兴趣。如果对折100次呢？学生在做出了种种估计后，教师提出其厚度远远超过珠穆朗玛峰的高度，学生感到惊讶，产生强烈的求知欲。于是教师引出课题，师生共同分析，提高了学生学习的兴趣。
四、将多媒体技术运用到高中数学教学里来，提高了教学效率
多媒体可以提供声音动画等多种信息，图文并茂，动静结合，能使抽象的概念、复杂的公式形象化。高中数学中的概念、定理很多，而这些内容往往很抽象，学生学起来很枯燥、没兴趣难以接受。运用现代化的教学手段，就能把这些抽象的概念形象化，便于学生理解这些概念、定理。如：通过投影，可以将物体点、线、面之间的关系表现的生动形象，从而有助于学生空间想象能力的发展。例如：在进行《线面垂直的判定定理》的教学中，投影图将日常生活中的线、面垂直现象生动展示，接着每一个定理的推出都是由学生自主做实验归纳总结出来的。这样就加深了学生对定理的理解，从而提高了教学效率。
五、让学生感知数学就在身边
教学中能从学生的生活实际出发，让学生感悟到数学学习的意义与价值。由于传统的数学教学过分注重机械的技能训练与抽象的逻辑推理，而忽视与生活实际的联系，以致于使许多学生对数学产生了枯燥无用、神秘难懂的印象，从而丧失学习的兴趣和动力。作为一名新课改的实践者，通过学习和实践，课堂教学中努力做到从生活中导入，在生活中学习，到生活中运用。如：在上“等比数列”时，不再像传统教学那样采取直接从概念导入，而是提前让学生进行课前预习有关细胞分裂若干次以后的细胞总数问题，独立探索，由此知道细胞在整个分裂过程中不断增加个数，而这一问题可以由等比数列来处理，再让学生验证自己估计的是否准确。让学生在活动中悟出等比数列数学模型与实际的细胞分裂问题的关系，建立了数学中等比数列的概念。在学习的过程中学生就逐步明白了等比数列的重要性，产生了学习的内在动力。
六、对学生原有的知识水平要有很好的定位
课堂上学生是主体，教师是主导，教师要围绕着学生展开教学。在教学过程中，自始至终让学生唱主角，教师要成为学习的领路人，教得好本质上是为了促进学得好。但在实际教学过程中是否能够合乎我们的意愿呢？我们在上课、评卷、答疑解难时，自以为讲清楚明白了，学生受到了一定的启发。但在下一次考试后评阅试卷时发现，自已的讲解并没有很好地针对学生原有的知识水平，从根本上解决学生存在的问题，只是一味地想要他们按照某个固定的程序去解决某一类问题，学生当时也明白了，但并没有理解问题的本质性的东西。
七、要坚持写课后反思
对于上的每一节课，当天作业批阅完了之后，必须尽快的写出对当节课学生反应出来的问题的反思，这样有助于发现教学中的纰漏，对于下次的教学工作也是一个良好的铺垫。这样久而久之的坚持下去，教学的有效性就会大大提高的。
总之，我们一线教师要善于捕捉数学活动的信息，潜心钻研，勇于探索，认真反思自身的教学，不断提高教学设计和组织的能力，最终完成新课程改革下的教学任务。
【参考文献】
[1]卢邦生。新课改下高中数学教学反思[J].中学教学参考，2011年17期
【作者简介】
关键词：学习；探究；结论；知识；规律
中图分类号：G632.4 文献标志码：A文章编号：1674-9324（2012）09-0228-02
“探究性学习”又叫探索性学习，指的是“学生在学科领域或现实生活的情景中，通过发现问题、调查研究、动手操作、表达与交流等探究性活动，获得知识、技能和态度的学习方式和学习过程。”探究性学习能较好地培养学生分析问题、解决问题的能力，培养学生探究习惯和创新思维，同时也能通过引发学生积极思维而产生对数学的兴趣。
通过设计探究性问题来开展课堂教学研究是深入进行数学教育研究的一种有效方式，根据学生认知结构及知识本身的系统性来进行研究性学习是一个数学教师深入钻研教材、建立自己教学特色的关键。根据我近十年的教学经验，总结出以下几种探究类型，供同行探讨。
一、条件探究型
此类探究给出问题的条件不完全而结论完备。解这类题目时，首先由结论出发，考虑结论成立时必需的一切条件，然后分析研究，选择最佳条件，从而得出最后答案。
例1：D为ABC的AC边上的一点，要使ABC∽ADB，那么D点应在AC边上的什么位置？解这道题时，学生须选定判定三角形相似的方法之一，然后结合已知条件来解题。
例2：在平行四边形ABCD中，在对角线AC上有两点E、F，只须给定条件________（一个即可），就可使BF=DE。这道题型属于突出结论的类型，这种情况下，结论成立的条件便成了学生分析推理的主要目标，由于条件的不唯一性，学生的发散性思维能力和深入思考问题的逻辑能力都能通过这种题型来体现。采用学生独立思考以及小组交流合作的模式，由浅及深，步步深入，解决问题。上述两个例子，解题的过程实质上都是问题探究的过程，有助于提高学生发散思维的能力，激发学习数学的兴趣，从而提高学生的数学能力。
二、结论探究型
此类题型的条件比较明确，需要推测相应的结论，此时结论可能不确定，可能不唯一，解此类题目应由条件出发，经过分析、比较、猜想、推理、论证得出结论。
例：在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AD，BC的中点，由此可推出哪些正确的结论？
这是一到问题结论相对开放的题目，学生应根据特定的情景来设定、推理。这种题实用价值大，能多方位展现学生的数学思维和数学基本能力。这种类型的题目能够打开学生的思维，发挥学生对已有知识的串联能力，从不同的视角探究问题的解决方法，而不是沿用传统的单向思维模式。通过学生体验这类问题的摸索，驱动学生强烈的求知欲望，进而积极地参与数学探讨与学习。
三、知识体系探究型
具有现实意义的、有趣而又独具挑战的数学知识应该出现在数学教学中。具有现实意义的内容可以给学生最直接的体验，源于生活，易于理解，且遵循学生的学习规律。能够督促学生积极主动地进行数学观察，总结数学规律，协作完成教学活动。教材是枯燥无味的，这就要求教师要用活教材，要有创造性，针对学生的特点来设计学生教案，让学生体验数学知识的规律及应用，鼓励学生自主探索与合作交流。例如：教学分母有理化时，教师先创设问题情境，让学生计算近似值。有的学生通过计算器得出≈2.828，≈≈0.3536。同样，≈0.2887，这时学生已感觉到了多位除数带来的麻烦。教师乘机启发学生能否避免这种麻烦？学生的探究欲望被这个开放性问题唤醒，纷纷进行尝试。此时教师再引导学生观察、操作、交流和概括。在小组讨论后，使分母中不出现根号是避免计算困难的关键，学生对去根号的方法会有不同的见解和方法。比如，采用平方的方式，但这改变了分式的值，还有的学生采用分子分母乘以相同的根式的方法，可以将分母的根号移到分子中，即==，有的则先化简分母，即=。同样对也作了同样的探讨。这时教师要进一步强化学生积极的学习体验，引导学生自我建构，形成表达式，使学生享受到成功的喜悦。在获得的简便计算后，启发学生找它们的共性，推导出一般结论：==，这时引入分母有理化和有理化因式这两个概念就水到渠成了。最后，还可以让学生交流总结，展示自己的思维过程和成果，讲收获，谈感受，在合作与交流中碰撞出智慧的火花，增进合作意识，引导学生反思自己的数学学习过程和成长的历程。使学生正确认识自我，建立信心。
四、规律探究型
此类探究往往给出一组变化了的图形、式子或条件，要求学生通过对信息的整理、观察、分析、猜想、探索出其规律，这类题型可提高学生的观察能力、归纳概括能力。
例：阅读下面一列数：1，2，4，8……我们发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2。
一般地，如果一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。①等比数列5，15，45……的第4项是_________；②如果一列数a1，a2，a3，a4，……是等比数列，且公比为q，那么根据上述规定，有=q，=q，=q，=q，……所以a2=a1q，a3=（a2q）q=（a1q）q=a1q2，……，an=_______（用a1，q的代数式表示）。③一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项。
本题取材于初中学生尚未学习的高中代数中的“等比数列”内容，通过阅读自学，让学生弄清楚了等比数列的定义，并从中探索规律推导出等比数列的通项公式，让学生从做题中领会到数学的乐趣，为今后学习高中数学打下了基础，也为初高中数学知识的衔接起到了承上启下的作用。
关键词：教学；活动课；思维
重视数学应用已成为当今数学教育的新特色。这一点在新修订的《普通高中数学课程标准》中体现得十分明显。目前，在中职学校开展的课程改革方兴未艾，也给中职学校数学课程的改革提供了更加广阔的空间。在高中数学新课标教材中也增加了大量的应用问题，这是培养学生数学应用能力，提高学生数学素养的重要体现。如何在中职学校开展数学实际应用问题的教学，笔者在教学实践也颇有体会。深入研究教材，仔细观察生活，从中提炼出解答实际问题的数学建模思想，是最基本的方法；题目的设计要适合中职学生的认知和心理特点，要控制好难度。而开展数学活动课又是数学教学不可缺少的重要步骤和形式，它是课堂教学的延续，是把数学知识、技能转化为能力、素质的一个重要的、不可缺少的过程。
我在2009两个实验班先后开展了主题为《到底有多大？》（指数和对数），《等差、等比数列的应用》等数学活动课，现将我在2009实验班开展数学活动课，培养学生数学实际应用能力的几点尝试和体会总结如下。
一、数学活动课的开展有利于培养学生数学的应用意识
众所周知，数学源于生活，高于生活，又服务于生活。可以这样说，生活中处处都有数学，看你有没有慧眼去观察和发现。要解决数学应用问题，首先要努力培养学生善于观察、发现生活中的数学问题，再把这些问题抽象成标准的数学问题，然后通过解决数学问题来回答实际问题，这就是“数学建模”，就是要建立一个实际问题的数学模型，要求剔除与求解问题无关的因素，分析其中的数量关系。这就需要平时加强训练，需要在学习中反复进行这种应用数学的“模拟训练”，有时也需要适当地走出课堂，到实践中去理解和应用理论知识。
例如，在《等差、等比数列应用》活动课中，我设计了这样一个题目：一群羊中，每只羊的重量数均为整数，其总重量为65公斤，已知最轻的一只羊重7公斤，除去一只10公斤的羊外，其余各只羊的体重恰好组成一等差数列，则这群羊共有多少只？此问题带有趣味性和开放性，关键看学生能否抓住“除去一只10公斤的羊，其余各只羊的体重恰好组成一等差数列”这句话，它提供给我们两个信息，等差数列的公差不是1，也不是3，那么公差到底是几？你可以尝试公差为2的情形，可以轻松得到：7，9，11，13，15，它们的和为55，加上去掉的一只10公斤的羊共6只，总重65公斤。
例如，在讲到《指数、对数》时，我设计了一个数学活动课，题目《到底有多大？》其中，有这样一个题目，要学生计算：一张纸最多可以对折几次？如果能对折100次，对折后共有多少层纸？我事先给出纸的厚度（0.1毫米）后，可以让学生计算这些纸一共有多厚？学生在活动课上分小组认真讨论、计算，学生兴趣盎然，出色完成任务。通过这节活动课使学生进一步理解了指数和对数的概念，并从中体会出对数在简化计算上的特殊作用。
而在《等差、等比数列应用》活动课中，许多题目都涉及对数的运算，为此我在课前先把有关对数的运算公式做了简单复习；把题目中用到的对数运算模型也做了简单解释，为学生的使用奠定了基础。
例如，《等差、等比数列应用》活动课中的第2题：某工厂2008年生产某种产品2万件，计划从2009年开始，每年的产量比上一年增长20%，经过n年这家工厂生产这种产品的年产量首次超过12万件，则n=（ ）（lg2=0.3010，lg3=0.4771）
分析：这是一个增长率问题，用到等比数列。
2（1+20%）n=12
两边取以10为底的对数，nlg1.2=1g6
n=■=■≈9.836
所以，n=10年。
通过讨论与计算，既锻炼了学生的思维能力，还可以提高学生的计算能力，特别是计算工具的使用能力，更可以使学生了解数学问题的实际背景，加深对理论知识的理解，认识在不同的情境中数学应用的价值，为建立数学模型、解决实际问题奠定基础，提高学生的数学应用意识。
二、数学活动课的开展有利于提高学生解决实际问题的能力
中职阶段是打基础的过程，随着社会经济和科学技术的发展，基础的内涵也在不断变化，这就需要我们在传授知识、培养“三大能力”的同时，重视数学实际应用能力的培养，让学生学会在信息纷呈、问题各异的世界里生存的本领，让数学的思辨精神、探索才智在他们身上发挥积极作用。
同时，教学观念的转变，教学目标的更新，也迫使我们中职学校的教学方法必须改进。在学生学习掌握了一定数量的基础知识和基本能力、头脑中积累了一定数量数学模型的基础上，根据数学知识应用的广泛性，我们组织数学活动课，挖掘、利用日常生活中学生熟悉的应用素材，强化学生的应用意识，提高解决实际问题的能力。采取的活动形式是：组织学生阅读有关刊物，收看电视新闻，观察事物，捕捉社会热点；还可以利用假日组织学生通过多种渠道搞社会调查，采用统一活动和自由活动相结合、小组活动与个人活动相结合的方式，多方面搜集素材，弄清问题的背景，写出调查报告。根据收集的材料，把来源于社会的实际问题结合课本所学知识进行整理归类，找出共性与个性，寻求解决问题的最佳方法。
如，在《等差、等比数列应用》活动课中的问题3：我校学生为“玉树地震灾区”募捐，募捐小组进行了一次募捐活动，共获捐款1200元，他们第一天只募得10元，之后采取积极的措施，从第2天起每一天比上一天多募得10元，这次募得活动共进行了（ ）天。
答：15天
分析：这是一个生活中常见的问题，此题为等差数列问题。
a1=10，d=10，Sn=1200
Sn=na1+■=1200
即10n+■×10=1200
解得，n=15，n=-16（舍）
再比如：北京某小区出售商品楼的价格是25000元/平方米，我家想购买一套两居室，面积为80平方米的住房。计划动用存款50万元，其余部分向银行申请房屋基金贷款。但每月偿贷不能超过6000元，又想在较短年限内还清。贷款月利率一年期为3.72%，问需贷款多少元？选择几年期较为合适？其实这是一个具有非常现实意义的题目，反映出北京目前的高房价的现实，也是一个学生将来必须要考虑的问题；它更是一个非常典型的等差、等比数列的应用问题。
通过这样的数学活动，可使学生初步掌握把实际问题转化为数学问题，提高学生解决生活中遇到的实际问题的能力。
三、数学活动课的开展有利于培养学生的创新思维能力
培养学生的思维创新能力，是中学阶段打基础的一个重要方面。巨变的社会处处充满创新，要富国强民，富于创造力是一个关键因素。学习只有达到创新才能超越。当代的数学科学丰富多彩，它研究的领域也非常广阔，开展形式多样、生动活泼的数学活动课，可综合运用课堂知识，开阔学生的数学视野，激发兴趣，开发智力，培养学生的思维品质和实践能力。
在教学中开设数学专题活动课，组织融实验、兴趣、创新为一体的活动小组，采取试验、制作、讲座、游戏、竞猜、阅读、使用计算器和计算机、竞赛等形式进行活动。做到有活动计划、有具体分工、有实施教案、有总结报告。为提高活动课的教学效果，我们把生活和实践活动中遇到的一些形形的数学问题和同学们在数学学习中时常出现的一些科学性问题，通过探本求源、数量化和图示化的方法，抽象出有趣的数学模型，编写成系列趣味性题目，作为活动课的教材，通过分析各种各样的问题，培养数学灵感。每次活动都有一个新的课题，突出知识性、趣味性、创造性相结合的特色。活动课上让每一个学生都动起来，广开思路，在愉快的氛围中了解数学，体会数学思想，学会运用数学的方法。
例如，《等差、等比数列应用》活动课中的第4题：一弹性小球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下。
（1）当第八次弹起时，这个球可弹起多高？
（2）当第九次着地时这个球已经过了多少米的路程（保留两位小数）？
答：（1）小球弹起的高度为等比数列，其通项公式为
an=100×（■）n
a8=100×（■）8≈100×0.00390=0.3
这个问题也是非常有趣味性的，是典型的等比数列求前n项和问题。
今春我校新修了一个标准的塑胶运动场。我给学生提出这样一个问题，如果让你来给跑道上画线，你该怎么画？我把这个问题放在数学活动课上，把学生带到操场，让学生面对操场想办法帮助解决。同学们非常兴奋，经独立思考、小组讨论，很快设计出几种可行方案，并查出标准跑道的周长和宽度，很快设计出100米、200米、400米、800米、1500米等起始线的具体画法。这个问题虽然很简单，但解决问题的过程应用了数学知识，需要学生应用数学知识去计算。让同学们活跃了思维，提高了解决实际问题的能力，增强了创新意识，对学习、应用数学产生了浓厚的兴趣。
另外，我在活动课中还设计了一个题目，就是《等差、等比数列应用》活动课中的第7题：请你给全班同学出一个生活中有关数列应用的题目。其实，要完成这个题目并不容易，必须要求学生透彻理解有关数列的知识，还要善于观察生活，并把生活中遇到的问题数学化，是对学生思维的一个很好的锻炼。
四、数学活动课的开展有利于培养学生团结合作的精神
我除了认真设计活动课的内容外，在活动课的组织上也颇费心思。我会根据每个同学的具体学习情况，为他们安排小组，指定小组组长，由小组组长组织开展活动。组长起到组织、带动的作用。小组内每个组员工作的分工、合作开展得有条不紊。有的分析、找方案，有的进行计算，有的书写报告。每个同学各尽所长，积极参与，从中体会出探索的快乐，合作的快乐，成功的快乐。课堂气氛和谐、融洽、有合作、有竞争，学生学习的兴趣越来越浓厚。
通过几次数学活动课的开展，锻炼了学生的思维，开阔了学生的视野，激发了学生稳定而有效的学习兴趣，产生了积极的内部动机，培养了思维创新能力，可以说为学生的今后学习打下坚实的基础，也为学生的思维插上了隐形的翅膀。
总之，开展数学活动课，只要遵循知识性与活动性相结合、科学性与趣味性相结合、独立性与创造性相结合的原则，同时在选题和方案的设计上充分考虑到中职学生的特点，注意密切联系并推进课堂教学，就能强化学生应用数学的意识，提高解决实际问题的能力，为学生的可持续发展打下坚实的基础。