教学目的:
1 掌握平面向量数量积运算规律;
2 能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题;
3 掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题
教学重点:平面向量数量积及运算规律
教学难点:平面向量数量积的应用
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
内容分析:
启发学生在理解数量积的运算特点的基础上,逐步把握数量积的运算律,引导学生注意数量积性质的相关问题的特点,以熟练地应用数量积的性质
教学过程:
一、复习引入:
1.两个非零向量夹角的概念
已知非零向量 与 ,作 = , = ,则∠aob=θ(0≤θ≤π)叫 与 的夹角
2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量 与 ,它们的夹角是θ,则数量| || |cos叫 与 的数量积,记作 ,即有 = | || |cos,
(0≤θ≤π) 并规定 与任何向量的数量积为0
3.“投影”的概念:作图
定义:| |cos叫做向量 在 方向上的投影
投影也是一个数量,不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当 = 0时投影为 | |;当 = 180时投影为 | |
4.向量的数量积的几何意义:
数量积 等于 的长度与 在 方向上投影| |cos的乘积
5.两个向量的数量积的性质:
设 、 为两个非零向量, 是与 同向的单位向量
1 = =| |cos;2 = 0
3当 与 同向时, = | || |;当 与 反向时, = | || |
特别的 = | |2或
4cos = ;5| | ≤ | || |
6.判断下列各题正确与否:
1若 = ,则对任一向量 ,有 = 0 ( √ )
2若 ,则对任一非零向量 ,有 0 ( × )
3若 , = 0,则 = ( × )
4若 = 0,则 、 至少有一个为零 ( × )
5若 , = ,则 = ( × )
6若 = ,则 = 当且仅当 时成立 ( × )
7对任意向量 、 、 ,有( ) ( ) ( × )
8对任意向量 ,有 2 = | |2 ( √ )
二、讲解新课:
平面向量数量积的运算律
1.交换律: =
证:设 , 夹角为,则 = | || |cos, = | || |cos
∴ =
2.数乘结合律:( ) = ( ) = ( )
证:若 > 0,( ) = | || |cos, ( ) = | || |cos, ( ) = | || |cos,
若 < 0,( ) =| || |cos() = | || |(cos) = | || |cos,
( ) = | || |cos,
( ) =| || |cos() = | || |(cos) = | || |cos
3.分配律:( + ) = c +
在平面内取一点o,作 = , = , = ,
∵ + (即 )在 方向上的投影等于 、 在 方向上的投影和,
即 | + | cos = | | cos1 + | | cos2
∴| | | + | cos =| | | | cos1 + | | | | cos2
∴ ( + ) = + 即:( + ) = +
说明:(1)一般地,( • ) ≠ ( • )
(2) • = • , ≠ =
(3)有如下常用性质: 2=| |2,
( + )( + )= • + • + • + •
( + )2= 2+2 • + 2
三、讲解范例:
例1 已知 、 都是非零向量,且 + 3 与7 5 垂直, 4 与7 2 垂直,求 与 的夹角
解:由( + 3 )(7 5 ) = 0 7 2 + 16 15 2 = 0 ①
( 4 )(7 2 ) = 0 7 2 30 + 8 2 = 0 ②
两式相减:2 = 2
代入①或②得: 2 = 2
设 、 的夹角为,则cos = ∴ = 60
例2 求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和
解:如图: abcd中, , , =
∴| |2=
而 =
∴| |2=
∴| |2 + | |2 = 2 =
例3 四边形abcd中, = , = , = , = ,且 • = • = • = • ,试问四边形abcd是什么图形?
分析:四边形的形状由边角关系确定,关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量
解:四边形abcd是矩形,这是因为:
一方面:∵ + + + =0,
∴ + =-( + ),∴( + )2=( + )2
即| |2+2 • +| |2=| |2+2 • +| |2
由于 • = • ,
∴| |2+| |2=| |2+| |2①
同理有| |2+| |2=| |2+| |2②
由①②可得| |=| |,且| |=| |即四边形abcd两组对边分别相等
∴四边形abcd是平行四边形
另一方面,由 • = • ,有 ( - )=0,而由平行四边形abcd可得 =- ,代入上式得 •(2 )=0
即 • =0,∴ ⊥ 也即ab⊥bc
综上所述,四边形abcd是矩形
评述:(1)在四边形中, , , , 是顺次首尾相接向量,则其和向量是零向量,即 + + + = ,应注意这一隐含条件应用;
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积,因为数量积的定义式中含有边、角两种关系
四、课堂练习:
1 下列叙述不正确的是( )
a 向量的数量积满足交换律 b 向量的数量积满足分配律
c 向量的数量积满足结合律 d • 是一个实数
2 已知| |=6,| |=4, 与 的夹角为60°,则( +2 )•( -3 )等于( )
a 72 b -72 c 36 d -36
3 | |=3,| |=4,向量 + 与 - 的位置关系为( )
a 平行 b 垂直 c 夹角为 d 不平行也不垂直
4 已知| |=3,| |=4,且 与 的夹角为150°,则( + )2=
5 已知| |=2,| |=5, • =-3,则| + |=______,| - |=
6 设| |=3,| |=5,且 +λ 与 -λ 垂直,则λ=
参考答案:1 c 2 b 3 b 4 2 5 -1+2 5 6 ±
五、小结 通过本节学习,要求大家掌握平面向量数量积的运算规律,掌握两个向量共线、垂直的几何判断,能利用数量积的5个重要性质解决相关问题
六、课后作业
1 已知| |=1,| |= ,且( - )与 垂直,则 与 的夹角是( )
a 60° b 30° c 135° d 45°
2 已知| |=2,| |=1, 与 之间的夹角为 ,那么向量 = -4 的模为
a 2 b 2 c 6 d 12
3 已知 、 是非零向量,则| |=| |是( + )与( - )垂直的( )
a 充分但不必要条件 b 必要但不充分条件
c 充要条件 d 既不充分也不必要条件
4 已知向量 、 的夹角为 ,| |=2,| |=1,则| + |•| - |=
5 已知 + =2 -8 , - =-8 +16 ,其中 、 是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量,那么 • =
6 已知 ⊥ 、 与 、 的夹角均为60°,且| |=1,| |=2,| |=3,则( +2 - )2=______
7 已知| |=1,| |= ,(1)若 ∥ ,求 • ;(2)若 、 的夹角为60°,求| + |;(3)若 - 与 垂直,求 与 的夹角
8 设 、 是两个单位向量,其夹角为60°,求向量 =2 + 与 =2 -3 的夹角
9 对于两个非零向量 、 ,求使| +t |最小时的t值,并求此时 与 +t 的夹角
参考答案:1 d 2 b 3 c 4 5 –63 6 11
7 (1)- (2) (3)45° 8 120° 9 90°
七、板书设计(略)
八、课后记及备用资料:
1 常用数量积运算公式:在数量积运算律中,有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛
即( + )2= 2+2 • + 2,( - )2= 2-2 • + 2
上述两公式以及( + )( - )= 2- 2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用
2 应用举例
例1 已知| |=2,| |=5, • =-3,求| + |,| - |
解:∵| + |2=( + )2= 2+2 • + 2=22+2×(-3)+52=23
∴| + |= ,∵(| - |)2=( - )2= 2-2 • + 2=22-2×(-3)×52=35,
∴| - |= .
例2 已知| |=8,| |=10,| + |=16,求 与 的夹角θ(精确到1°)
解:∵(| + |)2=( + )2= 2+2 • + 2=| |2+2| |•| |cosθ+| |2
∴162=82+2×8×10cosθ+102,
∴cosθ= ,∴θ≈55°
(第二课时)
一、教学目标
1.掌握平面向量的数量积的运算律,并能运用运算律解决有关问题;
2.掌握向量垂直的充要条件,根据两个向量的数量积为零证明两个向量垂直;由两个向量垂直确定参数的值;
3.了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;
4.通过平面向量的数量积的重要性质及运算律猜想与证明,培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力;
5.通过平面向量的数量积的概念,几何意义,性质及运算律的应用,培养学生的应用意识。
二、教学重点 平面向量的数量积运算律,向量垂直的条件;
教学难点 平面向量的数量积的运算律,以及平面向量的数量积的应用。
三、教学具准备
投影仪
四、教学过程
1.设置情境
上节课,我们已经给出了数量积的定义,指出了它的(5)条属性,本节课将研究数量积作为一种运算,它还满足哪些运算律?
2.探索研究
(1)师:什么叫做两个向量的数量积?
生: ( 与 向量的数量积等式 的模 与 在 的方向上的投影 的乘积)
师:向量的数量积有哪些性质?
生:(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
师:向量的数量积满足哪些运算律?
生(由学生验证得出)
交换律:
分配律:
师:这个式子 成立吗?(由学生自己验证)
生: ,因为 表示一个与 共线的向量,而 表示一个与 共线的向量,而 与 一般并不共线,所以,向量的内积不存在结合律。
(2)例题分析
【例1】求证:
(1)
(2)
分析:本例与多项式乘法形式完全一样。
证:
注: (其中 、 为向量)
答:一般不成立。
【例2】已知 , , 与 的夹角为 ,求 .
解:∵
注:与多项式求值一样,先化简,再代入求值。
【例3】已知 , 且 与 不共线,当且仅当 为何值时,向量 与 互相垂直。
分析:师:两个向量垂直的充要条件是什么?
生:
解: 与 互相垂直的充要条件是
即
∵
∴
∴
∴ 当且仅当 时, 与 互相垂直。
3.演练反馈(投影)
(1)已知 , 为非零向量, 与 互相垂直, 与 互相垂直,求 与 的夹角。
(2) , 为非零向量,当 的模取最小值时,
①求 的值;
②求证: 与 垂直。
(3)证明:直径所对的圆周角为直角。
参考答案:
(1)
(2)解答:①由
当 时 最小;
②∵
∴ 与 垂直。
(3)如图所示,设 , , (其中 为圆心, 为直径, 为圆周上任一点)
则
∵ ,
∴ 即 圆周角
4.总结提炼
(l)
(2)向量运算不能照搬实数运算律,如结合律数量积运算就不成立。
(3)要学会把几何元素向量化,这是用向量法证几何问题的先决条件。
(4)对向量式不能随便约分,因为没有这条运算律。
五、板书设计
课题:
1.数量积性质
2.数量积运算律
例题
1
2
3
演练反馈
总结提炼
(第一课时)
一、教学目标
1.正确理解平面向量的数量积的概念,能够运用这一概念求两个向量的数量积,并能根据条件逆用等式求向量的夹角;
2.掌握平面向量的数量积的重要性质,并能运用这些性质解决有关问题;
3.通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明,培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力;
4.通过平面向量的数量积的概念,几何意义,性质的应用,培养学生的应用意识。
二、教学重点 平面向量的数量积概念、性质及其应用
教学难点 平面向量的数量积的概念,平面向量的数量积的重要性质的理解。
三、教学具准备
直尺,投影仪
四、教学过程
1.设置情境
师:我们学过功的概念:即一个物体在力 的作用下产生位移 ,那么力 所做的功: ,其中 表示一个什么角度?
表示力 的方向与位移 的方向的夹角。
我们对上述物理意义下的“功”概念进行抽象,就一般向量 、 ,来规定 的含义。
2.探索研究
(l)已知两个非零向量 和 ,在平面上任取一点 ,作 , ,则 叫做向量 与 的夹角。你能指出下列图中两向量的夹角吗?
① 与 的夹角为 ,② 与 的夹角为 ,③ 与 的夹角是 ,④ 与 的夹角是 .
(2)下面给出数量积定义:
师:(板书)已知两个非零向量 和 ,它们的夹角为 ,我们把数量 ,叫做向量 与 的数量积或(内积)记作 即
并规定
师:在平面向量的数量积的定义中,它与两个向量的加减法有什么本质区别。
生:向量的数量积结果是一个数量,而向量的加法和减法的结果还是一个向量。
师:你能从图中作出 的几何图形吗? 表示的几何意义是什么?
生:如图,过 的终点 作 的垂线段 ,垂足为 ,则由直角三角形的性质得:
所以 叫做向量 在向量 上的投影, 叫做 在 上的投影。
师:因此我们得到 的几何意义:向量 与 的数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的积。
注意:1°投影也是一个数量,不是向量。
2°当q为锐角时投影为正值;
当q为钝角时投影为负值;
当q为直角时投影为0;
当q =0°时投影为 |b|;
当q =180°时投影为 -|b|。
向量的数量积的几何意义:
数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。
(3)下面讨论数量积的性质:
(每写一条让学生动手证一条)设 , 都是非零向量, 是与 的方向相同的单位向量, 是 与 的夹角,则
①
②
③当 与 同向时, ,当 与 反向时, 。
特别地
④
⑤
3.演练反馈(投影)
(通过练习熟练掌握性质)
判断下列各题是否正确
(1)若 ,则对任意向量 ,有 ( )
(2)若 ,则对任意非零量 ,有 ( )
(3)若 ,且 ,则 ( )
(4)若 ,则 或 ( )
(5)对任意向量 有 ( )
(6)若 ,且 ,则 ( )
参考答案:(l)√,(2)×,(3)×,(4)×,(5)√,(6)×.
4.总结提炼
(l)向量的数量的物理模型是力的做功。
(2) 的结果是个实数(标量)
(3)利用 ,可以求两向量夹角,尤其是判定垂直。
(4)二向量夹角范围 .
(5)五条属性要掌握。
五、板书设计
课题
1.“功”的抽象
2.数量积的定义
3.(5)条性质
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
4.演练反馈
5.总结提炼
教学目的:
1 掌握平面向量的数量积及其几何意义;
2 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;
3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;
4 掌握向量垂直的条件
教学重点:平面向量的数量积定义
教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
内容分析:
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识 主要知识点:平面向量数量积的定义及几何意义;平面向量数量积的5个重要性质;平面向量数量积的运算律
教学过程:
一、复习引入:
1. 向量共线定理 向量 与非零向量 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使 =λ
2.平面向量基本定理:如果 , 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数λ1,λ2使 =λ1 +λ2
3.平面向量的坐标表示
分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底 任作一个向量 ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 、 ,使得
把 叫做向量 的(直角)坐标,记作
4.平面向量的坐标运算
若 , ,
则 , ,
若 , ,则
5. ∥ ( )的充要条件是x1y2-x2y1=0
6.线段的定比分点及λ
p1, p2是直线l上的两点,p是l上不同于p1, p2的任一点,存在实数λ,
使 =λ ,λ叫做点p分 所成的比,有三种情况:
λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)
7 定比分点坐标公式:
若点p1(x1,y1) ,p2(x2,y2),λ为实数,且 =λ ,则点p的坐标为( ),我们称λ为点p分 所成的比
8 点p的位置与λ的范围的关系:
①当λ>0时, 与 同向共线,这时称点p为 的内分点
②当λ<0( )时, 与 反向共线,这时称点p为 的外分点
9 线段定比分点坐标公式的向量形式:
在平面内任取一点o,设 = , = ,
可得 =
10.力做的功:w = | || |cos,是 与 的夹角
二、讲解新课:
1.两个非零向量夹角的概念
已知非零向量 与 ,作 = , = ,则∠aob=θ(0≤θ≤π)叫 与 的夹角
说明:(1)当θ=0时, 与 同向;
(2)当θ=π时, 与 反向;
(3)当θ= 时, 与 垂直,记 ⊥ ;
(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的 范围0≤≤180
2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量 与 ,它们的夹角是θ,则数量| || |cos叫 与 的数量积,记作 ,即有 = | || |cos,
(0≤θ≤π) 并规定 与任何向量的数量积为0
探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos的符号所决定
(2)两个向量的数量积称为内积,写成 ;今后要学到两个向量的外积 × ,而 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分 符号“• ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替
(3)在实数中,若a0,且ab=0,则b=0;但是在数量积中,若 ,且 =0,不能推出 = 因为其中cos有可能为0
(4)已知实数a、b、c(b0),则ab=bc a=c
但是 = =
如右图: = | || |cos = | ||oa|, = | || |cos = | ||oa|
= 但
(5)在实数中,有(aa)c = a(ac),但是( ) ( )
显然,这是因为左端是与 共线的向量,而右端是与 共线的向量,而一般 与 不共线
3.“投影”的概念:作图
定义:| |cos叫做向量 在 方向上的投影
投影也是一个数量,不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当 = 0时投影为 | |;当 = 180时投影为 | |
4.向量的数量积的几何意义:
数量积 等于 的长度与 在 方向上投影| | os的乘积
5.两个向量的数量积的性质:
设 、 为两个非零向量, 是与 同向的单位向量
1 = =| |cos
2 = 0
3 当 与 同向时, = | || |;当 与 反向时, = | || |
特别的 = | |2或
4 os =
5| | ≤ | || |
三、讲解范例:
例1 判断正误,并简要说明理由
① • = ;②0• =0;③ - = ;④| • |=| || |;⑤若 ≠ ,则对任一非零 有 • ≠0;⑥ • =0,则 与 中至少有一个为 ;⑦对任意向量 , , 都有( • ) = ( • );⑧ 与 是两个单位向量,则 2= 2
解:上述8个命题中只有③⑧正确;
对于①:两个向量的数量积是一个实数,应有 • =0;
对于②:应有0• = ;
对于④:由数量积定义有| • |=| |•| |•|cosθ|≤| || |,这里θ是 与 的夹角,只有θ=0或θ=π时,才有| • |=| |•| |;
对于⑤:若非零向量 、 垂直,有 • =0;
对于⑥:由 • =0可知 ⊥ 可以都非零;
对于⑦:若 与 共线,记 =λ
则 • =(λ )• =λ( • )=λ( • ),
∴( • )• =λ( • ) =( • )λ =( • )
若 与 不共线,则( • ) ≠( • )
评述:这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律
例2 已知| |=3,| |=6,当① ∥ ,② ⊥ ,③ 与 的夹角是60°时,分别求 •
解:①当 ∥ 时,若 与 同向,则它们的夹角θ=0°,
∴ • =| |•| |cos0°=3×6×1=18;
若 与 反向,则它们的夹角θ=180°,
∴ • =| || |cos180°=3×6×(-1)=-18;
②当 ⊥ 时,它们的夹角θ=90°,
∴ • =0;
③当 与 的夹角是60°时,有
• =| || |cos60°=3×6× =9
评述:两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0°,180°],因此,当 ∥ 时,有0°或180°两种可能
四、课堂练习:
五、小结 通过本节学习,要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律,并能运用它们解决相关的问题
六、课后作业:
七、板书设计(略)
八、课后记及备用资料:
1 概念辨析:正确理解向量夹角定义
对于两向量夹角的定义,两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角,因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误,如:
1 已知△abc中, =5, =8,c=60°,求 •
对此题,有同学求解如下:
解:如图,∵| |= =5,| |= =8,c=60°,
∴ • =| |•| |cosc=5×8cos60°=20
分析:上述解答,乍看正确,但事实上确实有错误,原因就在于没能正确理解向量夹角的定义,即上例中 与 两向量的起点并不同,因此,c并不是它们的夹角,而正确的夹角应当是c的补角120°
2 向量的数量积不满足结合律
分析:若有( • ) = •( • ),设 、 夹角为 , 、 夹角为β,则( • ) =| |•| |cosα• ,
•( • )= •| || |cosβ
∴若 = ,α=β,则| |=| |,进而有:( • ) = •( • )
这是一种特殊情形,一般情况则不成立 举反例如下:
已知| |=1,| |=1,| |= , 与 夹角是60°, 与 夹角是45°,则:
( • )• =(| |•| |cos60°) = ,
•( • )=(| |•| |cos45°) =
而 ≠ ,故( • )• ≠ •( • )