15.2.3 整数指数幂
学习目标：1.理解负整数指数幂的意义。
2、掌握整数指数幂的运算性质。
3、会用科学记数法表示小于1的数。
重点：掌握整数指数幂的运算性质。
难点：熟练进行整数指数幂及其相关的计算。
一、知识链接
1、计算：(1)23×24= (2)(a2)3= (3)(-2a)2=
（4）(-2)6÷(-2)3= (5)105÷105= (6)=
2、正整数指数幂的运算性质有哪些？
(1)am·an= （ m、n都是正整数）；
（2）(am)n= （ m、n都是正整数）；
（3） (ab)n= （ n是正整数）；
(4)am ÷an= (a ≠0, m,n是正整数，m>n)；
（5）= (n是正整数）；
（6）当a ≠0时，a0= 。
3、如何用科学记数法表示一些绝对值较大的数？
利用10的正整数次幂，把一个绝对值大于10的数表示成 的形式，其中n是正整数，1 ≤|a|<10. n等于原数整数位数减去 。
一、要点探究
探究点1：负整数指数幂
问题1：am中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am表示什么？
问题2：计算：a3 ÷a5=？ (a≠0)
要点归纳：当n是正整数时，=（a≠0）。即a-n (a≠0)是an的倒数。正整数指数幂的运算由此扩充到整数指数幂。
典例精析
例1：若a＝（－)－2，b＝（－1）－1，c＝（－）0，则a、b、c的大小关系是( ）
A．a＞b＝c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
例2：计算：(1)(x3y－2)2； (2)x2y－2·(x－2y)3； (3)(3x2y－2)2÷(x－2y)3； (4)(3×10－5)3÷(3×10－6)2.
例3：若(x－3)0－2(3x－6)－2有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≠3且x≠2 C．x≠3或x≠2 D．x＜2
例4：计算：－22＋（－)－2＋(2016－π）0－|2－|。
探究点2：用科学记数法表示绝对值小于1的数
想一想：你还记得1纳米=10-9米，即1纳米=米吗？
算一算：10－2= ___________;10－4= ___________;10－8= ___________.
议一议：指数与运算结果的0的个数有什么关系？
要点归纳：利用10的负整数次幂，把一个绝对值小于1的数表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1 ≤|a|<10. n等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面这个零）。
典例精析
例5：用小数表示下列各数：
(1)2×10－7； (2)3.14×10－5； (3)7.08×10－3； (4)2.17×10－1.
二、课堂小结
当堂检测
1、填空：(-3)2·(-3)-2=（ ）；103×10-2=（ ）；a-2÷a3=（ ）；a3÷a-4=（ ）。
2、计算：(1)0.1÷0.13； (2)(-5)2 008÷(-5)2 010； (3)100×10-1÷10-2； (4)x-2·x-3÷x2.
3、计算：（1）（2×10－6）× （3.2×103）； （2）（2×10－6）2 ÷ （10－4）3.
4、下列是用科学记数法表示的数，写出原来的数。
（1）2×10－8 （2）7.001×10－6
5、比较大小：
（1）3.01×10－4_______9.5×10－3
（2）3.01×10－4________3.10×10－4
6、用科学记数法把0.000 009 405表示成9.405×10n，那么n=________.
§1.3.3整数指数幂的运算法则
课题
整数指数幂的运算法则
教学目标
1、通过探索把正整数指数幂的运算法则推广到整数指数幂的运算法则；
2、熟练运用整数指数幂的运算法则进行计算。 重点
用整数指数幂的运算法则进行计算 难点
理解整数指数幂的运算法则教学方法
先学后教，当堂训练 教具
多媒体课件 教学过程
一、导
1、上节课我们学习了零次幂和负整数指数幂，今天我们共同学习整数指数幂的运算法则；
2、多媒体出示学习目标：（1）通过探索把正整数指数幂的运算法则推广到整数指数幂的运算法则；（2）熟练运用整数指数幂的运算法则进行计算。
3、多媒体出示学习指导：（1）阅读课本第19页的“说一说”，理解并熟记整数指数幂的运算法则；（2）独立解答课本第20页的例
7、例8，再阅读课本的解答，注意每一步解答的依据；10分钟后，比一比看谁先正确完成课本第20页的练习题第1、2题。
二、学
1、静思自学（10分钟）
学生自学课本P19——P20的内容，教师巡视，确保每位学生都能认真阅读，了解学生个体的学习情况，需要时给予个别指导。
2、帮扶互学
鼓励学生相互交流讨论。
3、示疑展学
多媒体出示自学检测题；学生展示P20的练习题，互评互纠。
三、教
1、教师提问：（1）同底数幂的除法法则可以转换成什么运算法则？（2）分式的乘方法则可以转换成什么运算法则？（3）例7的解答依据有哪些？例8的解题结果是什么形式？
2、归纳：（1）整数指数幂的三条运算法则；（2）在整数指数幂的运算结果中，指数通常是正整数，即能把整数指数幂的运算结果写成正整数指数幂的形式。
四、练
多媒体出示当堂检测题：
1、下列计算正确的是（ 3）
325312aaababaa2aaaA. B. C. D. aa0,b0，计算下列各式：
2、设
21332(1)aa(2)a (3)b2b4b2(4)a3ab1 x3y53xy (5)23xy(6)2 4x巩固提高
1、若5x3y2，求10
5x103y的值；
2、计算：22014220132201222011.
五、课堂小结
同学们，这节课你有什么收获？
六、作业
课本P22 A组 第6题
教学感悟及反思：
2、1指数函数
2.1.1指数与指数幂的运算
一、教学目标：
Ⅰ、教学与与技能目标： 1.n次方根定义。根式概念。
2、分数指数幂的概念。有理指数幂的运算性质。 Ⅱ、 过程与方法目标：
1、理解n次方根定义。理解根式的概念。 理解分数指数幂的概念 2.正确运用根式运算性质化简、求值。掌握有理指数幂的运算性质。 3.会对根式、分数指数幂进行互化。 了解分类讨论思想在解题中的应用 Ⅲ、 情感态度与价值观目标
掌握由特殊到一般的归纳方法。培养学生用联系观点看问题。
二、教学重点：
1、根式概念。 分数指数幂的概念。
2、分数指数幂的运算性质。 教学难点：根式概念的理解。对分数指数幂概念的理解。
三、教学过程：
Ⅰ、复习回顾：本节是指数与指数函数的入门课，概念性较强，为突破根式概念理解这一教学难点，关键在于使学生理解n次方根定义，故结合学生在初中已经熟悉的平方根、立方根的概念，由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根定义，使学生易于接受，并且引导学生主动参与了教学活动。 并强调说明根式是n次方根的一种表示形式。 Ⅱ。指导探究：
1.n次方根的定义（板书） 若xn＝a（n＞1且n∈N*），则x叫a的n次方根。 比较平方根、立方根 。得： 偶次方根有下列性质：在实数范围内，正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根；
奇次方根有下列性质：在实数范围内，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数。 这样，我们便可得到n次方根的性质 2.n次方根的性质（板书） na,n2k1x＝（k∈N*）
na,n2k其中na叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。 注：根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，我们可以得到根式的运算性质。 3.根式的运算性质（板书） ①（na）n＝a ②nan＝a,n为奇数；|a|，n为偶数。 ［例1］求下列各式的值
（1)3（8）3 （2）（10）2 (3)4(3）4
（4）(ab)2（a＞b）
解：(1) 3（8）3＝－8 (2) （10）2＝｜－10｜
（3) 4(3）4＝｜3－π｜＝π－3 (4) (ab)2＝｜a－b｜＝a－b（a＞b）
根指数n为奇数的题目较易处理，而例题侧重于根指数n为偶数的运算，说明此类题目容易出错，应引起大家的注意。为使大家进一步熟悉根式性质的运用，我们来做练习题。 Ⅱ。课堂练习
(1)532 （2）（3）4 （3）(23)2（4）526 Ⅲ。正数的正分数指数幂的意义
m1、annam (a＞0,m,n∈N*，且n＞1) 注意两点，一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化。 另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定。 2.规定（板书） (1) amn1m (a＞0,m,n∈N*，且n＞1) an(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义。 3.有理指数幂的运算性质（板书） (1)ar·as=ar+s(a＞0,r,s∈Q) (2)(ar)s=ar·s(a＞0,r,s∈Q) (3)(a·b)r=ar·br(a＞0,b＞0,r∈Q) 说明：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略。 Ⅳ。例题讲解
2［例2］求值：83，100
12,(
14)，(
-
31681)
34. ［例3］用分数指数幂的形式表示下列各式：
a2·3a,a·a32,aa （式中a＞0） Ⅴ。课堂练习
课本P54练习 1、2 Ⅵ。课时小结
通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。 过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质。 七。布置作业：课本59页A组1，2，4
（一）求下列各式的值：
(1)327
（3）a6
42（2）（4）2 （4）(x13x)
（5）819
3（6）23×31.5×612
2、用分数指数幂表示下列分式（其中各式字母均为正数） （1）3a4a
（2）aaa （4）4(a3b3)2 （3）3ab2a2b
3、求下列各式的值：
1(1)｜2｜ 23
4（2）（
644912527）
12
23（3）10000
（4）（）
八、板书设计（略）
九、教学反思：
数学 必修1：指数与指数幂的运算
[教学目标]
1、知识与技能：理解根式的概念，掌握n次方根的性质 2.过程与方法：
（1）。通过师生之间、学生与学生之间互相交流，使学生逐步学会共同学习。 （2）引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性，做一个具备严谨科学态度的人。 （3）通过探究、思考，培养学生思维迁移能力和主动参与的能力 3.情感态度与价值观：
（1）。新知识的发现是因为面临的问题以原有的知识得不到解决所引发出来的思考，通过学习根式的概念，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神。 （2）在教学过程中，通过学生的自主探索，来加深理解n次方根的性质，具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面。
[教学重点与难点]：
1、重点：1.根式的概念。。2.n次方根的性质。
2、难点：1.根式概念的理解。2.n次方根性质的理解。 [教学方法与手段] 1.教学方法：启发式、探究式教学 2.教学手段：运用多媒体教学 [教学过程]
一、创设情景，引入新课
师：你们知道考古学家是怎样来判断生物的发展与进化的吗？ 生：对生物体化石的研究。 师：那么他们是怎样来判断该生物体所处的年代的？你们知道吗？ （众生摇头）
师：考古学家是按照这样一个规律来推测的。 问题：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢？我们可以先来考虑这样的问题：
当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，„年后，它体内碳14的含量P分别为原来的多少？ 生：11213，（），（），„。 222师：当生物体死亡了6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P分别为原来的多少？ ******生：（2），（2），（2）。 师：由以上的实例来推断关系式应该是什么？ t15830生：P=（2）。
160005730师：考古学家根据上式可以知道，生物死亡t年后，体内碳14含量P的值。那么这些数（2），
1 ***305730（2），（2）的意义究竟是什么呢？它和我们初中所学的指数有什么区别？ 生：这里的指数是分数的形式。 师：指数可以取分数吗？除了分数还可以取其他的数吗？我们对于数的认识规律是怎样的？ 生：自然数——整数——分数（有理数）——实数。
1师：指数能否取分数（有理数）、无理数呢？如果能，那么在脱离开上面这个具体问题以后，关系式P=（2）t5830就会成为我们后面将要相继研究的一类基本初等函数——“指数函数”的一个具体模型。为了能水到渠成地研究指数函数，我们有必要认识一下指数概念的扩充和完善过程，这就是我们下面这节课将要研究的内容：整数指数幂。 （引入课题，书写课题——指数与指数幂的运算）
二、讲解新课
（一）探求n次方根的概念
师：若5=125，那么125对于5来说，扮演着什么角色？5对于125来说又扮演着什么角色呢？ 生：125是5的立方数，5是125的立方根。 师：如果x23=a，那么x对于a来说扮演着什么角色？
生：x是a的平方根。 师：能否用一句话描述你的结论？
生：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。 师：如果x3=a，那么x对于a来说又扮演着什么角色？
生：x是a的立方根。 师：能换一种说法表述你的结论吗？
生：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。 师：如果x4=a，x=a，又有什么样的结论呢？ 5生：如果一个数的四次方等于a，那么这个数叫做a的四次方根；如果一个数的五次方等于a，那么这个数叫做a的五次方根。 师：①如果x2=a，那么x叫做a的平方根；②如果x=a，那么x叫做a的立方根；③如果x=a，n34那么x叫做a的4次方根。你能否据此得到一个一般性的结论？
生：一般地，如果x=a，那么x叫做a的n次方根。 师：上述结论中的n的取值有没有什么限制呢？
（生探索，完善n次方根的定义，并强调n的取值范围，师板书如下定义） 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N.
*
（二）概念理解 课堂训练：
试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根。 （1）25的平方根是________；（2）27的三次方根是________；（3）－32的五次方根是________； （4）16的四次方根是________；（5）a的三次方根是________；（6）0的七次方根是________. （师组织学生紧扣n次方根的定义，完成以上各题）
方法引导：在n次方根的概念中，关键的是数a的n次方根x满足xn6
=a，因此求一个数a的n次方根，就是求出哪个数的n次方等于a.
（三）n次方根的性质
合作探究：观察并分析以上各数的方根，你能发现什么？
（学生交流，师及时捕捉与如下结论有关的信息，并简单板书） 1.以上各数的对应方根都是有理数； 2.第（1）、第（4）的答案有两个，第（2）、第（3）、第（5）、第（6）的答案只有一个； 3.第（1）题的答案中的两个值互为相反数。 师：请仔细分析以上各题，你能否得到一个一般性的结论？
（提供一个比较发散的问题，给学生提供广阔的思维空间，培养学生理性思维能力和数学的分析问题、解决问题的能力）
生甲：一个数的奇次方根只有一个。 生乙：一个数的偶次方根有两个，且互为相反数。 师：是否任何一个数都有偶次方根？0的n次方根如何规定更合理？
生：因为任何一个数的偶次方都是非负数，所以负数没有偶次方根，0的n次实数方根等于0. 师：你能否把你所得到的结论再叙述的具体一些呢？ （组织学生交流，得出以下结论）
n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广，因此跟立方根和平方根的情况一样，方根也有如下性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。这时，a的n次方根用符号na表示。 （2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。这时，正数a的正的n次方根用符号
na表示，负的n次方根用符号－na表示。正的n次方根与负的n次方根可以合并写成±na（a＞0）。 注：①负数没有偶次方根；
n②0的任何次方根都是0，记作③当a≥0时，n0=0；
na≥0，所以类似416=±2的写法是错误的。
（四）根式的概念 式子5a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数。 6叫做根式，其中5叫做根指数，6叫做被开方数。 例如
（五）n次方根的运算性质 求下列各式的值：
（1）（5）；（2）23（2）342（2）(3a)；（3）；（4）
4（a＞3）。 （生板演，师组织学生评析）
24343(3a)（2）（2）5）2=5；（2）=－2；（3）=|－2|=2；（4）解：（1）（= |3－a|=a－3. 师：上面的例题中涉及了哪几类问题？ n生：主要涉及了（na）n与nan的问题。 na合作探究：（1）（）的含义是什么？其化简结果是什么呢？
na（2）的含义是什么？其化简结果是什么呢？ n（组织学生结合例题及其解答，进行分析讨论、归纳出以下结论）
n（1）（
533a）n=a.例如，32）5=－32. 27（）=27，（n（2）当n是奇数时，an=a；当n是偶数时，5nan=|a|=
a,a,a0,a0.
3例如，（2）3=－2，2=2；54234=3，（3）=|－3|=3.
（六）例题讲解
（生板演，师组织学生进行课堂评价） 【例1】 求下列各式的值：
3（1）（
2（10）8）3；（2）34；（3）
（3π）4；（4）
(ab)2（a＞b）。 解：（1）（48）3=－8；
2（10）（2）=10；
2（ab)（4）=|a－b|=a－b. 4(3π）（3）=π－3《》；
三、课堂练习
1、若x∈R，y∈R，下列各式中正确的是
4(xy)A.4=x+y +(x3)2 B.D.34x3－4y=x－y
C.(x3)2=2x x3+3x=0
2、 x2x1x2=x1成立的条件是 x2A.x1≥0 4B.x≠1
C.x＜1
D.x≥2 43.在①（4）2n 2n1（4）；②；③
5a4
4；④
a5（各式中n∈N，a∈R）中，有意义的是
D.①③④ A.①②
B.①③
C.①②③④
4、当8＜x＜10时，(x8)22(x10)－=________. 参考答案：
1.D 2.D 3.B 4.2x－18
四、课堂小结
师：请同学们互相交流一下你在本课学习中的收获。 （生互相交流，而后由师多媒体显示如下内容） 1.若xna=a（n＞1，n∈N），则x叫做a的n次方根。当n是奇数时，实数a的n次方根用符号*
nn表示；当n是偶数时，正数a的n次方根用符号±根指数，a叫做被开方数。
na表示，负数的偶次方根无意义。式子a叫做根式，其中n叫做2.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数。正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数；负数的偶次方根没有意义；0的任何次方根都是0. 3.（1）（na）n=a.
n（2）当n为奇数时，an=a；当n为偶数时，nan=|a|=a,a,a0, a0.五、布置作业
（一）复习课本第57～58页内容，熟悉巩固有关概念和性质；
（二）书面作业：课本P69习题2.1A组第1题。 板书设计
2.1.1 指数与指数幂的运算（1）
一、基本概念和性质 1.n次方根的定义 2.n次方根的性质 3.根式的定义
4.n次方根的运算性质
二、例题解析即学生训练板演 例1.求下列各式的值 例2.化简下列各式 目标检测评析布置作业
指数与指数幂的运算(一 课题:指数与指数幂的运算 课型:新授课
教学方法:讲授法与探究法 教学媒体选择:多媒体教学 教学目标: 1.知识与技能:理解根式的概念及性质，掌握分数指数幂的运算， 能够熟练的进行分数指数幂与根式的互化。 2.过程与方法:通过探究和思考，培养学生推广和逼近的数学思想 方法，提高学生的知识迁移能力和主动参与能力。 3.情感态度和价值观:在教学过程中，让学生自主探索来加深对n 次方根和分数指数幂的理解，而具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面。 教学重点: 根式的概念及n次方根的性质；分数指数幂的意义及运算性质；分数指数幂与根式的互化。 教学难点: n次方根的性质；分数指数幂的意义及分数指数幂的运算。 教学流程图:
教学过程设计: 一。新课引入: (一本章知识结构介绍 本章知识结构的介绍 新课引入 探究根式的概念 探究n 次方根的性质 分数指数幂的意义和规定 例1加深对n 次方根的理解 指数幂运算规律的推广 课堂练习，小结及课后作业 基本初等函数 指数函数 对数函数 幂函数
指数函数及其性质 对数与对数运算 对数函数及其性质 指数与指数幂的运算 (二问题引入
1、问题:当生物体死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。根据此规律，人们获得了生物体内含量P 与死亡年数t 之间的关系:
(1当生物死亡了5730年后，它体内的碳14含量P 的值为 (2当生物死亡了5730×2年后，它体内的碳14含量P 的值为
(3 当生物死亡了6000年后，它体内的碳14含量P 的值为 (4当生物死亡了10000年后，它体内的碳14含量P 的值为
2、回顾整数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质:
3、思考:这些运算性质对分数指数幂是否适用呢？ 1 2 2 12⎛⎫ ⎪⎝⎭60005730 12⎛⎫ ⎪
⎝⎭100005730 12⎛⎫ ⎪ ⎝
⎭
【师】这就是我们今天所要学习的内容《指数与指数幂的运算》 【板书】2.1.1 指数与指数幂的运算 二。根式的概念: 【师】下面我们来看几个简单的例子。口述平方根，立方根的概念引 导学生总结n 次方根的概念。. 【板书】平方根，立方根，n 次方根的符号，并举一些简单的方根运 算，以便学生观察总结。 【师】现在我们请同学来总结n 次方根的概念。. 1.根式的概念
【板书】概念
即 如果一个数的n 次方等于a (n>1,且n ∈N*，那么这个数叫做 a 的n 次方根。 【师】通过刚才所举的例子不难看出n 的奇偶以及a 的正负都会影响 a 的n 次方根，下面我们来共同完成这样一个表格。 【板书】表格 n n 是奇数 n 是偶数 a 的符号 a0 a0 a 的n 次方
根 无意义
【师】通过这个表格，我们知道负数没有偶次方根。那么0的n 次方根是什么？ 【学生】0的n 次方根是0. 【师】现在我们来对 这个符号作一说明。
例1.求下列各式的值
【注】本题较为简单，由学生口答即可，此处过程省略。 三。n 次方根的性质
【注】对于1提问学生a 的取值范围，让学生思考便能得出结论。 【注】对于2,少举几个例子让学生观察，并起来说他们的结论。 4 (3 (3; π-2 (2 (10; -2 (4((。 a b a b ->33(8; -(1 根指数 被开方数 根式
1.n 次方根的性质 四．分数指数幂 例： 【师】 这两个根式可以写成分数指数幂的形式， 是因为根指数能整除 被开方数的指数，那么请大家思考下面的问题。 思考： 根指数不能整除被开方数的指数时还能写成分数指数幂的形式 吗？ 【师】如果成立那么它的意义是什么，我们有这样的规定。
（一）分数指数幂的意义： 1. 我们规定正数的正分数指数幂的意义是： 2. 我们规定正数的负分数指数幂的意义是：
3、 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义。
（二）指数幂运算性质的推广： 五．例题 例 2.求值 例3.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a>0） 例4.计算下列各式（式中字母都是正数） 【注】 此处例 2 让学生上黑板做，例 3 待学生完成后老师在黑板板 演，例 4 让学生黑板上做，然后纠正错误。 六．课堂小结 1.根式的定义； 2.n 次方根的性质；
3、分数指数幂。 七．课后作业 P59 习题 2.1 A 组 1.2.4. 八．课后反思