集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体。
1.以下元素的全体不能 够构成集合的是( )
A. 中国古代四大发明 B. 地球上的小河流
C. 方程 的实数解 D. 周长为10cm的三角形
2.给出下列关系：① ; ② ;③④ . 其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.有下列说法：(1)0与{0}表示同一个集合；(2)由1,2,3组成的集合可表示为 或{3，2，1};(3)方程的所有解的集合可表示为{1，1，2};(4)集合是有限集。 其中正确的说法是( )
A. 只有(1)和(4) B. 只有(2) 和(3)
C. 只有(2) D. 以上四种说法都不对
4.下列所给关系正确的个数是().
① ②3 ③0 ④|-4|N*.
A.1 B.2 C.3 D.4
5.下面有四个语句：
①集合N*中最小的数是0;②-aN，则a③aN，bN，则a+b的最小值是2;④x2+1=2x的解集中含有2个元素。
其中正确语句的个数是().
A.0 B.1 C.2 D.3
一、填空题
已知a＝（m＋1，－3），b＝（1，m－1），且（a＋b）⊥（a－b），则m的值是________。
若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角θ为120°，则a· （a＋b）＝________。
已知向量a，b满足（2a－b）·（a＋b）＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为________。
给出下列命题：① 0·a＝0；② a·b＝b·a；③ a2＝|a|2；④ （a·b）·c＝a·（b·c）；⑤ |a·b|≤a·b。其中正确的命题是________。（填序号）
在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB＝1，EF＝，CD＝。若＝15，则＝__________。
已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2。若＝λ＋，且⊥，则实数λ＝__________。
已知两单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α＝。若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝__________。
若非零向量a，b，满足|a＋b|＝|b|，a⊥（a＋λb），则λ＝________。
对任意两个非零的平面向量α和β，定义新的运算“？”：α？β＝。若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈，且a？b和b？a都在集合中，则a？b＝__________。
已知△ABC是正三角形，若a＝－λ与向量的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________________。
二、解答题
已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°。
（1） 计算：① |a＋b|，② |4a－2b|；
（2） 当k为何值时，（a＋2b）⊥（ka－b）？
已知a＝（1，2），b＝（－2，n），a与b的夹角是45°。
（1） 求b；
（2） 若c与b同向，且a与c－a垂直，求向量c的`坐标。
已知向量a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β），c＝（－1，0）。
（1） 求向量b＋c的模的最大值；
（2） 若α＝，且a⊥（b＋c），求cos β的值。
1.对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的一个是()
A.{x|x是小于18的正奇数}
B.{x|x=4k+1，kZ，且k5}
C.{x|x=4t-3，tN，且t5}
D.{x|x=4s-3，sN*，且s5}
解析：选D.A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3,7,11,15;B中k取负数，多了若干元素；C中t=0时多了-3这个元素，只有D是正确的。
2.集合P={x|x=2k，kZ}，M={x|x=2k+1，kZ}，S={x|x=4k+1，kZ}，aP，bM，设c=a+b，则有()
A.cP
B.cM
C.cS
D.以上都不对
解析：选B.∵aP，bM，c=a+b，
设a=2k1，k1Z，b=2k2+1，k2Z，
c=2k1+2k2+1=2(k1+k2)+1，
又k1+k2Z，cM.
3.定义集合运算：A*B={z|z=xy，xA，yB}，设A={1,2}，B={0,2}，则集合A*B的所有元素之和为()
A.0
B.2
C.3
D.6
解析：选D.∵z=xy，xA，yB，
z的取值有：10=0,12=2,20=0,22=4，
故A*B={0,2,4}，
集合A*B的所有元素之和为：0+2+4=6.
4.已知集合A={1,2,3}，B={1,2}，C={(x，y)|xA，yB}，则用列举法表示集合C=____________.
解析：∵C={(x，y)|xA，yB}，
满足条件的点为：
(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2).
答案：{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}
1.集合{(x，y)|y=2x-1}表示()
A.方程y=2x-1
B.点(x，y)
C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D.函数y=2x-1图象上的所有点组成的集合
答案：D
2.设集合M={xR|x33}，a=26，则()
A.aM
B.aM
C.{a}M
D.{a|a=26}M
解析：选B.(26)2-(33)2=24-270，
故2633.所以aM.
3.方程组x+y=1x-y=9的解集是()
A.(-5,4)
B.(5，-4)
C.{(-5,4)}
D.{(5，-4)}
解析：选D.由x+y=1x-y=9，得x=5y=-4，该方程组有一组解(5，-4)，解集为{(5，-4)}.
4.下列命题正确的有()
(1)很小的实数可以构成集合；
(2)集合{y|y=x2-1}与集合{(x，y)|y=x2-1}是同一个集合；
(3)1，32，64，|-12|,0.5这些数组成的集合有5个元素；
(4)集合{(x，y)|xy0，x，yR}是指第二和第四象限内的点集。
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析：选A.(1)错的原因是元素不确定；(2)前者是数集，而后者是点集，种类不同；(3)32=64，|-12|=0.5，有重复的元素，应该是3个元素；(4)本集合还包括坐标轴。
5.下列集合中，不同于另外三个集合的是()
A.{0}
B.{y|y2=0}
C.{x|x=0}
D.{x=0}
解析：选D.A是列举法，C是描述法，对于B要注意集合的代表元素是y，故与A，C相同，而D表示该集合含有一个元素，即x=0.
6.设P={1,2,3,4}，Q={4,5,6,7,8}，定义P*Q={(a，b)|aP，bQ，ab}，则P*Q中元素的个数为()
A.4
B.5
C.19
D.20
解析：选C.易得P*Q中元素的个数为45-1=19.故选C项。
7.由实数x，-x，x2，-3x3所组成的集合里面元素最多有________个。
解析：x2=|x|，而-3x3=-x，故集合里面元素最多有2个。
答案：2
8.已知集合A=xN|4x-3Z，试用列举法表示集合A=________.
解析：要使4x-3Z，必须x-3是4的约数。而4的约数有-4，-2，-1,1,2,4六个，则x=-1,1,2,4,5,7，要注意到元素x应为自然数，故A={1,2,4,5,7}
答案：{1,2,4,5,7}
9.集合{x|x2-2x+m=0}含有两个元素，则实数m满足的条件为________.
解析：该集合是关于x的一元二次方程的解集，则=4-4m0，所以m1.
答案：m1
10.用适当的方法表示下列集合：
(1)所有被3整除的整数；
(2)图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线);
(3)满足方程x=|x|，xZ的所有x的值构成的集合B.
解：(1){x|x=3n，n
(2){(x，y)|-12，-121，且xy
(3)B={x|x=|x|，xZ}.
11.已知集合A={xR|ax2+2x+1=0}，其中aR.若1是集合A中的一个元素，请用列举法表示集合A.
解：∵1是集合A中的一个元素，
1是关于x的方程ax2+2x+1=0的一个根，
a12+21+1=0，即a=-3.
方程即为-3x2+2x+1=0，
解这个方程，得x1=1，x2=-13，
集合A=-13，1.
12.已知集合A={x|ax2-3x+2=0}，若A中元素至多只有一个，求实数a的取值范围。
解：①a=0时，原方程为-3x+2=0，x=23，符合题意。
②a0时，方程ax2-3x+2=0为一元二次方程。
由=9-8a0，得a98.
当a98时，方程ax2-3x+2=0无实数根或有两个相等的实数根。
综合①②，知a=0或a98.
1.对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的一个是()
A.{x|x是小于18的正奇数}
B.{x|x=4k+1，kZ，且k5}
C.{x|x=4t-3，tN，且t5}
D.{x|x=4s-3，sN_，且s5}
解析：选D.A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3,7,11,15;B中k取负数，多了若干元素；C中t=0时多了-3这个元素，只有D是正确的。
2.集合P={x|x=2k，kZ}，M={x|x=2k+1，kZ}，S={x|x=4k+1，kZ}，aP，bM，设c=a+b，则有()
A.cP B.cM
C.cS D.以上都不对
解析：选B.∵aP，bM，c=a+b，
设a=2k1，k1Z，b=2k2+1，k2Z，
c=2k1+2k2+1=2(k1+k2)+1，
又k1+k2Z，cM.
3.定义集合运算：A_B={z|z=xy，xA，yB}，设A={1,2}，B={0,2}，则集合A_B的所有元素之和为()
A.0 B.2
C.3 D.6
解析：选D.∵z=xy，xA，yB，
z的取值有：10=0,12=2,20=0,22=4，
故A_B={0,2,4}，
集合A_B的所有元素之和为：0+2+4=6.
4.已知集合A={1,2,3}，B={1,2}，C={(x，y)|xA，yB}，则用列举法表示集合C=____________.
解析：∵C={(x，y)|xA，yB}，
满足条件的点为：
(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2).
答案：{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}
1.若函数f(x)在区间[m,n]上是增函数，在区间[n,k]上也是增函数，则函数f(x)在区间(m,k)上( )
A.必是减函数 B.是增函数或减函数
C.必是增函数 D.未必是增函数或减函数
答案：C
解析：任取x1、x2(m,k),且x1
若x1、x2(m,n],则f(x1)
若x1、x2[n,k),则f(x1)
若x1(m,n],x2(n,k),则x1n
f(x1)f(n)
f(x)在(m,k)上必为增函数。
2.函数f(x)=x2+4ax+2在(-,6)内递减，那么实数a的取值范围是( )
A.a3 B.a3 C.a-3 D.a-3
答案：D
解析：∵- =-2a6,a-3.
3.若一次函数y=kx+b(k0)在(-,+)上是单调增函数，那么点(k,b)在直角坐标平面的( )
A.上半平面 B.下半平面
C.左半平面 D.右半平面
答案：D
解析：易知k0,bR,(k,b)在右半平面。
4.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( )
A.y=-x+1 B.y=
C.y=x2-4x+5 D.y=
答案：B
解析：C中y=(x-2)2+1在(0,2)上为减函数。
5.函数y= 的单调递增区间是___________,单调递减区间是_____________.
答案：[-3,- ] [- ,2]
解析：由-x2-x-60,即x2+x-60,解得-32.
y= 的定义域是[-3,2].
又u=-x2-x+6的对称轴是x=- ,
u在x[-3,- ]上递增，在x[- ,2]上递减。
又y= 在[0,+]上是增函数，y= 的递增区间是[-3,- ],递减区间[- ,2].
6.函数f(x)在定义域[-1,1]上是增函数，且f(x-1)
答案：1
解析：依题意 1
7.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)= 0,又g(x)=f(x)+c(c为常数),在[a,b]上是单调递增函数，判断并证明g(x)在[-b,-a]上的单调性。
解：任取x1、x2[-b,-a]且-bx1
则g(x1)-g(x2)=f(x1)-f(x2)= .
∵g(x)=f(x)+c在[a,b]上是增函数，
f(x)在[a,b]上也是增函数。
又b-x2a,
f(-x1)f(-x2).
又f(-x1),f(-x2)皆大于0,g(x1)-g(x2)0,即g(x1)
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8.设函数f(x)在(-,+)上是减函数，则下列不等式正确的是( )
A.f(2a)
C.f(a2+a)
答案：D
解析：∵a2+1-a=(a- )2+ 0,
a2+1a.函数f(x)在(-,+)上是减函数。
f(a2+1)
9.若f(x)=x2+bx+c,对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么( )
A.f(1)
C.f(2)
答案：C
解析：∵对称轴x=- =2,b=-4.
f(1)=f(3)
10.已知函数f(x)=x3-x在(0,a]上递减，在[a,+)上递增，则a=____________
答案：
解析：设0
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22-1),
当0f(x2).
同理，可证 x1
11.函数f(x)=|x2-2x-3|的。增区间是_________________.
答案：(-1,1),(3,+)
解析：f(x)= 画出图象易知。
12.证明函数f(x)= -x在其定义域内是减函数。
证明：∵函数f(x)的定义域为(-,+),
设x1、x2为区间(-,+)上的任意两个值且x1
f(x2)-f(x1)= - -(x2-x1)= -(x2-x1)
=(x2-x1) =(x2-x1) .
∵x2x1,x2-x10且 + 0.
又∵对任意xR,都有 =|x|x,有 x,即有x- 0.
x1- 0,x2- 0.
f(x2)-f(x1)0,即f(x2)
函数f(x)= -x在其定义域R内单调递减。
13.设函数f(x)对于任意x、yR,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在(-,+)上单调递减，若 f(x2)-f(x) f(bx)-f(b),求x的范围。
解：∵f(x+y)=f(x)+f(y)(x、yR),
2f(x)=f(x)+f(y)=f(2x).
同理，2f(b)=f(2b).
由 f(x2)-f(x) f(bx)-f(b),
得f(x2)+2f(b)f(bx)+2f(x),
即f(x2)+f(2b)f(bx)+f(2x).
即f(x2+2b)f(bx+2x).
又∵f(x)在(-,+)上单调递减，
x2+2b
x2-(b+2)x+2b0.
x2-(b+2)x+2b=(x-2)(x-b)0.
当b2时，得2
当b2时，得b
当b=2时，得x .
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14.设函数f(x)是(-,+)上的减函数，则f(2x-x2)的单调增区间是( )
A.(-,2) B.[-2,+] C.(-,-1] D.[1,+)
答案：D
解析：令t=g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1知：当x1时，函数g(x)单调递减；当x1时，函数g(x)单调递增。又因函数f(t)在(-,+)上递减，故f(2x-x2)的单调减区间为(-,1],增区间为[1,+).
15.老师给出一个函数y=f(x),四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：
甲：对于xR,都有f(1+x)=f(1-x);
乙：在(-,0]上函数递减；
丙：在(0,+)上函数递增；
丁：f(0)不是函数的最小值。
如果其中恰有三人说得正确，请写出一个这样的函数：________________.
答案：f(x)=(x-1)2(不唯一)
解析：f(x)=(x-1)2(答案不唯一，满足其中三个且另一个不满足即可).
f(1+x)=f(1-x)表示对称轴方程为x=1.
16.已知函数f(x)= ,x[1,+).
(1)当a= 时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x[1,+),f(x)0恒成立，求实数a的取值范围。
解：(1)当a= 时，f(x)=x+ +2,设1x1
则f(x2)-f(x1)=x2+ -(x1+ )= .
因为1x10,2x1x2-10,2x1x20 f(x2)-f(x1)0,
即f(x)在[1,+]上单调递增，f(x)min=f(1)=1+ +2= .
(2)x[1,+],f(x)0恒成立 x2+2x+a0恒成立，即a-x2-2x恒成立，又y=-x2-2x=
-(x+1)2+1-3,所以a-3.